ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение

Как определить диапазон голоса - ваш вокал

Игровые автоматы с быстрым выводом

Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими

Целительная привычка

Как самому избавиться от обидчивости

Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам

Тренинг уверенности в себе

Вкуснейший "Салат из свеклы с чесноком"

Натюрморт и его изобразительные возможности

Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д.

Как научиться брать на себя ответственность

Зачем нужны границы в отношениях с детьми?

Световозвращающие элементы на детской одежде

Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия

Как слышать голос Бога

Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ)

Глава 3. Завет мужчины с женщиной

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Задание для интерполяции функций

Лабораторная работа по теме

«Тема 1.3. Интерполяция функций»

Вопросы, подлежащие изучению

1.Постановка задач аппроксимации и интерполяции.

2.Основные понятия: интерполирующая и интерполируемая функции, условие интерполяции. Связь между числом узлов интерполяции и порядком интерполирующего многочлена.

3.Условие единственности решения задачи интерполирования.

4.Интерполяционный многочлен Лагранжа: назначение, область применения.

5.Методика выбора узлов интерполяции при использовании формул Лагранжа и Ньютона.

6.Способы оценки погрешностей интерполяции по формулам Лагранжа и Ньютона. Способы повышения точности интерполяции.

7.Интерполяционная формула Ньютона, область применения.

8.Конечные разности, их назначение и использование. Свойства конечных разностей.

9.Правило выбора начальных узлов интерполяции для формул Ньютона.

10.Практическое правило определения степени интерполяционного многочлена.

11.Сравнение интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона.

12.Погрешность интерполяции.

13.Сплайн интерполяция.

Задание

1. Выбрать индивидуальное заданиеиз табл.1.3-1 и табл. 1.3-2 для решения задач интерполяции:

· из табл. 1.3-1 выбираем значения параметров t1 и t2,а такжезначенияx=a (для построения многочлена Ньютона) и x=b (для построениямногочлена Лагранжа);

· из табл. 1.3-2 в соответствии с методикой выбора узлов интерполяции по значению x=a выбираем узлы интерполяции (из отрезка [0.05;1.55] – область задания интерполируемой функции) и значения функции в этих узлах. Число узлов определяется заданной степенью интерполяционного многочлена в соответствии с п.2 и п.3.

Следует обратить внимание, что:

o если точка x=a расположена ближе к левому концу отрезка, выбираемого из табл.1.3-2, то для построения первой формулы Ньютона необходимо выбрать узлы ( - ближайший к точке x=a узел слева);

o если точка x=a расположена ближе к правому концу отрезка, выбираемого из табл.1.3-2, то используют вторую формулу Ньютона и необходимо выбрать узлы (x_n – ближайший к точке x=a узел справа);

o если точка x=a расположена примерно в середине таблицы, то следует выбрать ту формулу, которая обеспечит меньшую погрешность.

2. Выполнить линейную, квадратичную и кубическую интерполяцию функции , заданной таблично (табл.1.3-2), указанным в табл.1.3-1 методом (значение t1) «расчет на ПК»:

· составить схему алгоритма и программу решения задачи интерполяции и провести контрольное тестирование на данных примера, разобранного в п. 5;

· вычислить значение интерполирующего многочлена Ньютона в точке ; для многочлена Лагранжа в точке ;

· провести оценку погрешности интерполяции по формулам практической оценки погрешности.

3. Построить интерполяционный многочлен второй степени (Ньютона или Лагранжа в зависимости от значения t2) в явном виде (ручной расчет). Вычислить значения построенного многочлена во всех выбранных узлах интерполяции. Сравнить полученные результаты с таблично заданными значениями.

Варианты задания

Таблица 1.3-1

В табл. 1.3-1t1, t2 – способы аппроксимации функции в соответствии с п.2 и п.3

задания. Если в графе стоит 1, то использовать интерполяционный многочлен

Ньютона, если 2, то интерполяционный многочлен Лагранжа.

Таблица 1.3-2

Например, выбор задания из табл.1.3-1 по номеру варианта (№10):

1.Выбрать метод (в графе t1 указано значение 2 – выполнить интерполяцию с использованием многочлена Лагранжа), далее выбрать из этой же строки номера узлов (23, 24, 26, 28, 29, 30), которым соответствуют значения аргумента и функции в
табл.1.3-2, и точку (b=1.37), в которой нужно вычислить значение многочлена.

2.Из столбца t2 выбрать метод (1 – построить в явном виде интерполяционный многочлен Ньютона), выбрать из табл.1.3-2 узлы интерполяции в соответствии со значением (a=1.12).

Содержание отчета

1.Индивидуальное задание.

Для многочленов Ньютона и многочлена Лагранжа указать последовательность выбранных узлов из предложенного диапазона для первой формулы Ньютона, - для второй формулы Ньютона, - для формулы Лагранжа.

2.Линейная, квадратичная и кубическая интерполяция функции , заданной таблично (табл. 1.3-2), указанным в табл. 1.3-1 методом (значение t1) «расчета на ПК»:

· схемы алгоритмов и программа интерполяции с результатами контрольного тестирования;

· значения интерполирующего многочлена Ньютона в точке ; для многочлена Лагранжа в точке (табл. 1.3-3);

· значения погрешностей интерполяции по формулам практической оценки погрешности, результат которых необходимо записать в табл. 1.3-3.

Таблица 1.3-3

Число узлов n+1			Оценки погрешностей
Метод Ньютона	Метод Лагранжа

3.Интерполяционный многочлен второй степени (Ньютона или Лагранжа в зависимости от значения t2) в явном виде (вручную) и значения построенного многочлена во всех выбранных узлах интерполяции, которые необходимо записать в табл. 1.3-4; сравнить полученные результаты с таблично заданными значениями.

Таблица 1.3-4

Пример выполнения задания

Задание для интерполяции функций

функция y=f(x), заданная таблично значениями в узлах интерполяции:

· вычислим значение многочлена Ньютона в точке x=a=0.57 и значение многочлена Лагранжа в точке x=b= 0.62:

· для вычисления значения интерполирующей функции в точке x=a=0.57 методом Ньютона выберем узлы интерполяции х₀=0.55, х₁=0.60, х₂=0.65, х₃=0.70(x₀=0.55– ближайший к точкех=а=0.57узел слева);

· для вычисления значения интерполирующей функции в точке x=b=0.62 методом Лагранжа выберем номера узлов интерполяции 1, 2, 3, 4, что соответствует значениям узлов х₀=0.55, х₁=0.60, х₂=0.65, х₃=0.70(из указанного диапазона узлов).

2. Линейная, квадратичная и кубическая интерполяция«расчетом на ПК»:

· схемы алгоритмов представлены на рис. 1.3.2-1, 1.3.2-2 и рис. 1.3.3-1 в [2], а программы студенты должны написать самостоятельно;

· значение полинома в заданной точке.

Для построения интерполяционного многочлена Ньютона воспользуемся первой интерполяционной формулой Ньютона, так как точка интерполяции a =0.57 находится в начале таблицы значений выбранных узлов интерполяции (отрезок[0.50;0.75]).

Ближайший к точке а узел слева х=0.55, поэтому полагаем .

Для линейной интерполяции следует взять узлы и .

Для квадратичной и кубической интерполяции выберем соответственно следующие последовательности узлов:

, ; ;

, , ,

(число узлов равно n+1, где n – порядок многочлена).

Для выбранной последовательности узлов:

• построить таблицу конечных разностей;

x	y
0.55	1.0265	0.1487	0.0127	-0.0012	0.0036
0.60	1.1752	0.1614	0.0115	0.0024
0.65	1.3366	0.1729	0.0139
0.70	1.5095	0.1868
0.75	1.6963

• вычислить значение интерполирующего многочлена Ньютона в точке a=0.57,

воспользовавшись формулой 1.3.3-6 в [2] при

Значение интерполирующего многочлена Ньютона при n+1=2 (линейная интерполяция):

.

Аналогично вычисляются значения

• при n+1=3 (квадратичная интерполяция): Р₂(0.57)=1.08446 ,

• при n+1=4 (кубическая интерполяция): Р₃(0.57)=1.08438.

В случае, если точка интерполяции находится в конце таблицы, на которой задана функция y=f(x), интерполирование проводится по второй интерполяционной формуле Ньютона1.3.3-9 в [2] при , x_n – ближайший к точке х узел справа.

Например, если задана точка интерполяцииа=0.73, то для линейной интерполяции в этом случае следует взять узлы:x_n=0.75, x_n-1=0.70,для квадратичной – узлы: x_n=0.75, x_n-1=0.70, x_n-2=0.65, для кубической - x_n=0.75, x_n-1=0.70, x_n-2=0.65, x_n=3=0.60.

Тогда

Если точка интерполяции находится в середине таблицы, то выбор интерполяционной формулы Ньютона производится исходя из значения величины q. Например, если x=a=0.58, то для построения квадратичного полинома (n+1=3) лучше выбрать узлы x_n=0.60, x_n-1=0.55, x_n-2=0.50,так как при этом величина q будет меньше(q=-0.4). (Для сравнения: если выбрать узлы x₀=0.55, x₁=0.60, x₂=0.65, то q=0.6).

Для построения интерполяционного многочлена Лагранжа воспользуемся формулой
1.3.2-5 в [2].

Для обеспечения большей точности интерполяции перенумеруем узлы интерполяции: выберем узел (ближайший к точке b=0.62), далее выбираем узлы по возможности симметрично относительно точки интерполяции b=0.62:

Вычислим значение интерполирующего многочлена Лагранжа в точке b=0.62.

При n+1=1 (линейная интерполяция) значение интерполирующего полинома будет следующим:

Проведя аналогичные вычисления, получим значения интерполирующего полинома:

· при n+1=2 (квадратичная интерполяция) -

· при n+1=3(кубическая интерполяция) -

Вычислим погрешность интерполяции по формулам практической оценки погрешности.

Погрешность первой формулы Ньютона оценим по 1.3.3-13 в [2].

Для линейной интерполяции: .

Для квадратичной интерполяции: .

Для кубической интерполяции: .

Анализируя полученные значения погрешностей, можно сделать вывод, что интерполируемая функция близка к квадратичной, так как конечные разности третьего порядка значительно различаются, а

Оценку погрешности многочлена Лагранжа произведем по формуле:

.

, , ,где b=0.62.

Исходными данными для программной реализации являются таблично заданная функция y=f(x) и значения x=aилиx=b. (Заметим, что при составлении программы алгоритма следует предусмотреть вывод значений конечных разностей).

Результаты интерполяции и оценки погрешности следует записать в табл.1.3-3:

Число Узлов n+1			Оценка погрешности
Метод Ньютона	Метод Лагранжа | |
	1.08598	1.23976	1.52•10-3	1.52•10-3
	1.08445	1.23824	7.68•10-5	6.72•10-5
	1.08438	1.23830	1.5•10-4	8.0•10-5

3. Построение интерполяционных многочленов второй степенив явном виде («ручной

расчет»)

Для построения интерполяционных многочленов, помимо известных из [2] формул,можно использовать формулы1.3.2-6 и 1.3.3-4 из [2].

Построенные квадратичные интерполяционные полиномы Ньютона (для выбранных узлов) и Лагранжа (для выбранных узлов) имеют вид:

P₂(x)= 2.54 x² + 0.053x + 0.229,

L₂(x) = 2.54 x² + 0.053x + 0.229.

Выражения для полиномов совпали, т.к. для построения обоих многочленов были

выбраны одинаковые узлы.

Вычислим значения построенного многочлена в выбранных узлах интерполяции и

занесем в табл.1.3-4 и для сравнения туда же занесем таблично заданные значения

исходной функции:

1.3.6. Контрольные вопросы по теме

«Тема 1.3. Интерполяция функций»

1. Что называется задачей интерполяции и задачей аппроксимации?
2. Что называется узлами и шагом интерполяции?
3. Что такое интерполируемая функция и интерполирующая функция?
4. Существует ли связь между числом узлов интерполяции и степенью интерполяционного многочлена?
5. Что обеспечивает единственность решения полиномиального интерполирования?
6. Можно ли, используя одни и те же узлы интерполяции, построить несколько интерполяционных полиномов?
7. Сколько интерполяционных полиномов степени n существует, если функция задана (n + 1) узлом?
8. Изменится ли точность интерполяции при увеличении или уменьшении количества узлов?
9. Какой метод интерполяции позволяет обеспечить наименьшую погрешность при вычислении значения функции в точке x, находящейся в начале таблицы с равноотстоящими узлами?
10. Какой метод интерполяции позволяет обеспечить наименьшую погрешность при вычислении значения функции в точке x, находящейся в конце таблицы с равноотстоящими узлами?
11. Как изменится формула Лагранжа при добавлении в таблицу значений функции еще одного узла?
12. Какой степени является полином, полученный с использованием формулы Лагранжа при использовании n + 1 узлов таблицы?
13. Если интерполируемая функция f(x)задана в (n + 1) равноотстоящих узлах, то для ее интерполяции удобнее использовать формулу Ньютона или формулу Лагранжа?
14. Какой степени является полином, полученный с использованием формулы Ньютона при использовании n + 1 равноотстоящих узлов таблицы?
15. Можно ли при использовании формулы Лагранжа располагать узлы интерполяции в произвольном порядке?
16. Потребуется ли полный пересчет коэффициентов формулы Лагранжа при добавлении дополнительного узла интерполяции?
17. В чем заключается универсальность формулы Лагранжа?
18. От чего зависит точность интерполяции?
19. Можно ли при использовании интерполяционных формул Ньютона располагать узлы в произвольном порядке?
20. Что такое «конечные разности»?
21. Чему равен порядок конечной разности наивысшего порядка, полученный по n исходным точкам?
22. Что происходит с формулой Ньютона при добавлении очередного узла интерполяции?
23. Чем отличаются результаты интерполяции, если при построении интерполяционных полиномов по формулам Лагранжа и Ньютона были использованы одни и те же узлы?
24. Чему равна степень интерполяционного полинома Ньютона при трех заданных точках интерполируемой функции?
25. Если интерполируемая функция задана аналитическим выражением, требуется ли для решения задачи интерполяции предварительно рассчитать значения функции в узлах?