ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Характерные скорости распределения Максвелла

Дополнение к работе № 2

Распределение Максвелла

Движение молекул, совершающих тепловое движение, аналогично движению блуждающей точки. Поэтому вероятность того, что тепловая молекула имеет проекцию скорости на ось х в интервале (ν ν_х + dν_х), будет определяться соотношением:

(1)

Положим, в (1)α = β, где m –масса молекулы. Тогда выражение (1) примет вид:

(2)

где постоянная А определяется из условия нормировки вероятности

Следовательно,

(3)

Пользуясь формулой (3), определим среднее значение кинетической энергии молекул:

(4)

где учтены значения соответствующих интегралов Пуассона. Таким образом, β характеризует важнейшую величину статистической системы частиц – их среднюю кинетическую энергию.

Введем обозначение:

(5)

Тогда :

(6)

где k – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура, причем в (6)температура введена по определению.

С учетом обозначения (5) формула (3) принимает вид:

(7)

где φ (ν_х) является функцией распределения (плотностью вероятности) по проекции скорости ν_х на ось х. Распределение вероятности движения частиц вдоль осей x, y, z независимы. Для независимых событий по теореме умножения вероятностей имеем:

(8)

Переходя от вероятностей к относительному числу частиц, формулу (8) можно представить в ином виде:

(9)

где

- доля молекул от их общего числа, обладающих вектором скорости в интервале

. Функция

имеет смысл объемной плоскости вероятности , с которой молекула может оказаться в объеме

пространства скоростей.

Векторное обозначение аргумента в выражениях (8) и (9) означает, что речь идет о тех молекулах, скорости которых на рис.1 изображаются векторами с концами внутри данного объема пространства скоростей.

Вероятность (8) в сферических координатах имеет вид:

(10)

Если нас интересует распределение молекул по величине скорости ν, то, используя теорему сложения вероятностей, мы можем интегрировать (10) по углам θ и φ, задающим направление вектора скорости (направление вектора скорости нам безразлично). В результате получим:

(11)

Соответствующая функция плотности вероятности имеет вид:

(12)

Выражения(8), (9), (12) называются функциями распределения Максвелла по скоростям. Отметим, что в (12) множитель при возрастании ν убывает быстрее, чем растет множитель ν² и функция F(ν), начинаясь в нуле (из-за множителя ν²), достигает максимума и затем асимптотически стремится к нулю. Этим объясняется асимметрия графика функции F(ν) (рис.2).Отметим также, что вид кривой F(ν) зависит от массы молекулы и температуры газа. Однако площади, ограниченные каждой кривой F(v,m,T) b и осью скоростей, должны, по условию нормировки, оставаться одинаковыми при любой температуре и для любого газа.

Характерные скорости распределения Максвелла

1.Величина скорости, при которой функция F(ν) максимальна, называется наиболее вероятной скоростью. Будем обозначать ее через ν_в. Для нахождения ν_в нужно продифференцировать функцию F(ν) по аргументу ν и полученный результат приравнять к нулю:

(1)

где μ – молярная масса газа. Для воздуха при температуре Т= 273К, ν_в=400м/с.

2.Средняя арифметическая скорость. Пусть при данной температуре газа Δn₁ молекул, от общего их числа n, имеют скорость ν₁, Δn₂ молекул имеют скорость ν₂ и т. д. Строго говоря, под Δn_i надо понимать число молекул, скорости которых лежат в интервале (ν_i ν_i + d ν_i). Составим отношение:

Переходя к пределу, получим значение средней арифметической скорости:

(2)

Это же значение можно получить с помощью определения средней величины, а именно: , где учтены значения соответствующих интегралов Пуассона.

3.Средняя квадратичная скорость. Определяя средний квадрат скорости по общей формуле, получим:

(3)

Из (1), (2), (3) следует, что:

На рисунке3 значение этих скоростей несколько раздвинуты.

С увеличением температуры максимум функции распределения F(ν) смещается в сторону больших скоростей, а высота кривой в максимуме несколько понижается.