ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

ДЛЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ «Цепи Маркова»

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Вариант 1

1. Частица на прямой может иметь координаты х=1,2,3,4. Каждую секунду частица может совершать единичные скачки влево или вправо с вероятностями соответственно 0,3 и 0,7. Из положения х=1 частица с вероятностью 0,7 переходит в точку х=2 и с вероятностью 0,3 остается на месте, а из положения х=4 она с вероятностью 0,7 остается на месте, а с вероятностью 0,3 перейдет в положение х=3. Составить матрицу перехода блужданий и орграф. Найти предельные вероятности.

2. Найти фундаментальную матрицу и матрицу В. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?

Вариант 2

1. На окружности расположены точки - вершины правильного четырехугольника. Частица движется из точки в точку следующим образом: из данной точки она перемещается в одну из ближайших соседних точек с вероятностью 0,5. Построить матрицу перехода и орграф данной цепи Маркова. Какова вероятность частице оказаться в этой же точке через два шага? Найти предельные вероятности.

2. Найти фундаментальную матрицу и матрицу В. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?

Вариант 3

1. В небольшом городе имеются два универсама – “Дешевый” (Д) и “Ближний” (Б), у каждого из которых сформировался свой круг покупателей. Однако каждую неделю 10% покупателей из Д переходят к Б и 20% покупателей Б меняют его на Д. Выбираем случайным образом одного местного жителя и еженедельно опрашиваем его, в каком из универсамов он производит покупки. Определяет ли последовательность его ответов марковскую цепь? Построить орграф и матрицу переходов. Вычислить вероятность того, что если покупатель был замечен на этой неделе в Д, то он еще будет покупать в Д две недели спустя. Найти предельные вероятности.

2. Найти фундаментальную матрицу и матрицу В. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?

Вариант 4

1. У некоторого профессора имеется три излюбленных вопроса, один из которых он задает на каждом экзамене. Он никогда не задает какой-либо из этих вопросов два раза подряд. Если в прошлый раз им был задан вопрос А, то он бросает монету и задает вопрос В, если выпадает герб; если это был вопрос В, то он бросает две монеты и задает вопрос С, если выпадает два герба. Если это был вопрос С, то он бросает три монеты и задает вопрос А, если выпадает три герба. Построить матрицу и орграф данной цепи Маркова. Какой из вопросов профессор задает чаще всего?

2. Найти фундаментальную матрицу и матрицу В. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?

Вариант 5

1. Предположим, что мужчин можно разделить по их профессиям на квалифицированных рабочих, неквалифицированных рабочих и служащих. Допустим, что 80% сыновей квалифицированных рабочих становятся квалифицированными рабочими, 10% - служащими и 10% - неквалифицированными рабочими. Далее, из сыновей служащих 60% становятся служащими, 20% - квалифицированными рабочими и 20% - неквалифицированными рабочими. Наконец 50% сыновей неквалифицированных рабочих пусть будут неквалифицированными рабочими и по 25% приходится на долю двух других категорий. Считая, что каждый мужчина имеет только одного сына, найти вероятность того, что внук неквалифицированного рабочего будет квалифицированным рабочим. Найти предельные вероятности.

2. Найти фундаментальную матрицу и матрицу В. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?

Вариант 6

1. Пусть - точки числовой прямой, причем точки и являются поглощающими экранами (т.е. частица, попадая в эти точки, остается в них навсегда). Частица движется следующим образом: если в какой-то момент она находится в точке , то в следующий момент она переходит в точку с вероятностью 0,5 или в точку с вероятностью 0,5. Найти матрицу вероятностей перехода за один шаг и соответствующий ей орграф. Построить матрицу переходов за два шага. Найти фундаментальную матрицу и матрицу В. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?

2. Исследовать цепь на регулярность и найти предельные вероятности, если они существуют.

Вариант 7

1. На окружности расположены точки - вершины правильного шестиугольника. Частица движется из точки в точку следующим образом: из данной точки она перемещается в одну из ближайших соседних точек с вероятностью 0,25 и в диаметрально противоположную точку с вероятностью 0,5. Построить матрицу перехода и орграф данной цепи Маркова. Какова вероятность частице оказаться в этой же точке через два шага? Существуют ли предельные вероятности?

2. Найти фундаментальную матрицу и матрицу В. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?

Вариант 8

1. Две компании А и В производят и продают очень хорошее пиво. И это единственные компании, торгующие пивом в одном небольшом городе. Ежегодно рынок этого города может поглотить ровно 4000 баррелей пива. В настоящее время на долю компании А приходится 25% объема продажи пива, а на долю компании В – остальная часть. Компания А решает начать активную рекламную компанию. В результате ежегодный объем продажи пива компанией А может возрасти на 1000 баррелей с вероятностью 3/5 и уменьшится на 1000 баррелей с вероятностью 2/5. Такой прогноз верен для тех лет, когда объем ее продажи в предшествующем году был отличен от нуля. Если же объем продажи пива падает до нуля, то компания прекращает свою деятельность в этом городе.

Определить набор состояний цепи Маркова, описывающей приведенную ситуацию, и указать соответствующие переходную матрицу и переходной орграф. Какова вероятность того, что компания А будет продавать 3000 баррелей пива через два года после начала рекламной компании?

2. Найти фундаментальную матрицу и матрицу В. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?

Вариант 9

1. Происходит случайное блуждание частиц по точкам с координатами 1, 2, 3, 4 соответственно. Граничные точки и являются отражающими экранами (т.е. частица, попадая в любую из них, в следующий момент времени возвращается в соседнюю внутреннюю точку). Если частица в некоторый момент времени находится в одной из внутренних точек ( и ), то в следующий момент времени частица переходит в соседнюю справа точку с вероятностью 0,4 и в соседнюю слева точку с вероятностью 0,6.

Построить матрицу перехода и орграф. Найти предельные вероятности.

2. Найти фундаментальную матрицу и матрицу В. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?

Вариант 10

1. Исследование рынка выявило характер поведения потребителей относительно трех сортов кофе А, В и С. Анализ показал, что из покупателей, предпочитающих в некотором месяце сорт А, в следующем месяце 60% покупают снова кофе сорта А, 30% переключаются на сорт В и 10% переходят к сорту С. Для сортов кофе В и С проценты переключения потребительского спроса равны: 50% от В к А, 30% от В к В, 20% от В к С, 40% от С к А, 40 % от С к В и 20% от С к С. Составить матрицу переходов и орграф.

Какова вероятность того, что покупатель через два месяца будет пить тот же сорт кофе, который он потребляет сейчас? (Предполагается, что сейчас покупатель с равной вероятностью пьет любой сорт кофе). Найти предельные вероятности.

2. Найти фундаментальную матрицу и матрицу В. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?

Вариант 11

1. Предположим, что у каждого мужчины имеется только один сын. И пусть рослый отец имеет сына высокого роста с вероятностью 0,6, сына среднего роста с вероятностью 0,2 и низкорослого сына с вероятностью 0,2. Отец среднего роста имеет сына высокого роста, среднего роста или низкорослого с вероятностями 0,1; 0,7; 0,2 соответственно. Низкорослый отец имеет сына высокого, среднего или низкорослого с вероятностями 0,4; 0,2; 0,4 соответственно.

Описать матрицу переходов и составить орграф для данной цепи Маркова. Какова вероятность того, что правнук высокого мужчины будет низкого роста? Найти предельные вероятности.

2. Найти фундаментальную матрицу и матрицу В. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?

Вариант 12

1. В двух ячейках находятся три предмета. Каждую секунду случайным образом выбирается один из трех предметов и перекладывается из одной ячейки в другую. В качестве состояния марковской цепи рассматривается число предметов первой ячейки. Представить данную марковскую цепь в виде орграфа. Найти матрицу перехода за 2 шага. Найти предельные вероятности.

2. Найти фундаментальную матрицу и матрицу В. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?

Вариант 13

1. В городе каждый житель имеет одну из трех профессий: А, В, С. Дети отцов, имеющих профессии А, В, С, сохраняют профессии отцов с вероятностями 3/5, 2/3, 1/4 соответственно, а если не сохраняют, то с равными вероятностями выбирают любую из двух других профессий. Найти распределение по профессиям в следующем поколении, если в данном поколении профессию А имело 20% жителей, В – 30%, С – 50%. Найти предельное распределение по профессиям.

2. Найти фундаментальную матрицу и матрицу В. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?

Вариант 14

1. Игра с монетой и игральной костью начинается с бросания монеты. Если исход бросания – Г, то следующим испытанием снова бросается монета. Если исход – Ц, то бросается игральная кость. При четном числе очков на кости в следующем испытании бросается монета, при нечетном – кость. Определяет ли последовательность испытаний марковскую цепь? Построить орграф и матрицу перехода.

Пусть игра начинается случайным образом из одного из четных состояний: Г, Ц, Ч, Н. Какова вероятность того, что через два испытания игра будет находиться в состоянии Г? Найти предельные вероятности.

2. Найти фундаментальную матрицу и матрицу В. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?

Вариант 15

1. Потребление электроэнергии летом тесно связано с температурой воздуха. Поэтому производители электроэнергии должны в принципе учитывать вероятности установления жаркой, умеренной или холодной погоды. Предположим, что прогноз погоды на завтра определяется лишь сегодняшней погодой. После холодной погоды сегодня с равными вероятностями завтра может быть жара, тепло или холод. После сегодняшней жары в половине случаев завтра будет тепло; а в третье части случаев – снова жара. Если сегодня тепло, то завтра с вероятностью 1/2 будет жара, и с вероятностью 1/3 – тепло. Построить орграф и переходную матрицу. Охарактеризовать цепь и ее отдельные состояния.

Какова вероятность того, что в ближайшие два дня сохранится сегодняшняя погода? (Предполагается, что сегодня с равной вероятностью может быть жарко, тепло, холодно). Найти предельные вероятности.

2. Найти фундаментальную матрицу и матрицу В. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?

Вариант 16

1. Социологи интересуются перемещениями, возникающими между различными профессиональными группами населения при переходе от одного поколения к другому. Приближенно можно описывать такую мобильность населения как цепь Маркова с тремя группами занятости (I, II, III). Вероятность можно интерпретировать как вероятность того, что сын человека, работающего в группе занятости , получит работу в группе занятости . По переходной матрице построить орграф данной цепи, охарактеризовать цепь и ее отдельные состояния.

Какова вероятность того, что внук человека, работающего в группе III, будет работать в группе I?

Найти предельные вероятности.

2. Найти фундаментальную матрицу и матрицу В. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?

Вариант 17

1. Игрок, имея начальный капитал 2 рубля, покупает билет лотереи по которому с вероятностью 1/5 может выиграть 1 рубль. Он продолжает игру, пока не накопит 4 рубля или не потеряет все свои деньги. Описать эту задачу с помощью цепи Маркова, охарактеризовать ее состояния, построить орграф и матрицу перехода. Существуют ли предельные вероятности. Найти фундаментальную матрицу. Стоимость билета 1 рубль.

2. Исследовать цепь Маркова, заданную матрицей перехода, на регулярность и найти предельные вероятности.

Вариант 18

1. Эскадрилья бомбардировщиков насчитывает четыре самолета. Боевое задание она получает один раз в день. Если к концу дня из-за потерь, нанесенных противником, наличный состав уменьшается до нуля, одного или двух, командир эскадрильи получает один самолет из резерва; этот самолет ему доставляют ночью. Если наличный состав окажется равным трем или четырем самолетам, командир не имеет права на пополнение. На следующий день, если в наличии имеется три или четыре самолета, то задание эскадрилье дается, в противном случае задание отменяется. Во время выполнения задания каждый самолет может быть выведен из строя с вероятностью 0,25. Ввести понятие состояния эскадрильи таким образом, чтобы система образовывала цепь Маркова. Построить матрицу перехода и соответствующий орграф. Исследовать цепь на регулярность. Существуют ли предельные вероятности?

2. Найти фундаментальную матрицу и матрицу В. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?

Вариант 19

1. Снабжение города водой осуществляется из некоторого естественного водоема. Тщательные наблюдения за ним в течение 20 лет показали, что если водоем был полон в начале лета, то он оказывается полным к началу следующего лета с вероятностью 0,8 независимо от его наполнения в предыдущие годы. Аналогично, если водоем был к началу лета незаполненным, то вероятность того, что к началу следующего лета он окажется полным, равна лишь 0,4. Определяет ли последовательность состояний водоема (“полный”, “неполный”) в начале лета цепь Маркова? Построить орграф и матрицу перехода. Определить вероятность того, что водоем будет заполнен в начале 2006г., если известно, что наблюдалось заполнение резервуара в начале 2004г. Найти предельные вероятности.

2. Найти фундаментальную матрицу и матрицу В. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?

Вариант 20

1. По двум урнам разложены 5 черных и 5 белых шаров так, что каждая урна содержит по 5 шаров. Число черных шаров в первой урне определяет состояние системы. На каждом шаге случайно выбирается по одному шару из каждой урны, и эти выбранные шары меняются местами. Найти все вероятности перехода за один шаг и построить орграф. Найти предельную вероятность - получить ровно 2 черных шара в первой урне. Записать систему уравнений для определения предельных вероятностей. Имеет ли она решение?

2. Найти фундаментальную матрицу и матрицу В. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?