ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Описание установки и метода измерений

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Методические указания

к лабораторным работам № 20, 21. 23, 25, 26, 27

для студентов 1 - 2 курсов

всех специальностей

НОВОСИБИРСК

Лабораторная работа № 23

Свободные электромагнитные колебания

Цель работы

Экспериментально и теоретически установить зависимости периода колебаний Т, логарифмического декремента затухания l, добротности Q от параметров контура (R, L, C).

Методические указания

Рассмотрим колебательный контур (рис.1). Сопротивление всякого реального контура не равно нулю. Вследствие этого, энергия, первоначально запасенная в контуре, непрерывно расходуется на выделение джоулева тепла в резисторе R (если он есть), в катушке индуктивности и в конденсаторе, так что амплитуда электромагнитных колебаний постепенно уменьшается и в конце концов колебания прекращаются. Таким образом, в реальном контуре свободные колебания являются затухающими [ 1, с. 521 ].

Чтобы найти уравнение колебаний в контуре, используем закон Ома для участка цепи 1 - 3 -2 [ 2, с. 103 ].

IR = (j₁ - j₂) + e₁₂ , (1)

где e₁₂ = e_S.

Выражая в (1) ток I, разность потенциалов (j₁ - j₂) и ЭДС самоиндукции e_S через заряд конденсатора q и параметры контура, получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний в контуре [ 2, с. 255 - 258 ], [ 3, с. 369 - 372 ].

(2)

Вводя коэффициент затухания

(3)

и обозначая

, (4)

где — собственная частота контура, т.е. частота свободных незатухающих колебаний без потерь энергии (при R = 0), уравнение (2) можно преобразовать следующим образом:

. (5)

Если затухание мало, т.е. d² < , решение уравнения (5) имеет вид

, (6)

где (7).— частота затухающих колебаний в контуре.

Таким образом, при замыкании заряженного конденсатора на цепь из последовательно соединенных L и R, заряд на обкладках конденсатора изменяется с течением времени согласно выражению (6). Частота затухающих колебаний w определяется параметрами контура R, L, С, причем w < w_о. Если активное сопротивление контура R = 0, то w = w_о. Затухающие колебания не являются, строго говоря, периодическим процессом, так как изменяющаяся со временем величина, например, заряд, не принимает одинакового значения через промежуток времени, равный периоду колебаний Т. Тем не менее, в рассматриваемом случае, когда затухание мало, можно говорить о затухающих колебаниях, как о периодических, амплитуда которых постепенно уменьшается по закону (рис.2).

Период затухающих колебаний Т определится по формуле

. (8)

При малом затухании период затухающих колебаний можно приближенно считать равным периоду незатухающих

(Формула Томсона). (9)

Напряжение на конденсаторе U_с, сила тока в контуре I, напряжение на катушке индуктивности U_L так же, как и заряд совершают затухающие колебания, поскольку они связаны с зарядом.

где .

Для количественной характеристики затухания вводят логарифмический декремент затухания

(10)

Под (рис.2) понимают амплитуды либо заряда, либо тока, либо напряжения в моменты времени t и (t + T). Заменив в (10) d и Т в соответствии с (3) и (8), имеем

. (11)

При малом затухании и

(12)

С увеличением сопротивления контура коэффициент затухания растет, частота w уменьшается (7), а период затухающих колебаний увеличивается. При некотором сопротивлении контура период становится равным бесконечности, а частота колебаний обращается в нуль (Т = ¥, w = 0). В этом случае в контуре вместо колебаний происходит апериодический разряд конденсатора (рис.3, кривые а, б).

Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим R_крит.. Величину критического сопротивления определяют из условия :

R_крит. = 2

(13)

Для определения качества контура как колебательной системы часто используется, особенно в радиотехнике, особый параметр - добротность контура

(14)

Описание установки и метода измерений

Свободные электромагнитные колебания можно получить в цепи, собранной по схеме рис.4. Измерительная установка состоит из следующих основных узлов: генератора импульсов 1, контура 2 и осциллографа 3.

Генератор импульсов формирует импульсы напряжения, которые поступают на конденсатор С контура. При разряде конденсатора в контуре возникают свободные затухающие колебания. Регистрируется этот колебательный процесс с помощью осциллографа: на его экране получим картину затухающих колебаний, показанную на рис.2.

Длительность импульсов t генератора 1 много меньше периода Т_г их повторения, так что в интервале (Т_г - t) колебания между импульсами в контуре успевают затухать до поступления на конденсатор следующего импульса.

В работе требуется измерить период свободных колебаний контура Т, определить логарифмический декремент затухания l, критическое сопротивление контура R_крит. И добротность контура Q. Логарифмический декремент затухания l можно определить непосредственно по осциллограмме затухающих колебаний (рис.2), используя формулу (10). Если увеличивать активное сопротивление контура R, изменяя сопротивление магазина сопротивлений, то при R = R_крит. на экране осциллографа получится картина апериодической разрядки конденсатора (рис.3, кривая а). При определении R_крит. нужно учесть, что активное сопротивление контура

R = (R_L + R_г) + R_маг_.

(15)

где R_L - активное сопротивление катушки индуктивности; R_г - сопротивление генератора импульсов; R_маг. - переменное сопротивление резистора (магазина).

Задание

1. Ознакомиться с инструкцией по работе с осциллографом.

2. Рассчитать период затухающих колебаний контура для трех значений емкости С по приближенной форме . В координатах Т и построить график зависимости периода колебаний от емкости по вычисленным значениям Т.

3. Получить на экране осциллографа картину свободных затухающих колебаний контура. Определить период колебаний Т для трех значений емкости С при нулевом сопротивлении магазина. Измеренные значения периода нанести на теоретический график зависимости Т от .

4. Для контура с одним из значений емкости измерить логарифмический декремент при различных сопротивлениях магазина, введенных в контур.

5. В координатах l, R построить график зависимости логарифмического декремента затухания от сопротивления контура. Определить по графику суммарное сопротивление генератора импульсов и катушки индуктивности

(R_L + R_г).

6. Измерить сопротивление магазина R_маг. При критическом сопротивлении контура. Найти R_крит., учитывая согласно (15) также и значения (R_L + R_г), определенные в п.5.

7. Рассчитать R_крит. по формуле (13).

8. Оценить добротность контура Q по формуле (14) при разных сопротивлениях контура.

Контрольные вопросы

1. Какие колебания называются свободными ?

2. Как получить уравнение затухающих электромагнитных колебаний ? Какой вид имеет его решение ?

3. Что такое период свободных затухающих колебаний ? От чего он зависит ?

4. Что понимают под амплитудой затухающих колебаний ?

5. Чем определяется частота затухающих колебаний ?

6. Какие характеристики служат количественной мерой затухания ? Как они связаны с параметрами контура и между собой ?

7. Как измерить логарифмический декремент затухания ? От каких параметров контура он зависит ?

8. Как измерить и рассчитать критическое сопротивление контура ?

9. Каково назначение генератора импульсов в цепи контура ?

10.При каком условии допустимо применять формулу Томсона для расчета периода затухающих колебаний ?