ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Сопоставление численных методов решения нелинейных уравнений

Лабораторная работа №1

Цель: освоить алгоритмы численных методов решения нелинейных уравнений, условия их применения и технологию сопоставления.

Задание:

Дано уравнение на отрезке . Используя численные методы: метод бисекций, метод Ньютона, метод хорд осуществить его решение с заданной точностью ε = 10^-3, 10^-4, 10^-5, 10^-6, 10^-7, 10^-8. Полученное решение (для всех найденных корней) представить в сводной таблице (таблица 1) и изобразить графически (рисунок 1).

Таблица 1

ε \ метод, корень	Метод 1, корень 1	...	Метод 2, корень m
10^-3
...
10^-8

Рисунок 1

На основе численных результатов сопоставить методы по скорости сходимости, понимая под скоростью сходимости число итераций n, необходимых для достижения заданной точности ε.

Полученными экспериментальными данными подтвердить теоретические положения.

Варианты заданий:

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Ход выполнения лабораторной работы:

1 осуществить отделение корней, используя любой из известных методов:

1.1 аналитический метод;

1.2 графический метод;

1.3 табулирование с шагом h.

2 Уточнить изолированные корни используя:

2.1 метод бисекций и хорд для всех ε;

2.2 метод бисекций и Ньютона для всех ε;

2.3 метод Ньютона и хорд для всех ε.

1.1 Отделение корней аналитическим методом

Рассмотрим уравнение

на отрезке [-3,3].

1) Находим производную

2) Решаем уравнение

Корни уравнения

3) Рассмотрим отрезки

Проанализируем поведение функции на отрезке функция возрастает и имеет разные знаки на концах отрезка:

f (-3)= -13<0.

Следовательно, корень существует и единственный

На отрезке . Функция убывает и имеет разные знаки на концах отрезка:

Следовательно, корень существует и единственный. .

На отрезке функция возрастает и имеет разные знаки на концах отрезка:

f (3)=17>0

Следовательно, корень существует и единственный.

1.2 Отделение корней графическим методом

Строим качественно график функции (в любом математическом пакете)

на отрезке [-3,3].

Из графика видно функция

пересекается с осью ОХ три раза в отмеченных точках.

Следовательно, берем промежутки [-2,4; -2,1], [0,4; 0,9], [1,5; 1,8].

1.3 Отделение корней табулированием функции с шагом h.

1) Проведем табулирование функции

с шагом .

Таблица 1- Табулирование функции

x	f(x)	Выделение требуемых отрезков	x	f(x)	Выделение требуемых отрезков
-3	-13		0,2	1,208
-2,8	-8,752		0,4	0,464	+
-2,6	-5,176		0,6	-0,184	-
-2,4	-2,224	-	0,8	-0,688
-2,2	0,152	+		-1
-2			1,2	-1,072
-1,8	3,368		1,4	-0,856
-1,6	4,304		1,6	-0,304	-
-1,4	4,856		1,8	0,632	+
-1,2	5,072
-1			2,2	3,848
-0,8	4,688		2,4	6,224
-0,6	4,184		2,6	9,176
-0,4	3,536		2,8	12,752
-0,2	2,792

Вывод: нашли три отрезка, содержащие корни. Уравнение

третей степени, следовательно, различных корней не более 3, т.е. каждый из выделенных отрезков содержит по одному корню: [-2,4;-2,2], [0,4;0,6], [1,6;1,8].

2) Если количество отрезков не совпадает с количеством корней, то необходимо осуществить табулирование функции на отрезках [х; х+h], где функция не меняет знак, и проанализировать отрезки с