ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Приближенное решение уравнений

Лабораторная работа 4

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цель работы: - изучить встроенные функции root(), polyroots(), Given-Find();

- найти корни нелинейных уравнений с одной переменной;

- найти корни полинома;

- решить систему нелинейных уравнений;

- решить систему линейных уравнений

Задание 1. Решить одно уравнения с одним неизвестным с точностью до 0,0001. Выполнить проверку решения.

Рассмотрим одно алгебраическое уравнение с одним неизвестным х

f(x)=0.

Для решения таких уравнений в Mathcad’e имеется встроенная функция root( ), которая имеет два формата:

- root(f(х),х);

- root(f(х),х,а,b);

Здесь:

- f (х) - скалярная функция с одним неизвестным,

- х- скалярная переменная, относительно которой решается уравнение,

- а, b - границы интервала, внутри которого происходит поиск корня.

Первый формат функции root( ) требует дополнительного задания начального значения (guess value) переменной х, вблизи которой будет производиться поиск корня.

Приведем пример решения уравнения 2·sin(x)+cos(x)=0 (рис. 4.1):

Рис 4.1. Поиск корня нелинейного алгебраического уравнения

Хотя уравнение имеет бесконечное количество корней, функция root() находит (с заданной точностью) только один из них, лежащий наиболее близко к х=0.6. Если задать другое начальное значение, то и решением будет другой корень уравнения. Таким образом, для поиска корня средствами Mathcad требуется его предварительная локализация. Это связано с особенностями выбранного численного метода, который является методом секущих и состоит в следующем (рис. 4.2):

- начальное приближение принимается за 0-е приближение к корню: х0=х;

- выбирается шаг h=TOL∙х и определяется первое приближение к корню x1=x0+h;

- через эти две точки (f(x0) и f(x1)) проводится секущая - прямая линия, которая пересекает ось х в некоторой точке х2. Эта точка принимается за второе приближение;

- новая секущая проводится через первую и вторую (f(x1) и f(x2)) точки, тем самым определяя третье приближение, и т. д.;

- если на каком-либо шаге оказывается, что уравнение выполнено, т. е. if |(x)|<TOL, то итерационный процесс прерывается, и х выдается в качестве решения.

Рис. 4.2. Иллюстрация метода секущих

Чем меньше константа TOL, тем ближе к нулю будет значение f(x) в найденном корне, но тем больше времени будет затрачено вычислительным процессором Mathcad на его поиск.

Если уравнение неразрешимо, то при попытке найти его корень будет выдано сообщение об ошибке. Кроме того, к ошибке или выдаче неправильного корня может привести и попытка применить метод секущих в области локального максимума или минимума f(х). В этом случае секущая может иметь направление, близкое к горизонтальному, выводя точку следующего приближения далеко от предполагаемого положения корня.

Приближенное решение уравнений

Когда невозможно найти решение с помощью функции Find( ), можно попытаться потребовать вместо точного выполнения уравнений условий минимизировать их невязку. Для этого следует в вычислительном блоке вместо функции Find( ) использовать функцию Minerr( ), имеющую тот же самый набор параметров и ту же методику применения:

- x₁:=C₁ ... х_m: =C_m – начальные приближения для неизвестных;

- Given - ключевое слово;

- система алгебраических уравнений и неравенств, записанная логическими операторами;

- Minerr (x₁,... ,х_m) - приближенное решение системы относительно переменных х₁;... ,х_м, минимизирующее невязку системы уравнений.

В функции Minerr( ) реализованы те же самые алгоритмы, что и в функции Find( ), иным является только условие завершения работы численного метода. Поэтому пользователь может тем же самым образом, с помощью контекстного меню, выбирать численный алгоритм приближенного решения для функции Minerr( ).

Пример использования функции Minerr( ) показан на рис. 4.3.

Рис. 4.3. Приближенный метод решения уравнения, имеющего корень (x=0, y=0)

Уравнение k·x²+y²=0 при любом значении коэффициента k имеет единственный точный корень (х=0,у=0). Тем не менее, при попытке решить его функцией Find( ) для больших k происходит генерация ошибки "No solution was found" (Решение не найдено). Это связано с иным поведением функции f(x,y)=k·x²+y² вблизи ее корня, поэтому и найти корень изложенными в предыдущем разделе градиентными методами сложнее, поскольку вблизи корня производные f(х,у) близки к нулю, и итерации могут уводить предполагаемое решение далеко от корня.

Задание 2. Решить два нелинейных уравнения с точностью до 0,0001. Выполнить проверку решения.

1. а) б)