ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

РАССМОТРЕНИЕ МОДЕЛИ SIMULINK (gibs_sergeev)

РАСТЕКАНИЕ СПЕКТРА (SPECTRUM LEAKAGE)

Спектром сигнала называют функцию, показывающую зависимость интенсивности различных гармоник в составе сигнала, от частоты этих гармоник. Спектр периодического сигнала - это зависимость коэффициентов ряда Фурье от частоты гармоник, которым эти коэффициенты соответствуют. Если, например, сигнал представлен электрическим напряжением, то дискретный спектр будет измеряться в Вольтах, а непрерывный - в Вольт на Герц [B/Гц]. Поэтому для непрерывного спектра употребляют также термин "спектральная плотность".

При ДПФ предполагается, что последовательность отсчётов анализируемого сигнала является периодически продолженной вперёд и назад во времени. При этом, если значения начальных и конечных отсчётов сигнала сильно различаются, при периодическом повторении на стыках сегментов возникают скачки, из-за которых спектр сигнала расширяется. Это явление и есть растекание спектра. Растекание спектра проявляется в том, что при вычислении ДПФ синусоиды с частотой, не совпадающей ни с одной из частот анализа, мы вместо узкого пика получаем сложный спектр, в котором в общем случае могут содержаться все возможные частоты. Причина растекания спектра состоит в том, что ДПФ неявно подразумевает периодическое продолжение анализируемого фрагмента сигнала. Если на рассматриваемом промежутке укладывается целое число периодов синусоиды (это эквивалентно условию совпадения ее частоты с одной из частот анализа), периодически продолженный сигнал также будет непрерывной синусоидой, в спектре которой содержится единственная частота. Если же число периодов на интервале анализа не является целым, при периодическом продолжении сигнала непрерывность синусоиды окажется нарушенной и спектр «растечется» (рисунок 1).

Код для получения этого рисунка:

clc

td = (0:31)';

t = (0:0.01:32)';

w=1.5; % частота синусоиды

s = cos(w*t); % аналоговый сигнал

sd = cos(w*td); % дискретный сигнал

subplot(2,1,1), plot(t,s)

hold on, stem(td,sd,'filled'), hold off

xlim([t(1) t(end)])

subplot(2,1,2)

stem(td, abs(fft(sd)),'filled')

xlim([t(1) t(end)])

Рисунок 1 - растекание спектра

Для борьбы с растеканием спектра используются весовые, или оконные, функции (window). При этом сигнал перед вычислением ДПФ умножается на некоторую функцию, спадающую от середины к краям. Это позволяет ослабить влияние разрывов,

возникающих на стыках фрагментов сигнала при его периодическом продолжении. На рис. 2 показаны сигнал и модуль его ДПФ при использовании окна Ханна (функция hann). Видно, что использование весовой функции позволило существенно ослабить побочные спектральные составляющие — правда, за счет расширения спектральных пиков. Последнее, к сожалению, неизбежно.

Рисунок 2 - при вычислении ДПФ применено окно Хана

РАССМОТРЕНИЕ МОДЕЛИ SIMULINK (gibs_sergeev)

Рисунок 3 - ДПФ для целого (сверху) и нецелого (снизу) числа периодов гармонического сигнала (слева - исходные последовательности, справа - модули их ДПФ)

Рисунок 4 - происхождение растекания спектра: слева - периодически продолженные сигналы, справа - амплитудные спектры одиночных сигналов (пунктирные линии) и модули ДПФ (кружочки)

Если анализируемая последовательность содержит целое число периодов гармонического сигнала (то есть если отношение NωT/2π является целым числом), то периодически продолженный сигнал представляет собой гармонические колебания (без скачков), а вычисленное ДПФ содержит лишь два спектральных отсчета, отличных от нуля.

Таким образом, аналогично спектру непрерывного гармонического сигнала, ДПФ отличается от нуля всего для двух значений n. Однако если отношение NωT/2π не является целым числом, спектр оказывается значительно более богатым. Этому можно дать простое объяснение: ведь в данном случае периодически продолженная последовательность уже не может являться набором отсчетов непрерывной синусоиды. Поэтому, в полном соответствии со свойствами преобразования Фурье, в спектре появляются дополнительные составляющие.

1) В первом случае видно, что многообразие спектра отсутствует, это связано с тем, что число периодов на интервале анализа было взято равным целому числу, а также была правильно подобрана частота.

2) Во втором случае было взято нецелое число периодов гармонического сигнала, вследствие чего видно растекание спектра на графике модуля ДПФ (правый график).

Причиной растекания спектра является именно периодическое продолжение анализируемого сигнала. Спектр одиночного фрагмента дискретной синусоиды является периодической непрерывной функцией частоты. Эта функция имеет лепестковую структуру независимо от того, целое или нецелое число периодов укладывается в анализируемом сегменте. Однако дискретный ряд частот, на которых вычисляется ДПФ, может быть по-разному расположен относительно лепестков спектральной функции. В случае целого числа периодов все анализируемые частоты (кроме двух) попадают как раз на границы между лепестками. При нецелом числе периодов такого не происходит.

3) В третьем случае, как и в первом, было выбрано целое число периодов. В случае целого числа периодов все анализируемые частоты (кроме двух) попадают как раз на границы между лепестками.

4) При нецелом числе периодов такого не происходит.