ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений. Найти фундаментальную систему решений.

Содержание

Вариант IX.. 3

1.Выполнить действия над матрицами. 3

2. Вычислить определитель методом понижения порядка до второго. 3

3. Решить неоднородную СЛАУ методом Гаусса или методом Жордана-Гаусса. 4

4. Исследовать на совместность неоднородную систему линейных алгебраических уравнений и решить ее: 5

5. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений. Найти фундаментальную систему решений. 7

6. По координатам точек A, B и C для указанных векторов найти: 8

7. Даны вершины треугольника АВС. Найти: 10

8. Даны четыре точки А, В, С и D. Составить уравнения: 12

9. Построить кривые в полярной системе координат по точкам, придавая значения через промежуток , начиная с . Найти уравнение полученной линии в прямоугольной системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью, привести его к каноническому виду и определить вид кривой. 13

10. Выполнить действия над комплексными числами в алгебраической форме: 15

Вариант IX

1.Выполнить действия над матрицами.

, . Найти .

Решение

Найдем сумма матриц :

Найдем произведение матриц:

Ответ: .

Вычислить определитель методом понижения порядка до второго.

Решение

Заданную матрицу разложим по элементам четвертой строки, а матрицы третьего порядка разложим по элементам первой строки:

Ответ: .

Решить неоднородную СЛАУ методом Гаусса или методом Жордана-Гаусса.

Решение

Перепишем систему уравнений в матричном виде и решим его методом Гаусса:

От 2 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 2; от 3 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 1; к 4 строке добавляем 1 строку, умноженную на 2:

От 3 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 2; от 4 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 3:

3-ую строку делим на 6:

От 1 строки отнимаем 3 строку, умноженную на 1; к 2 строке добавляем 3 строку, умноженную на 4; от 4 строки отнимаем 3 строку, умноженную на 13:

4-ую строку делим на -0.5:

К 1 строке добавляем 4 строку, умноженную на 0.5; к 3 строке добавляем 4 строку, умноженную на 2.5: , откуда получаем решение: .

Ответ: .

4. Исследовать на совместность неоднородную систему линейных алгебраических уравнений и решить ее:

1) матричным методом;

2) по формулам Крамера.

Решение

1) Матричный метод.

Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов: , вектор B: B^T=(3,-14,-7).

Найдем главный определитель:

∆=1·(1·(-1)-2·(-2))-2·(0·(-1)-2·1)+1·(0·(-2)-1·1)=6.

Итак, определитель 6 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.

Транспонированная матрица к матрице A имеет вид: .

Вычисляем алгебраические дополнения.

∆₁₁=(1·(-1)-(-2·2))=3.

∆₁₂=-(0· (-1)-1·2)=2.

∆₁₃=(0· (-2)-1·1)=-1.

∆₂₁=-(2•(-1)-(-2•1))=0.

∆₂₂=(1· (-1)-1·1)=-2.

∆₂₃=-(1· (-2)-1·2)=4.

∆₃₁=(2·2-1·1)=3.

∆₃₂=-(1·2-0·1)=-2.

∆₃₃=(1·1-0·2)=1.

Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу C:

Вычислим обратную матрицу: .

Вектор результатов X:

2) По формулам Крамера.

Запишем систему в виде: и B^T = (3,-14,-7).

Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю.

Определитель: .

Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В: .

Найдем определитель полученной матрицы:

∆₁ = -3+0-28+7+12-0=-12.

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В: .

Найдем определитель полученной матрицы:

∆₂ = 14-6-14+14-14+6=0.

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В: .

Найдем определитель полученной матрицы:

∆₃ = -7-0+12-3+28-0=30.

Выпишем отдельно найденные переменные Х: .

Ответ: .

Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений. Найти фундаментальную систему решений.

Решение

Выпишем основную матрицу системы: .

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.

Умножим 1-ую строку на (-2). Добавим 2-ую строку к 1-ой: .

Умножим 2-ую строку на (-1). Умножим 3-ую строку на (2). Добавим 3-ую строку к 2-ой: .

Умножим 1-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой: .

В матрице B 1-ая строка нулевая, следовательно, вычеркиваем ее. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы.

Найдем ранг матрицы: .

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.

Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x₁,x₂, значит, неизвестные x₁,x₂ – зависимые (базисные), а x₃ – свободные.

Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор6 .

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:

Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x₁,x₂ через свободные x₃, то есть нашли общее решение.

Ответ: , - свободная переменная.

6. По координатам точек A, B и C для указанных векторов найти:

а) модуль вектора ;

б) скалярное произведение векторов и ;

в) проекцию вектора на вектор ;

г) координаты точки , делящей отрезок в отношении .

, , , , , , , , .

Решение

Найдем векторы , , и .

, , и , следовательно,

;

Проекцию вектора b на вектор a можно найти по формуле:

Найдем проекцию вектора AB на вектор AB

а) Модуль вектора : .

б) Скалярное произведение векторов и .

в) проекцию вектора на вектор ;

Проекцию вектора на вектор можно найти по формуле: , получим

г) Координаты точки , делящей отрезок в отношении .

Радиус-вектор r точки A, делящий отрезок AB в отношении AA:AB = m₁:m₂, определяется формулой:

Координаты точки А находятся по формулам:

и .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г)

7. Даны вершины треугольника АВС. Найти:

а) уравнение стороны AB;

б) уравнение высоты CH;

в) уравнение медианы AM;

г) точку N пересечения медианы AM и высоты CH;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне AB;

е) расстояние от точки С до прямой AB.

A( -7;3) , B(9;4) , C(5;7) .

Решение

а) Уравнение стороны AB.

Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂), представляется уравнениями: .

Уравнение прямой AB: .

Уравнение прямой BC: .

б) Уравнение высоты CH.

Прямая, проходящая через точку N₀(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой Ax+By+C=0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями: .

Найдем уравнение высоты CH: .

в) Уравнение медианы AM.

Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.

и . Получили .

Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(-7;3) и М(7;¹¹/₂), поэтому:

Уравнение прямой: .

г) Точку N пересечения медианы AM и высоты CH.

Найдем точку пересечения, решив систему уравнений:

Найдем координаты ординаты: .

Следовательно, имеем .

д) Уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне AB.

Уравнение прямой AB: .

Уравнение KЕ параллельно AB находится по формуле: .

Подставляя x₀ = 5, , y₀ = 7 получим: или .

е) Расстояние от точки С до прямой AB.

Расстояние от точки M₁(x₁;y₁) до прямой равно абсолютному значению величины: .

Найдем расстояние между точкой C(5;7) и прямой AB ( ):

Сделаем схематический чертеж:

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

8. Даны четыре точки А, В, С и D. Составить уравнения:

а) плоскости ABC;

б) прямой AB;

в) прямой DM, перпендикулярной к плоскости ABC;

г) прямой CN, параллельной прямой AB;

д) плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно к прямой AB.

Вычислить:

е) синус угла между прямой AD и плоскостью ABC;

ж) косинус угла между координатной плоскостью xOy и плоскостью ABC.

A(7,5,3) , B(9,4,4) , C(4,5,7) , D(7,9,6) .

Решение

а) Плоскость ABC.

Если точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением: .

Уравнение плоскости ABC: , откуда

получили .

б) Прямая AB.

Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁; z₁) и A₂(x₂; y₂; z₂), представляется уравнениями: .

Уравнение прямой AB: .

Уравнение прямой AD: (нужно будет для пункта е).

в) Прямая DM, перпендикулярная к плоскости ABC.

Направляющим вектором прямой DM будет нормальный вектор плоскости ABC. Составим уравнение прямой по направляющему вектору, проходящей через точку D(7,9,6): .

г) Прямая CN, параллельная прямой AB.

Направляющим вектором прямой CN будет направляющий вектор прямой AB. Составим уравнение прямой по направляющему вектору, проходящей через точку D(7,9,6): .

д) Плоскость, проходящая через точку D перпендикулярно к прямой AB.

Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) перпендикулярно вектору N = (l,m,n), имеет вид: .

Координаты точки D(7;9;6). координаты вектора AB(2;-1;1).

Искомое уравнение плоскости: .

е) Синус угла между прямой AD и плоскостью ABC.

Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле:

Уравнение плоскости ABC: -4x - 11y - 3z + 92 = 0

Уравнение прямой AD: , тогда получим

ж) Косинус угла между координатной плоскостью xOy и плоскостью ABC.

Применим формулу: , где - нормальные векторы плоскостей. Имеем и , следовательно

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .

;

Решение

1) построим график функции в полярной системе координат по точкам, давая значения через промежуток , начиная от =0;


		1,026	1,108	1,259	1,5	1,855	2,103	2,788		2,788	2,103	1,855	1,5	1,259	1,108	1,026

Построим заданную кривую в полярной системе координат:

Найдем уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью:

Из условия , с другой стороны , отсюда .