ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Погрешности при восстановлении сигналов по их отсчётам

Ключевые положения

2.1 Дискретизация непрерывных сигналов по времени.Под дискретизацией непрерывного по временем сигнала s(t) понимают представление сигнала его мгновенными значениями (отсчётами) s(kT_д), где k = …, –1, 0, 1, 2, …; T_д – интервал дискретизации. Последовательность отсчётов изображают вертикальными линиями высотой s(kT_д) (рис. 1) и называют ее дискретным сигналом s_д(t).

В реальных устройствах отсчет сигнала s(kT_д) – это импульс с амплитудой s(kT_д) и длительностью t £ T_д, начинающийся в момент времени kT_д. Но, обычно, t << T_д (рис. 2). Устройство, которое формирует отсчеты, называется дискретизатором. В случае t << T_д дискретизатор – это ключ, замыкающий цепь от источника к нагрузке на время t (рис. 3). Если t = T_д, то используют устройство выборки-хранения, которое состоит из ключа, замыкающегося на очень короткое время, и конденсатора, запоминающего значение отсчета на время до следующего отсчета.

Аналитическое выражение дискретного сигнала s_д(t):

s_д(t) = s(t)×y(t) = s(t) , (1)

где y(t) – последовательность отсчетных импульсов, определяющих моменты времени, в которые берутся отсчёты сигнала, и длительность импульсов на выходе дискретизатора;

h(t) – отсчетный импульс:

h(t) = (2)

2.2 Спектр дискретного сигнала.Преобразование Фурье правой части выражения (1) определяет спектральную плотность S_д(j2pf) дискретного сигнала (соответствующие математические выкладки можно найти в [1, с. 64–66])

S_д(j2pf) = , – ¥ < f < ¥, (3)

где f_д = 1/ T_д – частота дискретизации;

a_n = × – (4)

коэффициенты разложения последовательности импульсов h(t) в ряд Фурье; поскольку t << T_д, то для малых значений n коэффициенты практически не зависят от n, то есть a_n = t/Т_д;

S(j2pf) – спектральная плотность непрерывного сигнала s(t).

Из (3) следует, что спектр дискретного сигнала – это сумма спектров S(j2pf) непрерывного сигнала s(t), смещенных один относительно другого на величину f_д и убывающих с увеличением n в соответствии с выражением (4).

Для первичных сигналов электросвязи характерно, что их спектры примыкают к нулевой частоте. На рис. 4, а приведен амплитудный спектр произвольной формы S(f) первичного сигнала, который простирается до максимальной частоты F_max. Далее на рис. 4 изображены амплитудные спектры сигналов, которые могут иметь место при дискретизации сигнала со спектром, приведенным на рис. 4, а:

рис. 4, б – спектр S_y(f) последовательности отсчетных импульсов y(t), построенный на основе представления y(t) рядом Фурье:

y(t) = ×cos(2pnf_дt);

рис. 4, в – спектр S_д(f) дискретного сигнала, если f_д > 2F_max;

рис. 4, г – спектр S_д(f), если f_д = 2F_max;

рис. 4, д – спектр S_д(f), если f_д < 2F_max.

2.3 Восстановление сигналов по их отсчётам.В соответствии с теоремой Котельникова (теоремой отсчётов) любой сигнал с ограниченным спектром можно точно восстановить (интерполировать) по его отсчётам, взятым через интервал T_д £ 1/(2F_max), где F_max – максимальная частота спектра сигнала.

В справедливости теоремы Котельникова легко убедиться, рассмотрев рис. 4, в, г, д. Если f_д ³ 2 F_max (рис. 4 в, г), то после подачи дискретного сигнала ко входу идеального ФНЧ с частотой среза F_max £ F_ср £ f_д – F_max на выходе получим сигнал со спектром S(f) (рис. 4, в, г), то есть восстановленный непрерывный сигнал. На рисунках штриховыми линиями показаны АЧХ идеального ФНЧ с частотой среза F_ср = F_max. Если же f_д < 2F_max, то, как видно из рис. 4, д, невозможно выделить спектр S(f), поскольку имеет место перекрытие спектров.

Процесс восстановления непрерывного сигнала по его отсчётам можно трактовать и во временной области. Если для восстановления сигнала используется идеальный ФНЧ с частотой среза F_ср, то его импульсный отклик (без учета задержки в фильтре):

g(t) = .

Поскольку отсчетные импульсы короткие (t << T_д) (приближаются к d-функции), то можно считать, что отклик ФНЧ на импульс с амплитудой s(kT_д), поданный в момент t = kT_д, имеет вид

s(k T_д) = .

Если подать ко входу ФНЧ сигнал s_д(t), на его выходе получим сумму откликов

= .

Сравним это выражение с рядом Котельникова,что есть математическим выражением теоремы Котельникова,

s(t) = .

Если F_ср = F_max, то s(t) = (t), то есть имеет место точное восстановление непрерывного сигнала.

Погрешности при восстановлении сигналов по их отсчётам

2.4.1 Неограниченность спектров реальных сигналов. Реальных сигналов со строго ограниченным спектром не существует, поскольку сигналы конечной длительности имеют неограниченные спектры – при f ® ¥ спектры убывают с конечной скоростью. Для реальных сигналов максимальная частота спектра F_max определяется из условия, что составляющие с частотами f > F_max малы (в определенном смысле). В спектрах реальных дискретных сигналов возникает перекрытие спектров, по крайней мере, составляющих суммы (3) с индексами n = 0 и n = 1 (рис. 5). Предположим, что для восстановления непрерывного сигнала используется идеальный ФНЧ с частотой среза F_ср = F_max, его АЧХ показана пунктирной линией на рис. 5. Восстановленный сигнал будет иметь две составляющие погрешности восстановления:

- линейные искажения за счет отсечения составляющих сигнала s(t) с частотами f > F_max;

- наложение составляющих спектра S(f – f_д) с частотами f < F_max на спектр сигнала s(t) (погрешность наложения спектров).

С учетом сказанного значения F_max и f_д определяют из условия, чтобы погрешность восстановления была достаточно малой.

2.4.2Отклонение характеристик реального ФНЧ от идеальных. В идеальном ФНЧ АЧХ имеет прямоугольную форму, а ФЧХ – линейную. То есть, идеальный ФНЧ без искажений пропускает все составляющие спектра сигнала в границах полосы пропускания, если f < F_ср, и полностью ослабляет составляющие с частотами f > F_зр. Реальные ФНЧ описываются граничной частотой полосы пропускания F_пп и граничной частотой полосы задерживания F_пз (рис. 6, б).

Если ФНЧ предназначен для восстановления непрерывного сигнала с максимальной частотой F_max из дискретного сигнала с частотой дискретизации f_д, то необходимо, чтобы F_пп ³ F_max и F_пз £ f_д – F_max. В случае реальных ФНЧ могут возникать две составляющие погрешности восстановления:

- через непостоянство АЧХ и нелинейность ФЧХ в полосе пропускания фильтр вносит линейные искажения в восстановленный сигнал;

- через недостаточное ослабление в полосе задерживания ФНЧ пропускает составляющие сигнала s_д(t) с частотами f > f_д – F_max, которые образуют погрешность наложения спектров.

Реальные ФНЧ для восстановления непрерывных сигналов проектируют так, чтобы погрешность восстановления была достаточно малой.