ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

краткие теоретические сведения

На операционном усилителе

Цель работы – изучение характеристик операционного усилителя (ОУ) и его свойств, причин погрешностей выполнения операций, принципов построения различных функциональных узлов на базе ОУ, исследование работы инвертирующего, неинвертирующего сумматоров и интегратора.

краткие теоретические сведения

Функциональное назначение и особенности ОУ. Операционный усилитель представляет собой многокаскадный усилитель постоянного тока с коэффициентом усиления, достига-ющим несколько сотен тысяч, он имеет инвертирующий и неинвертирующий входы и один выход. Благодаря достижениям в области микроэлектроники выпускаются в настоящее время большое разнообразие типов ОУ в интегральном исполнении. Они применяются в качестве многофункциональных элементов в усилительной технике, устройствах формирования аналоговых и импульсных сигналов, в стабилизаторах напряжения, для построения активных фильтров, в системах автоматического управления и в другой аппаратуре различного назначения. Одной из основных функций ОУ является также выполнение различных операций с аналоговыми сигналами – суммирование, инвертирование, интегрирование, дифференцирование, логарифмирование, решение системы дифференциальных уравнений с переключательными функциями, преобразование тока в напряжение и других.

Условное обозначение ОУ в электронных схемах приведено на рис. 1.1. Здесь К_U₀ = U_вых / U_вх – коэффициент усиления по напряжению для постоянных или медленно изменяющихся сигналов. U_{вх и} – инвертирующий вход, U_{вх н} – неинвертиру-ющий вход, в соответствии с которыми формируется полярность напряжения на выходе U_вых .

Рис. 1.1. Условное обозначение ОУ

Напряжение питания ОУ, входной и выходной сигналы обычно двуполярные, что отображают его передаточные характеристики по инвертирующему и неинвертирующему входам U_вых = F (U_вх ), приведенные на рис. 1.2. При малых значениях входных сигналов эти характеристики имеют линейный характер, с ростом U_вх происходит ограничение выходного напряжения на уровне U_вых < E_к и возникают нелинейные искажения.

Рис. 1.2. Передаточные характеристики ОУ

Данное обстоятельство следует учитывать при определении максимально допустимой амплитуды выходного сигнала. Кроме этого, при U_ВХ = 0 на выходе ОУ может присутствовать небольшое напряжение, которое обусловлено главным образом разбалансом мостовой схемы входного дифференциального каскада. Устранить разбаланс можно путем подачи на инвертирующий вход ОУ через резистор определенного напряжения смещения . Однако это напряжение может изменяться (дрейфовать) при воздействии дестабилизирующих факторов, таких как изменение температуры окружающей среды (темпера турный дрейф), колебание напряжения источника питания и старение элементов схемы. Обычно при обработке сигналов ОУ охвачен цепью ООС, которая стабилизирует режим постоянного тока и существенно снижает напряжение дрейфа нулевого уровня. В результате его значение становится пренебрежимо малым на выходе усилителя по сравнению с полезным сигналом, что позволяет реализовать заданные функции с необходимой точностью.

Работа ОУ в режиме переменного тока. В простейшем случае однокаскадный усилитель можно представить (рис. 1.3) в виде инерционного звена первого порядка, где К_U₀ U_ВХ – эквивалентный источник выходного сигнала [8].

Рис. 1.3. Эквивалентная схема ОУ

Если принять R_н >> R_вых , что обычно имеет место на практике, то выражение для комплексного коэффициента передачи ОУ будет иметь вид:

, (1.1)

где R_вых – выходное сопротивление усилителя; С_э – эквивалентный конденсатор, отображающий емкость p-n переходов транзисторов и распределенную емкость монтажа.

Для построения амплитудно-частотной характеристики усилителя необходимо найти модуль комплексного коэффициента передачи по выражению:

. (1.2)

На рис. 1.4, а приведена АЧХ усилителя К_U₀ (w ) = F ( f ), где значение коэффициента усиления выражено в децибелах , а частота – в логарифмическом масштабе. Здесь – частота среза, при которой коэффициент передачи ОУ уменьшается до значения . Частота соответствует частоте единичного усиления ОУ.

При подаче сигнала на неинвертирующий вход ОУ его фаза-частотная характеристика j (w ) = F ( f ) описывается выражением:

j (w ) = – arctg w R_вых С_э . (1.3)

График ФЧХ приведен на рис. 1.4, б, откуда видно, что на частотах и запаздывание выходного напряжения составляет соответственно 45° и около 90°.

Рис. 1.4. Амплитудно-частотная (а) и фазо-частотная (б) характеристики однокаскадного усилителя по неинвертирующему входу

Многокаскадный усилитель можно представить как цепочку последовательно включенных каскадов, каждый из которых имеет свой коэффициент усиления и постоянную времени t = RC, аналогично рассмотренной схеме рис. 1.3. Модуль комплексного коэффициента передачи каждого каскада и фазовый сдвиг сигнала определяется аналогичными выражениями (1.2), (1.3). Тогда общий коэффициент усиления ОУ трех усилителей по модулю и суммарный фазовый сдвиг найдем из выражений:

K_U₀ (w ) = K_U ₁ (w ) × K_U ₂ (w ) × K_U ₃ (w );

j (w ) = j ₁ (w ) + j ₂ (w ) + j ₃ (w ),

где K_U ₁ (w ), K_U ₂ (w ), K_U ₃ (w ) и j ₁ (w ), j ₂ (w ), j ₃ (w ) – коэффициенты усиления по напряжению и фазовые сдвиги выходных сигналов отдельных каскадов.

Выполнив вычисления и построение АЧХ и ФЧХ всего усилителя, получим графики, приведенные на рис. 1.5. Здесь АЧХ аппроксимирована отрезками для демонстрации изменения крутизны спада характеристики на высоких частотах (рис.1.5, а). Каждый каскад усиления представлен звеном первого порядка и создает спад АЧХ 6 дБ /октаву.

Рис. 1.5. Амплитудно-частотная (а) и фазо-частотная (б) характеристики многокаскадного усилителя по инвертирующему входу

Параметры этих звеньев выбраны такими, чтобы их постоянные времени уменьшались от первого звена к последнему. Поэтому на частотах выше = 1/(2pR_вых₁С_э₁) спад АЧХ всего усилителя составляет 6дБ/октаву и обусловлен только первым каскадом, а на частотах выше = 1/ (2pR_вых₂С_э₂) и = 1/ (2pR_вых₃С_э₃) спад составляет 12 и 18 дБ /октаву, вносимый соответственно вторым и третьим каскадами.

Как следует из рис. 1.4, б, наибольшее отставание выходного сигнала по фазе в одном каскаде составляет 90°, а в трехкаскадном усилителе эта задержка равна 270°. Если входной сигнал подается на инвертирующий вход ОУ, то максимальная суммарная задержка по фазе увеличивается на 180°, как показано на рис. 1.5, б, и составляет около 450° на частоте f₁ . Таким образом, в диапазоне частот ¸ присутствует частота, фазовый сдвиг которой равен 360°. В этом случае при включении резистора между выходом усилителя и инвертирующим входом может возникнуть его самовозбуждение из-за преобразования отрицательной обратной связи в положительную.

Самовозбуждение возникает, если не выполняется условие K_U_oc = b_ОС × K_U₀ < 1, где b_ОС и К_U₀ – коэффициенты передачи соответственно звена обратной связи и усилителя. Для решения практических задач необходимо применять такие звенья обратной связи, чтобы иметь K_U_oc >> 1. Поэтому с целью обеспечения устойчивости усилителя при наличии ООС часто возникает необходимость в коррекции параметров АЧХ и ФЧХ путем подключения дополнительных RC-цепей непосредственно в микросхеме ОУ либо через ее внешние зажимы.

Причины погрешностей выполнения операций на основе ОУ. Точность выполнения операций определяется в значительной мере отклонением параметров ОУ от идеальных значений. Рассмотрим влияние некоторых из них на примере реализации операции суммирования. Схема сумматора по инвертирующему входу ОУ приведена на рис. 1.6. Если собственный коэффициент усиления ОУ (при разомкнутой ООС) достаточно большой, например, К_U₀ = 2×10⁵ , то потенциал его суммиру-ющей точки U_S близок к нулю.

Рис. 1.6. Инвертирующий сумматор

В частности, при напряжении питания 5 В и максимальном выходном сигнале получим U_S мкВ. При определении тока в цепи резисторов R₁ , R₂ ,…, R_N можно пренебречь влиянием U_S , если наименьшее значение суммируемого напряжения будет не менее 2,5 мВ, т. е. погрешность составит около 1%. Тогда можно записать: I₁ = U_вх ₁ / R₁ ; I₂ = U_вх ₂ / R₂ ; I_N = U_вх _N / R_N.

Входное сопротивление ОУ достаточно велико и изменяется от едениц кОм в схемах на биполярных транзисторах до десятков МОм – на полевых транзисторах. Операцию суммирования можно выполнить в широком диапазоне значений резисторов R₁ ,…, R_N, однако для обеспечения точного суммирования токов необходимо выбрать эти резисторы такими, чтобы минимальное значение любого из токов I₁ ,…, I_N было намного больше чем, входной ток усилителя I_вх.оу. Например, при I_вх.оу = = 1нА, U_{вх .мин} = 2,5 мВ и погрешности суммирования токов 1% максимальное сопротивление R_i_мак не должно превышать 25 кОм. В этом случае можно принять, что ток I_ос в цепи обратной связи ОУ равен: I_oc » I₁ + I₂ +…+ I_N .

Резистор отрицательной обратной связи усилителя R_ос может изменяться в зависимости о требуемого коэффициента передачи сумматора, обычно он такого же порядка, что и входные резисторы R_i. Выходное сопротивление усилителя R_вых. _ОУ без петли ООС относительно мало, поскольку оконечный каскад выполняется, как правило, по схеме ОК. Для схемы на биполярных транзисторах это сопротивление обычно не превышает нескольких сотен Ом. Ток I_oc , протекающий в цепи ООС, создает падение напряжения на R_ос, которое можно принять равным U_вых при выполнении условий R_{вых. оу} << R_н и U_S» 0.

Отрицательная обратная связь приводит к увеличению входного и уменьшению выходного сопротивлений ОУ в соответствии с выражениями:

R_вх.ос = R_вх.оу × (1 + К_U _O b_ОС); (1.4)

R_вых.ос = R_вых.оу / (1 + К_U _О b_ОС), (1.5)

где R_вх.оу и R_вых.оу – входное и выходное сопротивления усилителя без ООС.

При конечном значении входного сопротивления ОУ и отсутствии сигналов на всех входах сумматора, когда резисторы R₁ ,…, R_N заземлены через нулевое внутреннее сопротивление источников сигнала, существуют небольшие начальные входные токи смещения по инвертирующему I_C_М1 и неинвертирующему I_СМ2 входам усилителя. Значения этих токов зависят от схемы входного дифференциального каскада. В частности, в схеме на биполярных транзисторах они являются базовыми токами смещения, а в схеме на полевых транзисторах – токами утечки затворов. В результате потенциал суммирующей точки U_S отличается от нулевого значения на величину напряжения смещения U_C_м₁, которое передается на выход U_вых.см = I_см (R_S || R_o_c), где I_см = I_см₁ = I_см₂ , а R_S – результирующее сопротивление параллельно включенных резисторов R₁ ,…, R_N. Компенсацию U_см1 можно выполнить путем формирования на неинвертирующем входе усилителя напряжения U_см2 = U_см1 , в цепи которого протекает ток I_см₂. Для этого данный вход подключается к общей точке через резистор R_О = R_S || R_oc.

Знание изложенных свойств ОУ важно для понимания физических процессов при выполнении математических операций с входными сигналами, а также вывода соотношений коэффициентов передачи сигналов. Выражение для определения выходного напряжения инвертирующего сумматора при К_U _O® ¥ имеет вид:

. (1.6)

Если принять R₁ = R₂ = … = R_N = R, то . В случае равенства R = R_ос получим:

U_вых = – (U_вх ₁ + U_вх ₂ +…+ U_вх _N ) (1.7)

Реальный ОУ имеет конечное значение коэффициента усиления по напряжению К_U₀ , что необходимо учитывать в ряде практических случаев с целью оценки точности выполнения математических операций. Рассмотрим вывод соотношения для определения U_вых.р с учетом значения К_U₀ в диапазоне частот сигналов, где остаются неизменными параметры транзисторов усилителя и не влияют высокочастотные RC-цепи коррекции [9].

С учетом напряжения в суммирующей точке U_S и равенства I₁ + I₂ +…+ I_N + I_ОС = 0 для операции суммирования (рис. 1.6) можно записать:

Преобразуем данное выражение:

. Подставив значение U_S = – U_{ВЫХ .Р} / К_U₀ , найдем:

Отсюда

. (1.8)

Как видно из (1.8), при К_U₀ ® ¥ получим упрощенное выражение (1.6). Погрешность, обусловленная К_U₀, определяется как разность между идеальным U_ВЫХ и реальным U_ВЫХ.Р значе ниями выходной величины DU_{ВЫХ. П} = U_ВЫХ – U_{ВЫХ. Р} .

При выполнении операций неинвертирующим сумматором выходные сигналы подаются, как показано на рис. 1.7, через резисторы на неинвертирующий вход ОУ. Полагаем, что входные токи усилителя I_{ВХ. ОУ} по обоим входам пренебрежимо малы и коэффициент K_U₀ ® ¥. Тогда напряжение U_ВХО на неинвертирующем входе усилителя будет пропорционально только токам входных сигналов I₁ ,…, I_N , протекающих в цепях резисторов. При анализе работы данной схемы следует помнить также одно из основных свойств ОУ: в сбалансированной схеме разность потенциалов между инвертирующим и неинвертирующим входами U₀ » 0. Поэтому соблюдается с высокой точностью равенство сигналов U_{ВХ 0} = U_S. С учетом данного свойства можно записать: I_O = I_ОС = U_ВХО /R_О. При протекании тока обратной связи через резистор R_OC создается падение напряжения, которое складывается с U_ВХО . В результате выходное напряжение равно:

U_ВЫХ = I_OC R_OC + U_ВХО . (1.9)

Изменяя значения R_OC или R_O, можно масштабировать выходной сигнал суммы.

Рис. 1.7. Неинвертирующий сумматор

На основании изложенного принципа работы сумматора можно записать выражения : I₁ + I₂ +…+ I_N = 0 или

Откуда

. (1.10)

Выполнив подстановку выражений для I_ОС и U_ВХО в (1.9), найдем:

. (1.11)

В случае равенства R₁ = R₂ =…= R_N получим:

, (1.12)

где N – число входов сумматора.

Интегратор и дифференциатор на ОУ. Функцию интегрирования можно реализовать по схеме рис. 1.8, а при включении в цепь обратной связи ОУ конденсатора, а входной сигнал подать на инвертирующий вход усилителя через резистор. Ток в цепи резистора R₁, пропорциональный мгновенному значению входного напряжения U_ВХ1 , протекает также через конденсатор С_ОС обратной связи, создавая на нем интегральное значение напряжения. Так как потенциал суммирующей точки U_S практически равен нулю, то напряжение на выходе U_ВЫХ равно напряжению на этом конденсаторе.

На схеме рис. 1.8, б приведены временные диаграммы работы интегратора при импульсном входном сигнале. В интервале времени t₀ ¸ t₁ подается на вход импульс отрицательной полярности, в результате напряжение U_ВЫХ линейно нарастает. При скачкообразном изменении полярности входного сигнала в момент t₁ начинается спад напряжения U_ВЫХ , так как изменяется направление тока через конденсатор на противоположное и уменьшается его заряд. В момент t₂ , когда U_ВХ.1 = 0, ток в цепи конденсатора становится равным нулю, и он сохраняет свой заряд неизменным.

а)

б)

Рис. 1.8. Схема интегратора на ОУ (а) и его временные диаграммы работы (б)

В реальном интеграторе напряжение заряда конденсатора подвержено некоторому изменению из-за дрейфа нулевого уровня ОУ, в результате искажается выходной сигнал. Полностью исключить напряжение дрейфа в УПТ невозможно, поэтому стремятся уменьшить его величину по отношению к полезному сигналу.

Так как I_R ₁ = I_OC, работу интегратора можно описать дифференциальным уравнением:

откуда

, (1.13)

где U_{ВЫХ 0} – начальное выходное напряжение интегратора (начальные условия) в момент t_O подачи входного сигнала.

Дифференцирование сигналов выполняется по схеме (рис. 1.9, а). Ток во входной цепи определяется равенством:

I_C = I_OC = CdU_ВХ /dt. Протекая через сопротивление обратной связи R_OC, этот ток создает падение напряжения, пропорциональное производной входного сигнала, поэтому для выходного напряжения справедливо выражение:

. (1.14)

Отличительной особенностью дифференциатора является его высокая чувствительность по входу к импульсным и высокочастотным помехам. Это обусловлено относительно малым реактивным сопротивлением конденсатора С для этих помех. В результате значительно возрастает коэффициент передачи дифференциатора и напряжение помех на выходе, что может привести к самовозбуждению усилителя.

Для обеспечения заданного соотношения сигнал-помеха на выходе дифференциатора, а также его устойчивой работы включают во входную цепь и в цепь обратной связи корректирующие элементы R_К и С_К , на рис. 1.9, а они показаны пунктиром. Эти элементы снижают точность дифференцирования, поэтому для получения приемлемой точности они выбираются такими, чтобы в рабочем диапазоне частот дифференциатора выполнялись условия: 1/w С >> R_K ; 1/w C_K >> R_OC . На рис. 1.9, б приведены временные диаграммы работы дифференциатора при подаче на его вход напряжения трапециидальной формы. В момент t₀ начинает линейно нарастать положительное напряжение U_ВХ1 с постоянной скоростью dU_ВХ1 /dt = = const. Благодаря инверсии знака сигнала производной на выходе дифференциатора формируется отрицательный импульс неизменной амплитуды до момента t₁ , пока линейно нарастает U_ВХ1. В момент t₁ изменяется скачком производная входного сигнала и становится равной dU_ВХ.1 /dt = 0 до момента t₂ . Соответственно в интервале t₁ ¸ t₂ имеем U_ВЫХ = 0. В момент t₂ изменяется знак производной, но ее величина остается неизменной до момента t₃ , поэтому на выходе дифференциатора формируется положительный импульс. Аналогично формируются импульсы на интервале t₃ ¸ t₄ , только с меньшей амплитудой.

а)

б)

Рис. 1.9. Схема дифференциатора на ОУ (а) и его временные диаграммы работы (б)

2. ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

2.1. Собираем на лабораторной установке принципиальную схему инвертирующего сумматора по рис. 2.1, используя соединительные проводники.

Рис. 2.1. Инвертирующий сумматор

2.2. Устанавливаем с помощью потенциометров R_A, R_B и R_Cнапряжения входных сигналов , и такой величины, чтобы суммарное напряжение на выходе ОУ не превышало верхней границы его линейного диапазона.

2.3. Вычисляем значение по формуле (1.6) и сравниваем результат расчета с экспериментом.

Погрешность может быть вызвана конечным значением К_U₀ ОУ, неточной установкой выходных напряжений и измерения выходного напряжения по осциллографу, а также сопротивлений резисторов.

2.4. Собираем схему неинвертирующего сумматора по рис. 2.2.

Рис. 2.2. Неинвертирующий сумматор

2.5. Устанавливаем с помощью потенциометров R_Aи R_Bопределенные значения напряжений на входах сумматора U _BX₁и U_BX₂. Измеряем напряжение на его выходе и вычисляем значение U _B_Ы_X по формуле (1.7). Определяем погрешность выполнения операции суммирования.

2.6. Собираем схему интегратора по рис. 2.3. Тумблер Т устанавливаем в положение, при котором цепь обратной связи замыкается через резистор R.

Рис. 2.3. Интегратор

2.7. Подключаем на выход интегратора один вход осциллографа и устанавливаем скорость развертки луча по горизонтали одно деление в секунду, а другой его вход подключаем к подвижному контакту потенциометра R_Aи устанавливаем напряжение на этом контакте, равное нулю.

Скорость нарастания 1 В/с.

2.8. Выполняя периодически сброс выходного напряжения интегратора с помощью тумблера Т и устанавливая каждый раз при его замкнутом состоянии новое напряжение на подвижном контакте R_A, добиваемся такого значения напряжения на входе интегратора, чтобы при разомкнутом состоянии тумблера скорость нарастания напряжения на выходе интегратора составила 1 В/с.

Построим эпюры входного и выходного сигналов с указанием момента t₁- начала разомкнутого состояния тумблера Т и t₂- начала замкнутого состояния. Выполняем расчет скорости нарастания напряжения на выходе интегратора по выражению (1.8) и сравниваем результаты расчета и эксперимента.

Рис. 2.4.