ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Дополнение 2. Определение моментов инерции.

ФГОУ ВПО «КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАФЕДРА ФИЗИКИ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10

ИССЛЕДОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА СТЕРЖНЕВОЙ КОНСТРУКЦИИ

Методическое указание к выполнению лабораторной работы по курсу общей физики для студентов инженерно-технических специальностей

Калининград

Цель работы:

1. Ознакомление с механическими колебаниями.

2. Определение центров тяжести и моментов инерции системы твёрдых тел.

3. Определение периода и частоты колебаний физического маятника.

ВВЕДЕНИЕ

В данной работе изучается физический маятник, состоящий из стержней, скреплённых в виде буквы «Т» (см. рис.1). На стержнях размещаются дополнительные грузы.

Физическим маятником является любое твёрдое тело, подвешенное в гравитационном поле на оси, не проходящей через его центр масс и способное поворачиваться (вращаться) вокруг этой оси.

Рис.1.

1 - ось подвеса; 2- стержни; 3 - грузы.

Теория такого маятника основана на уравнении динамики вращательного движения, которое преобразуется при малых углах поворота в линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Переменной неизвестной величиной в таком уравнении является угол поворота. Решение этого уравнения (т.е. зависимость угла поворота от времени) показывает, что угол поворота (и все прочие параметры, т.е. угловые скорость и ускорение, момент импульса, кинетическая энергия и т.д.) периодически повторяются.

Такие периодические изменения и повторения состояния системы называются колебаниями, если система обладает собственной частотой, имеет положение устойчивого равновесия и, кроме того, существует воздействие, стремящееся вернуть систему в положение равновесия.

Примечание: Любой физический маятник нельзя рассматривать как изолированную конструкцию: это всегда система взаимодействующих тел. Имеется ось подвеса, закреплённая неподвижно на массивном теле; со стороны оси к маятнику приложена сила реакции, не позволяющая ему падать вниз - на Землю; модуль и направление силы реакции также периодически изменяются и в ряде технических устройств необходимо определять эти воздействия на ось; и, наконец, в систему включается Земля, с которой маятник взаимодействует через гравитационное поле.

К любому реальному физическому маятнику обычно приложены четыре силы:

1) Сила гравитации, момент которой стремится вернуть маятник в положение равновесия;

2) Сила реакции оси подвеса, момент которой равен нулю и не влияет на характер колебаний;

3) Сила трения на оси;

4) Сила сопротивления воздуха.

Две последние силы обеспечивают затухание колебаний. Если трение и сопротивление оказываются большими, периодическое движение не возникает.

В данной работе трение и сопротивление достаточно малы и колебания описываются следующей формулой для угла поворота:

φ(t) = φ_макс ∙ sin (k₀ ∙t + α) , (1)

где: φ_макс - максимальный угол отклонения от вертикали (амплитуда колебаний; α - начальная фаза колебаний; k₀ = - собственная циклическая частота (m - масса маятника; l_c - расстояние от оси подвеса до центра масс; I_p - момент инерции маятника относительно оси подвеса); t - время.

Формула (1) является решением уравнения:

d²φ/dt² + k_o²φ = 0 (2)

Уравнение (2) называется уравнением свободных гармонических колебаний и в случае малых отклонений физического маятника легко получается из уравнения для вращательного движения тела:

I_р ε = М_р , (3)

где: ε = d²φ/dt₂ - угловое ускорение; I_р - момент инерции тела относительно оси вращения; М_р - момент силы тяжести относительно оси вращения.

Для вывода уравнения (2) из (3) надо учесть, что при малых углах отклонения момент силы тяжести в уравнении (3) равен:

М_р = –m g l_c sin φ ≈ –m g l_c φ (4)

Формула (4) определяет проекцию на ось вращения (см. рис. 2) вектора момента силы тяжести. Знак «минус» появляется при расчёте проекции на основе правила вычисления компонент векторного произведения векторов:

= х (5)

Отметим, что при больших углах отклонения периодическое движение маятника также сохраняется, но уравнение колебаний и его решение будут иметь другой вид. Такие колебания при больших отклонениях от положения равновесия называются нелинейными.

В данной работе необходимо учитывать условие малых отклонений (φ<10⁰,см. Приложение), чтобы колебания оставались линейнымии можно было бы пользоваться уравнением (2) и его решением (1). Только при этом условии при известных массе, положении центра масс и моменте инерции можно правильно вычислить циклическую частоту k₀ и период T₀ собственных гармонических колебаний.

Частота k₀ имеет специальное название «циклическая» и определяет число одинаковых состояний (колебаний) за интервал времени, равный 2 сек. Период колебаний Т₀ (интервал времени между двумя ближайшими одинаковыми состояниями) определяется формулой:

T₀ = 2 /k₀ = 2 (6)

Формулу (6) применяют на практике для экспериментального определения неизвестных моментов инерции тел сложной формы. Для этого вначале определяется положение центра масс тела. Затем исследуемое тело закрепляется на оси, относительно которой требуется найти момент инерции. После измерения периода колебаний вычисляется неизвестный момент инерции.

Рис. 2.

Пояснение к рисунку.

Полюс системы координат X, Y, Z находится в т. P, через которую проходит ось вращения, перпендикулярная плоскости рисунка. Ось X лежит на оси вращения и на неё проектируется вектор момента силы тяжести .

В показанном здесь положении маятника вектор направлен противоположно направлению оси X (проекция M_p<0). При отклонении маятника в другую сторону направление вектора изменяется (проекция M_p>0).

Докажите, применяя определитель векторного произведения ( = х ), что формулы (4) - (5) правильно показывают знак проекции момента силы на ось X. Для этого надо учесть, что проекция вектора на ось Y меняет знак при повороте маятника.

В данной работе требуется выполнить следующие исследования:

1. Экспериментально (методом прямых измерений) найти периоды колебаний стержневой конструкции маятника и периоды колебаний маятника с несколькими вариантами установки дополнительных грузов.

Найти частоты колебаний, применяя формулу:

k₀ = 2 /T₀ (6 а)

2. Расчётом найти положения центров масс маятника для каждого опыта (см. Дополнение 1).

3. После определения положения центров масс найти моменты инерции каждого варианта маятника, т.е. маятника, состоящего из одних стержней, и маятников с дополнительными грузами. Для этого надо воспользоваться формулой (6), преобразовав её к виду:

I_p = (T₀/2 )² m g l_c (6 б)

Отметим, что таким способом выполняется косвенное измерение моментов инерции и при обработке результатов необходимо соблюдать специальные требования для определения средних значений величин I_p и погрешностей измерений.

4. Вычислить моменты инерции, (см. Дополнение 2) для каждого варианта маятника и сравнить найденные значения со средними значениями моментов инерции, определенных по формуле (6 б).

Дополнение 1. Определение центров масс.

Положение центров масс твёрдых тел и конструкций, состоящих из твёрдых тел, можно определять экспериментальными и расчётными методами.

Экспериментальные методы описаны в специальной литературе, к ним относятся: метод установки на точечных опорах (призмах), метод подвешивания на нити, метод качений.

Теоретические методы подразделяются на следующие виды:

1)метод симметрии;

2)метод разбиения на части;

3)метод "отрицательных масс" (для тел с полостями-пустотами);

4)метод интегрирования (для несимметричных неоднородных тел).

Эти методы также описаны в специальной литературе. Здесь отметим, что все виды расчётов основаны на главном определении понятия центра масс.

Центром масс системы материальных точек называется геометрическая точка, положение которой относительно заданной системы отсчёта определяется радиус - вектором , равным:

= / , (7)

где: , - массы и радиус-векторы точек системы; n - число точек.

Формула (7) дана для конечного (счётного) количества дискретных точек. Если точки достаточно плотно (всплошную) заполняют объём системы, тогда вводится понятие плотности массы:

= dm/d , (8)

где: dm, d - дифференциалы массы m* и объёма системы. В этом случае масса системы определяется интегралом по объёму:

m^* = = , (9)

где может быть постоянной либо переменной величиной.

Система "всплошную" расположенных точек называется континуумом.

Континуальные модели широко применяются при исследовании твёрдых, жидких и газообразных сред.

Положение центра масс объёма, заполненного континуумом, определяется формулой:

, (10)

где - радиус - векторы точек объёма.

Опыт и теоретические исследования показали, что центр масс - это точка с замечательными свойствами. Например, если на тело действует несколько параллельных сил, то равнодействующая этих сил оказывается приложенной в центре масс. В частности, силы тяжести, приложенные к точкам тела, всегда параллельны (если тело не обладает гигантскими размерами, что требует учёта кривизны поверхности Земли).

А в динамике системы центр масс можно рассматривать как условную материальную точку, движение которой подчиняется II закону Ньютона.

Вернёмся теперь к теоретическим методам определения положения центра масс и рассмотрим два первых способа.

Метод симметрии используется при условии, что тело однородное и обладает либо центром, либо осью, либо плоскостью симметрии. В этом случае можно сразу указать, что центр масс расположен в центре симметрии, либо (где-то) на оси, либо (где-то) на плоскости симметрии. Для определения положения центра масс на оси или на плоскости требуется выполнить расчёты с использованием координатной системы и проекций формулы (10).

Примечание: см. ниже аналогичные формулы (11) в методе разбиения на части, где вместо интегралов даны суммы.

Метод разбиения на части применяется для конструкций из нескольких тел, если массы и положения центров масс этих тел известны. Для расчётов ис-

пользуется координатная система и проекции формулы (7):

(11)

Здесь: m_i - массы частей конструкции; x_i, y_i, z_i - координаты центров масс частей конструкции; n - число частей; x_c, y_c, z_c - координаты центра масс всей конструкции; m^* = - суммарная масса.

Примечание: Направления осей и начало координат следует выбрать таким образом, чтобы оптимально упростить вычисления. Например, в случае исследуемого маятника начало координат надо поместить в точке подвеса, одну из осей направить вниз вдоль вертикального стержня. Учитывая симметрию маятника, сразу определяем, что центр масс расположен на этой вертикальной оси. Координата центра масс маятника дает расстояние от центра масс до точки подвеса. Эта координата вычисляется по одной из формул (11).

Дополнение 2. Определение моментов инерции.

Моменты инерции являются одной из важнейших характеристик твёрдых тел, так как служат мерой инертности тел при поворотах (вращении) в пространстве. Моменты инерции зависят от расположения оси, относительно которой поворачивается тело. Значения моментов инерции можно определять экспериментальными либо расчётными методами.

Способ расчёта зависит от формы тела и от степени его однородности. Для однородных симметричных фигур тела в справочниках даны формулы, определяющие моменты инерции относительно осей симметрии. Такие моменты инерции называются главными моментами инерции, а оси симметрии - главными осями тела.

Примечание: Отметим, что оси симметрии становятся главными осями тела только в случае его однородности ( = сonst) либо (для составных конструкций) в случае симметрии масс. Исследования свойств твёрдых тел показали, что тела любой несимметричной формы также обладают тремя взаимно-перпендикулярными осями, пересекающимися в центре масс, которые называются главными осями тела. Замечательные свойства главных осей тела и способы их нахождения описаны в учебной и специальной литературе.

Зная главные моменты инерции I_c, можно затем вычислить момент инерции относительно любой оси N, параллельной главной оси тела. Для этого применяют формулу:

I_N = I_c + m l² , (12)

где: m - масса тела; l - расстояние между главной осью и заданной осью N.

Примечание: Формула (12) доказывается теоремой Штейнера.

В общем случае для расчётов моментов инерции (в том числе и главных) применяется интегрирование по объёму тела:

I = , (13)

где: h - расстояние от точек тела до заданной оси; dm= d , при этом плотность может быть постоянной либо переменной величиной.

Для вычисления интегралов в формуле (13) в зависимости от формы тела используют декартову, цилиндрическую или сферическую координатные системы.

Если рассматривается конструкция, включающая в себя несколько жёстко соединённых твёрдых тел, и требуется найти момент инерции относительно некоторой оси, тогда применяют правило: момент инерции системы тел относительно оси равен сумме моментов инерции всех тел относительно одной и той же данной оси.

Например, рассматриваемый здесь маятник имеет форму буквы Т. Обозначим полную длину горизонтального стержня через l₁ и его массу – m₁. Пусть длина вертикального стержня l₂ и его масса m₂ (рис. 3).

а) б)

Рис. 3.

Тогда момент инерции стержневой конструкции относительно оси в точке Р (см. рис. 3а) определяется формулой:

I_p = I_p1 + I_p2 , (14)

где: I_p₁ = m₁l₁²/12; I_p₂ = m₂l₂²/3.

При установке на стержнях дополнительных одинаковых грузов (см. рис. 3 б) момент инерции равен:

I_p = I_p1 + I_p2 + 2I_p3 + I_p4 , (15)

где: I_p₃ = m a²; I_p₄ = m b² (m - массы грузов, которые принимаем за материальные точки; a и b - расстояния от оси в точке P до центров грузов).

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Экспериментальная часть.

Для проведения измерений используются: штатив с подвесом для физического маятника; секундомер; три одинаковых груза, находящиеся в коробке.

Физический маятник стержневой конструкции установлен на штативе. Конструкция состоит из трёх стержней, ввинченных в центральную втулку, закреплённую на оси. Два стержня ввинчены горизонтально, их надо рассматривать как один стержень длины l₁ (см. рис. 3а). Третий стержень длины l₂ ввинчен перпендикулярно к первым и в положении равновесия расположен вертикально.

На стержнях могут располагаться дополнительные грузы, которые легко перемещаются вдоль стержней и закрепляются на них винтами. На стержнях нанесены сантиметровые метки, позволяющие определять расстояния от оси подвеса до центров грузов.

Длина горизонтального стержня l₁ = (54,0 + 0,2) см; его масса m₁ = (118 ± 1) г.

Длина вертикального стержня l₂ = (27,0 + 0,1) см; его масса m₂ =

(58 ± 0,5) г.

Массы грузов одинаковы: m = (195,4 ± 1) г. Продольный размер грузов равен 2 см, что надо учитывать при отсчёте расстояний между центрами грузов и осью.

Примечание: Длины и массы стержней даны с учётом центральной втулки, диаметр которой равен 4 см.

Прямые измерения состоят в определении периода колебаний восьми вариантов маятника. Эти варианты показаны на схемах рис. 4 и требуют выполнения восьми опытов.

Рис.4

Во всех опытах на стержнях размещаются дополнительные грузы (по одному, по два или по три груза, согласно схеме рис.4). Расстояния от оси маятника до центров грузов указаны в сантиметрах. Все опыты проводятся следующим образом. Надо отклонить приблизительный центр масс маятника на угол (5 - 10)⁰ – на верхней плоскости электросекундомера нанесена примерная линия - затем отпустить и одновременно включить секундомер. Измерить полное время 10 (десяти) качаний (т.е. в конце десятого периода выключить секундомер). Записать время t в таблицу 1. Каждый опыт провести n раз.

Таблица 1

Кол. изм. n Время, с	«	«
t₁
«
t₈

На этом завершаются прямые измерения. После окончания опытов следует снять грузы со стержней и уложить их в коробку.

Примечание: Количество опытов и размещение грузов на стержнях могут быть изменены по указанию преподавателя.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ

2.2.1. Обработка результатов включает в себя:

а) вычисление средних значений и погрешностей результатов прямых измерений;

б) вычисление средних значений и погрешностей результатов косвенных измерений;

в) промежуточные расчёты.

При расчёте погрешностей руководствоваться методическими указаниями №100.

В данной работе косвенными являются измерения собственной циклической частоты маятника и измерения момента инерции на основе опытных данных о периоде колебаний.

Промежуточными расчётами являются вычисления расстояний от оси подвеса до центра масс маятника. К ним относятся также проверочные расчёты моментов инерции маятника для сравнения с опытными данными.

2.2.2. По данным прямых измерений (табл.1) вычислить средний период колебаний каждого маятника:

(16)

Здесь: Т₀₁ = t₁/10 и т.д. до Т₀₈ = t₈/10.

Найти погрешность измерения периодов ΔТ₀, учитывая только случайную статистическую ошибку (ошибкой округления и систематической ошибкой секундомера в этом измерении пренебрегаем).

Результаты занести в таблицу 2.

2.2.3. Вычислить среднее значение собственной циклической частоты каждого маятника, используя формулу (6 а):

<k₀> = 2 /<T₀>

Найти погрешность измерения Δk₀ и занести результаты в таблицу 2.

Таблица 2

№ опыта Период и частота
<Т₀>,с
ΔТ₀, с
<k₀>,с^-1
Δk₀, c^-1

2.2.4. Используя формулы (11) и пояснения в Дополнении 1, вычислить средние расстояния <l_c> от оси подвеса до центра масс каждого маятника. Результаты расчётов занести в таблицу 3.

Примечание: Результаты расчётов l_c определяют средние значения, так как величины масс грузов и стержней являются средними значениями с учётом указанной выше погрешности; усреднёнными являются также размеры стержней; показанные на рис.4 расстояния от центров грузов до оси подвеса имеют погрешность Δl = ± 0,1 см.

2.2.5. Используя формулу (6 б), найти средние значения моментов инерции <I_p^(э)> каждого маятника. Результаты занести в таблицу 3.

Напомним ещё раз, что эти расчёты определяют результаты косвенных измерений и по этой причине обозначены здесь верхним индексом «э».

2.2.6. Используя формулы (14) - (15), вычислить средние значения моментов инерции <I_p^(в)> каждого маятника. Результаты занести в таблицу 3. Здесь результаты вычислений обозначены верхним индексом «в».

Таблица 3

№ опыта l_c, I⁽^э), I⁽^в)
<l_c>, м
I_p⁽^э), кгм²
I_p^(в), кгм²

2.2.7. По указанию преподавателя для двух вариантов маятника (с двумя и тремя грузами) найти погрешности величин l_c, I_p^(э), I_p^(в). В расчётах учесть, что расстояния от центров грузов до оси маятника определяются с погрешностью Δl = ± 0,1 см.

Примечание: Обратите внимание на то, что эти расчёты в п.6 подскажут, сколько значащих цифр следует приводить для величин l_c, I_p в таблице 3, так как погрешность вычисляется с двумя значащими цифрами.

ПРИЛОЖЕНИЕ:

Значения углов (в радианах) и функций sin φ:

угол j (град)	sin j	угол j (рад)

	0,0349	0,0349
	0,0698	0,0698
	0,1045	0,1047
	0,1392	0,1396
	0,1736	0,1745
	0,2588	0,2618
	0,5000	0,5236
	0,7071	0,7854
	0,8660	1,0472
	0,966	1,309
	1,000	1,571

Пояснение: Данные таблицы показывают, что наиболее точные измерения с маятником выполняются при отклонении маятников в пределах угла j<5 град. Допускаются отклонения до 10 град. С ростом угла j колебания становятся нелинейными, т. к. при этом sin j < j.

3. ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ (ПРИМЕРНЫЕ):

3.1. Объяснить цель и методику выполнения эксперимента. Какие результаты получены способами прямых и косвенных измерений?

3.2. Понятия массы и момента инерции, силы и момента силы.

3.3. Понятие центра масс. Способы определения положения центра масс.

3.4. Понятие колебаний. Частота и период колебаний.

3.5. Как получить уравнения гармонических колебаний физического маятника из уравнения динамики вращательного движения?

3.6. Объяснить причины изменения периодов колебаний у маятников в проведённом опыте.