ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Делимость суммы, разности, произведения целых неотрицательных чисел

Лекция 4. Делимость на множестве целых неотрицательных чисел

1. Понятие отношения делимости, его свойства.

2. Признаки делимости суммы, разности, произведения.

3. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9 (два доказать).

В начальном курсе математики делимость натуральных чисел, как правило, не изучается, но многие факты из этого раздела математики неявно используются.

Отношение делимости и его свойства

Рассмотрим отношение делимости на множестве целых неотрицательных чисел.

Определение 1. Пусть даны целые неотрицательные числа а и b. Говорят, что число а делится на натуральное число b, если существует такое целое неотрицательное число q, что а=bq. В этом случае число b называют делителем числа а, а число а - кратным числа b.

Обознаение: а b и говорят а кратно b, а b называют делителем числа а.

Заметим, что понятие "делитель данного числа" следует отличать от понятия "делитель", обозначающего то число, на которое делят. Например, если 18 делят на 5, то число 5 - делитель, но не является делителем числа 18. Если 18 делят на 6, то в этом случае понятия "делитель" и "делитель данного числа" совпадают.

Замечание. Из определения 1 и равенства а=1а, следует, что 1 является делителем любого целого неотрицательного числа.

Свойства отношения делимости:

Отношение делимости рефлексивно, антисимметрично, транзитивно.

Теорема 1. Отношение делимости рефлексивно, т.е. любое натуральное число делится само на себя .

Доказательство:

Для справедливо равенство а=а•1. Т.к. 1 , то по опр. 1 .

Теорема 2. Отношение делимости антисимметрично, т. е.

Доказательство (методом от противного): Предположим, что . Тогда очевидно, что b≥a. Но по условию и значит а≥b. Выполнение этих неравенств возможно только при а=b, что противоречит условию. Следовательно, наше предположение неверно и справедливость свойства установлена.

Теорема 3. Отношение делимости транзитивно, то есть

Доказательство:

Т.к. , то по опр.1 . Аналогично, т.к. b с, то .

Тогда a=bq=(cp)q=c(pq). Число рq- натуральное. Это означает по опр.1, что а с.

Таким образом, отношение делимости на множестве N, обладая свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности, является отношением нестрогого порядка.

Делимость суммы, разности, произведения целых неотрицательных чисел

Теорема 4 (признак делимости суммы):Если каждое слагаемое суммы делится на натуральное число b, то и вся сумма делится на это число, то есть

если .

Доказательство: Пусть . Тогда существуют q₁,q₂,…q_n N такие, что выполняются равенства: а₁=bq₁, а₂=bq₂, …, а₁_n₌bq_n. Из этих равенств следует, что а₁+а₂+…а_n=bq₁+bq₂+…+bq_n=b(q₁+q₂+…+q_n), где q₁+q₂+…+q_n=q N₀. По определению отношения делимости это означает, что .

Теорема 5 (признак делимости разности): Если каждое из чисел а и b делится на с и а≥b, то разность а-b делится на с, т. е. если .

Доказательство: Пусть . Тогда существуют q₁,q₂ N такие, что а=cq₁, b=cq₂. Поскольку а≥b, то q₁>q₂. Таким образом, имеем а-b=cq₁-cq₂=c(q₁-q₂)=cq, где q₁-q₂=q N. Следовательно, .

Теорема 6 (признак делимости произведения): Если хотя бы один из множителей произведения делится на натуральное число b, то и все произведение делится на это число, то есть .

Доказательство: Пусть а_k b, тогда существует q N такое, что а_k=bq. Отсюда, используя коммутативный и ассоциативный законы умножения, можем записать . Поскольку произведение целых неотрицательных чисел является целым неотрицательным числом, то последнее равенство означает, что .

Теорема 7: Если в произведении ab множитель а делится на натуральное число m, а множитель b делится на натуральное число n, то произведение ab делится на произведение nm, то есть .

Доказательство: Пусть a m и b n, тогда существуют q₁,q₂ N такие что, a=mq₁, b=nq₂. Отсюда на основании комм. и ассоц. законов умножения имеем ab=(mq₁)(nq₂)=(mn)(q₁q₂)=(mn)q, где q₁q₂=q N_. следовательно, ab mn.

Теорема 8: Если в сумме одно слагаемое не делится на натуральное число b, а все остальные слагаемые делятся на это число, то и вся сумма на число b не делится.

Доказательство: Пусть S=a₁+a₂+…+a_n+c, где а₁ b, a₂ b, …, a_n b, но . Докажем, что . Предположим противное, то есть S b. Тогда с=S-(a₁+a₂+…+a_n), где S b, и (a₁+a₂+…+a_n) b. По теореме о делимости разности это означает, что с b. Полученное противоречие и доказывает теорему.

Признаки делимости

Теорема 9 (признак делимости на 2) Для того чтобы число х делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась одной из цифр 0,2,4,6,8.

Доказательство. Пусть число х записано в десятичной системе счисления, т.е.

х = а_n·10 + а_n-1·10^n-1 + ... + а ₁·10 + а₀, где а_n, а_n-1,…,a₁ принимают значения 0, 1, 2, ...9, а_n ≠0 и а ₀ принимает значения 0,2,4,6,8. Докажем, что тогда х ^:.2.

Так как 10^:.2, то 10^{2 :}.2, 10³ ^:.2,…,10 ^{n :}.2 и, значит, (а_n·10 + а_n-1·10^n-1 + ... + а₁·10) ^:.2. По условию а₀ тоже делится на 2, поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 2. Следовательно, согласно признаку делимости суммы, число хделится на 2.

Докажем обратное: если число х делится на 2, то его десятичная запись оканчивается одной из цифр 0,2,4,6,8.

Запишем равенство х = а_n·10 + а_n-1·10^n-1 + ... + а ₁·10 + а₀ в таком виде: а₀ = х - ( а_n·10 + а_n-1·10^n-1 + ... + а ₁·10 ). Но тогда, по теореме о делимости разности, а₀ ^: . 2, поскольку х ^: . 2 и (а_n·10 + а_n-1·10^n-1 + ... + а ₁·10) ^:. 2. Чтобы однозначное число а₀ делилось на 2, оно должно принимать значения 0,2,4,6,8.

Теорема 10 (признак делимости на 5). Для того чтобы число х делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась цифрой 0 или 5.

Доказать самостоятельно!

Доказательство этого признака аналогично доказательству признака делимости на 2.

Теорема 11 (признак делимости на 4). Для того чтобы число х делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы на 4 делилось двузначное число, образованное последними двумя цифрами десятичной записи числа х.

Доказательство. Пусть число х записано в десятичной системе счисления, т.е.

х = а_n·10 + а_n-1·10^n-1 + ... + а ₁·10 + а₀ и последние цифры в этой записи образуют число, которое делится на 4. Докажем, что тогда х^: . 4.

Так как 100^:. 4, то (а_n·10 + а_n-1·10^n-1 + ... + а ₂·10²) ^:. 4. По условию, а ₁ ·10 + а₀ (это и есть запись двузначного числа) также делится на 4. Поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 4. Следовательно, согласно признаку делимости суммы, и само число х делится на 4.

Докажем обратное, т.е. если число х делится на 4, тo двузначное число, образованное последними цифрами его десятичной записи, тоже делится на 4.

Запишем равенство х = а_n·10 + а_n-1·10^n-1 + ... + а ₁·10 + а₀ в таком виде:

а₁·10 + а₀ = х- (а_n·10 + а_n-1·10^n-1 + ... + а ₂·10²⁾.

Так как х ^:. 4 и (а_n·10 + а_n-1·10^n-1 + ... + а ₂·10²) ^: . 4, то по теореме о делимости разности (а₁·10 + а₀) ^:. 4. Но выражение а₁·10 + а₀ есть запись двузначного числа, образованного последними цифрами записи числа х.

Теорема12 (признак делимости на 9)Для того чтобы число х делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилось на 9.

Доказательство. Докажем сначала, что числа вида 10ⁿ - 1 делятся на 9. Действительно, 10ⁿ - 1 = (9·10^n-1 + 10^n-1) - 1 = (9·10^n-1 +9·10^n-2+ 10^n-2)-1 = (9·10^n-1 +9·10^n-2+ …+10)-1=9·10^n-1 +9·10^n-2+ …+9. Каждое слагаемое полученной суммы делится на 9, значит, и число 10ⁿ- 1 делится на 9.

Пусть число х = а_n·10 + а_n-1·10^n-1 + ... + а₁·10 + а₀ и (a _n +a _n-1 +…+a ₁ +a ₀ )^:. 9. Докажем, что тогда х^:. 9.

Преобразуем сумму а_n·10 + а_n-1·10^n-1 + ... + а₁·10 + а₀, прибавив и вычтя из нее выражение a _n +a _n-1 +…+a ₁ +a ₀ и записав результат в таком виде:

х = (а_n·10 - a _n )+( а_n-1·10^n-1 - a _n-1 )+…+( а₁·10 - a ₁ )+ (а₀ – а ₀ )+ (a _n+a _n-1 +…+a ₁ +a ₀ )= =а_n·(10ⁿ -1)+ a _n-1 ·(10^n-1 -1)+…+ a ₁·(10 -1)+ (a _n +a _n-1 +…+a ₁ +a ₀ ).

В последней сумме каждое слагаемое делится на 9:

а_n·(10ⁿ -1) ^:. 9, так как (10ⁿ -1) ^:. 9,

a _n-1 ·(10^n-1 -1) ^:. 9,так как(10^n-1 -1) ^:. 9 и т.д.

a ₁·(10 -1) ^:. 9, так как (10- 1) ^:. 9,

(a _n +a _n-1 +…+a ₁ +a ₀ ) ^:. 9 по условию.

Следовательно, х^:. 9.

Докажем обратное, т.е. если х^:. 9, то сумма цифр его десятичной записи делится на 9.

Равенство х = а_n·10 + а_n-1·10^n-1 + ... + а ₁·10 + а₀ запишем в таком виде:

a _n +a _n-1 +…+a ₁ +a ₀ = х - (а_n(10ⁿ - 1) + а_n-1·(10^n-1 -1) +…+ a ₁·(10 -1).

Так как в правой части этого равенства и уменьшаемое, и вычитаемое кратны 9, то по теореме о делимости разности (a _n +a _n-1 +…+a ₁ +a ₀ ) ^:. 9, т.е. сумма цифр десятичной записи числа x делится на 9, что и требовалось доказать.

Теорема15 (признак делимости на 3):Для того чтобы число х делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилась на 3.

Доказательство этого утверждения аналогично доказательству признака делимости на 9.