ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Сначала рассмотрим умножение многозначного числа на однозначное.

Лекция 3. Алгоритмы арифметических действий над целыми неотрицательными числами в десятичной системе счисления.

1. Алгоритм сложения

2. Алгоритм вычитания

3. Алгоритм умножения

4. Алгоритм деления

Алгоритм - одно из фундаментальных понятий, которое используется в различных областях знания, но изучается оно в математике и информатике. В нашем курсе мы будем использовать интуитивно-содержательную трактовку понятия «алгоритм», в соответствии с которой будем рассматривать алгоритм как программу действий для решения задач определенного типа.

Освоение алгоритма начинается уже в начальной школе на уроках математики, где ученики овладевают алгоритмами арифметических действий, знакомятся с правилами вычитания числа из суммы, суммы из числа и др.

Вообще формирование алгоритмического мышления у младших школьников в настоящее время является одной из важнейших задач учителя, и поэтому ему требуются определенные знания об алгоритмах, а также некоторые умения в их построении.

Алгоритм сложения

Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел, записывают в особую таблицу, называемую таблицей сложения однозначных чисел, и запоминают.

Естественно, смысл сложения сохраняется и для многозначных чисел, но практическое выполнение сложения происходит по особым правилам. Сумму многозначных чисел обычно находят, выполняя сложение столбиком.

Пример 7.

Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические положения лежат в его основе.

Представим слагаемые 341 и 7238 в виде суммы степеней десяти с коэффициентами:

341+ 7238 = (3∙10²+ 4∙10 + 1) + (7∙10³ + 2∙10² +3∙10 + 8).

Раскроем скобки в полученном выражении, поменяем местами и сгруппируем слагаемые так, чтобы единицы оказались рядом с единицами, десятки с десятками и т.д. Все эти преобразования можно выполнить на основании соответствующих свойств сложения. Свойство ассоциативности разрешает записать выражение без скобок:

3∙10² + 4∙10 + 1 + 7∙10³ + 2∙10² + 3∙10+8.

На основании свойства коммутативности поменяем местами слагаемые:

7∙10³ + 3∙10² + 2∙10² + 4∙10+3∙10 + 1 + 8.

Согласно свойству ассоциативности произведем группировку:

7∙10³ + (3∙10² + 2∙10²) + (4∙10 + 3∙10) +(1 + 8).

Вынесем за скобки в первой выделенной группе число 10², а во второй - 10. Это можно сделать в соответствии со свойством дистрибутивности умножения относительно сложения:

7∙10³ + (3 + 2)∙10² + (4 + 3)∙10 + (1 + 8).

Итак, сложение данных чисел 341 и 7238 свелось к сложению однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов. Эти суммы находим по таблице сложения:

7∙10³ +5∙10² + 7∙10 + 9.

Полученное выражение есть десятичная запись числа 7579.

Видим, что в основе алгоритма сложения многозначных чисел лежат следующие теоретические факты:

- способ записи чисел в десятичной системе счисления;

- свойства коммутативности и ассоциативности сложения;

- дистрибутивность умножения относительно сложения;

- таблица сложения однозначных чисел.

Нетрудно убедиться в том, что в случае сложения чисел «с переходом через десяток» теоретические основы алгоритма сложения будут теми же.

В общем виде алгоритм сложения натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления, формулируют так:

1) Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находилось друг под другом.

2) Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десяти записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду (десятков).

3) Если сумма единиц больше или равна десяти, то представляют ее в виде а₀ + b₀ = 1∙10 + с₀, где с₀- однозначное число; записывают с₀ в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков.

4) Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т.д. Процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна десяти, то приписываем впереди обоих слагаемых нули, увеличиваем нуль перед первым слагаемым на 1 и выполняем сложение 1+0=1.

Заметим, что в этом алгоритме (как и в некоторых других) для краткости употребляется термин «цифра» вместо «однозначное число, изображаемое цифрой».

Алгоритм вычитания

Пример 8. Рассмотрим разность чисел 485 и 231.

Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим данную разность в таком виде:

485-231= (4∙10²+8∙10+5)-(2∙10²+3∙10+1). Чтобы вычесть из числа 4∙10²+8∙10+5 сумму 2∙10²+3∙10+1, достаточно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы одно за другим, и тогда:

(4∙10²+8∙10+5)-(2∙10²+3∙10+1)=(4∙10²+8∙10+5)-2∙10²-3∙10-1.

Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какого-либо одного слагаемого (большего или равного этому числу). Поэтому число 2∙10² вычтем из слагаемого 4∙10² , число 3∙10 – из слагаемого 8∙10, а число 1 – из слагаемого 5, тогда:

(4∙10²+8∙10+5)-2∙10²-3∙10-1=(4∙10²-2∙10²)+(8∙10-3∙10)+(5-1).

Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно вычитания и вынесем за скобки 10² и 10. Тогда выражение будет иметь вид:

(4-2) ∙10² +(8-3) ∙10+(5-1).

Видим, что вычитание трехзначного числа 231 из трехзначного числа 485 свелось к вычитанию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов в записи заданных трехзначных чисел. Разности 4-2, 8-3 и 5-1 находим по таблице сложения и получаем выражение: 2∙10²+5∙10+4, которое является записью числа 254 в десятичной системе счисления. Таким образом, 485-231=254.

Выражение (4-2)∙10²+(8-3)∙10+(5-1) задает правило вычитания, которое обычно выполняется столбиком:

_ 485

231

Видим, что вычитание многозначного числа из многозначного основывается на:

- способе записи числа в десятичной системе счисления;

- правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа;

- свойстве дистрибутивности умножения относительно вычитания;

- таблице сложения однозначных чисел.

Нетрудно убедиться в том, что если в каком-нибудь разряде уменьшаемого стоит однозначное число, меньше числа в том же разряде вычитаемого, то в основе вычитания лежат те же теоретические факты и таблица сложения однозначных чисел.

Пример 9. Найдем разность чисел 760-326.

Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим эту разность в таком виде:

760-326= (7∙10²+6∙10+0)-(3∙10²+2∙10+6).

Поскольку из числа 0 нельзя вычесть 6, то выполнить вычитание аналогичное тому, как было сделано в первом случае, невозможно. Поэтому возьмем из числа 760 один десяток и представим его в виде 10 единиц (десятичная система счисления позволяет это сделать). Тогда будем иметь выражение:

(7∙10²+5∙10+10)-(3∙10²+2∙10+6).

Если теперь воспользоваться правилами вычитания суммы из числа и числа из суммы, а также дистрибутивностью умножения относительно вычитания, то получим выражение (7-3) ∙10²+(5-2) ∙10+(10-6) или 4∙10²+3∙10+4.

Последняя сумма есть запись числа 434 в десятичной системе счисления. Значит,760-326=434.

Алгоритм вычитания чисел в десятичной системе счисления:

1. Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из цифры уменьшаемого, записываем разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду.

3. Если же цифра вычитаемого больше единиц уменьшаемого, т.е. b₀>a₀ , а цифра десятков уменьшаемого отлична от нуля, то уменьшаем цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитаем из числа 10+а₀ число b₀ и записываем разность в разряде единиц искомого числа, далее переходим к следующему разряду.

4. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д. уменьшаемого, равны нулю, то берем первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на 1. Все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на 9, а цифру в разряде единиц на 10: вычитаем b₀ из 10+ a₀ , записываем разность в разряде единиц искомого числа и переходим к следующему разряду.

5. В следующем разряде повторяем описанный процесс.

6. Вычитание заканчивается, когда производится вычитание из старшего разряда уменьшаемого.

Алгоритм умножения

Умножение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия. Но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все произведения однозначных чисел записывают в особую таблицу, называемую таблицей умножения однозначных чисел, и запоминают.

Естественно, что смысл умножения сохраняется и для многозначных чисел, но меняется техника вычислений. Произведение многозначных чисел, как правило, находят, выполняя умножение столбиком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.

Пример 10.

Умножим, например, столбиком 428 на 263. 428

Видим, что для получения ответа нам пришлось ^х263

Умножить 428 на 3,6, и 2,т.е. умножить многозначное 1284

число на однозначное; но, умножив на 6, результат +2568

записали по-особому, поместив единицы числа 856__

2568 под десятками числа 1284, так как умножали 112564

на 60 и получили число 25680, но нуль в конце записи опустили.

Слагаемое 856 – это результат умножения на 2 сотни, т.е. число 85600.

Кроме того, нам пришлось найти сумму многозначных чисел.

Итак, чтобы выполнять умножение многозначного числа на многозначное, необходимо уметь:

- умножать многозначное число на однозначное и на степень десяти;

- складывать многозначные числа.

Сначала рассмотрим умножение многозначного числа на однозначное.

Пример 11.Умножим 428 на 3.

Согласно правилу записи чисел в десятичной системе счисления 428 можно представить в виде

4∙10²+2∙10+8 и тогда 428∙3=(4∙10²+2∙10+8) ∙3.

На основании дистрибутивности умножения относительно сложения раскроем скобки:

(4∙10²) ∙3+(2∙10) ∙3+8∙3.

Произведения в скобках могут быть найдены по таблице умножения однозначных чисел: 12∙10²+6∙10+24. Видим, что умножение многозначного числа на однозначное свелось к умножению однозначных чисел. Но чтобы получить окончательный результат, надо преобразовать выражение 12∙10² +6∙10+24 – коэффициенты перед степенями 10 должны быть меньше 10.

Для этого представим число 12 в виде 1∙10+2, а число 24 в виде 2∙10+4. Затем в выражении (1∙10+2)∙10²+6∙10+(2∙10+4) раскроем скобки: 1∙10³+2∙10²+6∙10 +2∙10+4. На основании ассоциативности сложения и дистрибутивности умножения относительно сложения сгруппируем слагаемые 6∙10 и 2∙10 и вынесем 10 за скобки: 1∙10³+2∙10²+(6+2) ∙10+4.

Сумма 6+2 есть сумма однозначных чисел и может быть найдена по таблице сложения: 1∙10³+2∙10² +8∙10+4. Полученное выражение есть десятичная запись числа 1284, т.е. 428∙3=1284.

Таким образом, умножение многозначного числа на однозначное основывается на:

- записи чисел в десятичной системе счисления;

- свойствах сложения и умножения;

- таблицах сложения и умножения однозначных чисел.

Алгоритм умножения многозначного числа a_na_n_-1…a₁a₀ на однозначное число у.

1. Записываем второе число под первым.

2. Умножаем цифры разряда единиц числа х. на число у. Если произведение меньше 10, его записываем в разряд единиц ответа и переходим к следующему разряду (десятков).

3. Если произведение цифр единиц числа х. на число у больше или равно 10, то представляем его в виде 10q₁+c₀, где c₀ – однозначное число; записываем с₀ в разряд единиц ответа и запоминаем q₁ – перенос в следующий разряд.

4. Умножаем цифры разряда десятков на число у, прибавляем к полученному произведению число q₁ и повторяем процесс, описанный в пп.2 и 3.

5. Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.

Рассмотрим алгоритм умножения многозначного числа на многозначное.

Пример 12. Вычислим произведение 428∙263.

Представим число 263 в виде суммы 2∙10²+6∙10+3 и запишем произведение 428∙ (2∙10²+6∙10+3). Оно, согласно дистрибутивности умножения относительно сложения, равно 428∙(2∙10²)+428∙(6∙10)+428∙3.

Отсюда, применив ассоциативное свойство умножения, получим:

(428∙2) ∙10²+(428∙6) ∙10+428∙3.

Видим, что умножение многозначного числа 428 на многозначное число 263 свелось к умножению многозначного числа 428 на однозначные числа 2,6 и 3, а также на степени 10.

Алгоритм умножения многозначного числа на многозначное:

1. Записываем множитель х и под ним второй множитель у.

2. Умножаем число х на младший разряд b₀ числа у и записываем произведение x*b₀ под числом у.

3. Умножаем число х на следующий разряд b₁ числа у и записываем произведение xb₁, но со сдвигом на один разряд влево, что соответствует умножению xb₁ на 10.

4. Продолжаем вычисление произведений до вычисления xb_k_..

5. Полученные k+1 произведения складываем.

Изучение алгоритма умножения многозначных чисел в начальном курсе математики, как правило, проходит в соответствии с выделенными этапами. Различия имеются только в записи. Например, при обосновании случая умножения многозначного числа на однозначное пишут: 428∙3=(400+20+8) ∙ 3=400∙3+20∙3+8∙3=1200+60+24=1284.

Основой выполненных преобразований являются:

- представление первого множителя в виде суммы разрядных слагаемых (т.е. запись числа в десятичной системе счисления);

- правило умножения суммы на число (или дистрибутивность умножения относительно сложения);

- умножение «круглых» (т.е. оканчивающихся нулями) чисел на однозначное число, что сводится к умножению однозначных чисел.

Алгоритм деления

Когда речь идет о технике деления чисел, то этот процесс рассматривают как действие деления с остатком: разделить целое неотрицательное число а на натуральное число b – это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что a=bq+r, причем 0<r<b.