ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Полная формулировка ответа

Билет №1.

Точка, прямая, отрезок.

Первый признак равенства треугольников.

Задача.

Билет №2

Луч, дополнительные лучи, плоскость и полуплоскость.

Второй признак равенства треугольников.

Задача.

Билет №3

Угол, виды углов, биссектриса угла.

Третий признак равенства треугольников.

Задача.

Билет №4.

Треугольник. Виды треугольников.
Теорема о высоте равнобедренного треугольника, проведенной к основанию.
Задача.

Билет №5.

1. Треугольник. Элементы треугольника.

2. Теорема об угле в 30⁰ в прямоугольном треугольнике.

3. Задача.

Билет №6.

Измерение отрезков и углов.

Теорема о двух прямых перпендикулярных к третьей.

Задача.

Билет №7.

Смежные и вертикальные углы.

Свойство углов равнобедренного треугольника.

Задача.

Билет №8.

Теорема. Обратная теорема. Доказательство методом от противного.

Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.

Задача.

Билет №9.

Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр к прямой.

Признак равнобедренного треугольника.

Задача.

Билет №10.

Равнобедренный треугольник.

Теорема об отрезках касательных к окружности.

Задача.

Билет №11.

Равносторонний треугольник и его свойства.

2. Обратная теорема об угле в 30⁰ в прямоугольном треугольнике.

Задача.

Билет №12.

Прямоугольный треугольник.

Теорема о серединном перпендикуляре к отрезку.

Задача.

Билет №13.

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Свойство вертикальных углов.

Задача.

Билет №14.

Перпендикуляр. Наклонная. Расстояние от точки до прямой.

Свойство биссектрисы угла.

Задача

Билет №15.

Четырехугольник. Прямоугольник. Квадрат.

Теорема о сумме углов треугольника.

Задача.

Задачи

Билет 1

Постройте прямоугольный треугольник по катету и прилежащему к нему острому углу

Билет 2

Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равен 162°, найдите остальные углы.

Билет 3

Угол МРК является частью угла МРН, равного 105°. Найдите угол МРК, если известно, что он в 4 раза меньше угла КРН.

Билет 4

На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки М и Н соответственно; ∟А= ∟ВМН= 50°,∟С=60° . Найдите ∟МНС.

Билет 5

Углы АВD и АВС смежные, луч 0В биссектриса угла АВD. Найдите ∟ОВD, если ∟АВC=40°

Билет 6

В равнобедренном треугольнике угол при основании на 27° меньше угла, противолежащего основанию. Найдите углы треугольника.

Билет 7

На высоте АН равнобедренного треугольника АВС с прямым углом А взята точка О. Докажите, что треугольники АОВ и АОС равны.

Билет 8

Отрезки АВ, ВС, СD последовательно отложены на одной прямой. АС=ВD=18см, ВС=7см. Найдите АD

Билет 9

В равнобедренном треугольнике АВС ВD- высота, проведенная к основанию. Точки М и Н принадлежат сторонам АВ и ВС соответственно. Луч ВD- биссектриса угла МDН. Докажите, что АМ= НС.

Билет 10

Найдите периметр треугольника, если два его угла равны, а две стороны имеют длины 20см и 10см.

Билет 11

В треугольнике АВС ∟В=100°,∟ А=40°. Точка D принадлежит стороне АС. Причем угол ВDС-тупой. Докажите, что АВ>ВD.

Билет 12

Угол АОВ=44°. Внутри этого угла проведен луч ОС. Найдите угол между биссектрисами углов АОС и ВОС.

Билет 13

Отрезки АВ и СD диаметры некой окружности. Докажите, что прямые АС и ВD параллельны.

Билет 14

Один из смежных углов в пять раз меньше другого. Найдите эти углы.

Билет 15

Постройте треугольник по высоте и двум отрезкам, на которые эта высота делит сторону треугольника.

Полная формулировка ответа

(для тестовых и практических заданий)

Билет №1

Дано:

E F

Построить: ∆KLM

Построение: 1) а∩b = L, ∟L=90º,

2) LM = EF

3) ∟M=∟ABD

4) AB∩a=K

Билет №2

C B Дано: CD∩AB

∟AOC = 162º

Найти: ∟COB,∟BOD,∟AOD

A D

Решение:

∟AOC = ∟BOD= 162º (вертикальные), ∟COB и ∟AOC смежные, ∟COB=180º-∟AOC,

∟COB=180º-162º, ∟COB= 18º, ∟COB= ∟AOD =18º (вертикальные).

Ответ: ∟COB= 18º, ∟AOD =18º, ∟BOD= 162º.

Билет №3

Дано: ∟MPH = 105º

K ∟KPH = 4 ∟MPK

Найти: ∟MPK

H Решение:

∟MPH = ∟MPK + ∟KPH, ∟KPH = 4 ∟MPK (по условию) => ∟MPH = ∟MPK + 4 ∟MPK, 105 º = 5 ∟MPK, ∟MPK= 105 : 5, ∟MPK=21º.

Ответ: ∟MPK=21º.

В Билет №4

Дано: ∆АВС

М Н М є АВ , Н є ВС,

∟А = ∟ ВМН = 50 º

∟ С= 60 º

Найти: ∟МНС

А С Решение:

1) рассмотрим ∆АВС. По теореме о сумме углов треугольника ∟В = 180 º - ∟А - ∟ С, ∟В = 180 º - 50 º - 60 º, ∟В = 70 º.

2) рассмотрим ∆МВН По теореме о сумме углов треугольников ∟ВНМ = 180 º - ∟В - ∟ ВМН, ∟ВНМ = 180 º - 70 º - 50 º, ∟ВНМ =60 º.

3) ∟ВНМ и ∟МНС – смежные

∟МНС = 180 º - ∟ВНМ, ∟МНС = 180 º - 60 º, ∟МНС = 120 º.

Ответ: ∟МНС = 120 º.

Билет №5

О Дано: ОВ – биссектриса ∟ABD

А ∟ABC = 40 º

Найти: ∟ОBD

D B C Решение:

∟ABD и ∟ABC – смежные (по условию)

∟ABD = 180 º - 40 º, ∟ABD = 140 º.

∟ОBD = ½ ∟ABD, т.к. ОВ – биссектриса, ∟ОBD = ½ · 140 º = 70 º, ∟ОBD =70 º.

Ответ: ∟ОBD =70 º

В Билет №6

Дано: ∆АВС – равнобедренный

∟В = ∟А + 27 º

Найти: ∟А, ∟В, ∟С

Решение:

А С т.к. ∆АВС – равнобедренный,

∟А = ∟С, ∟В = ∟А + 27 º (по условию), ∟А +∟В + ∟С = 180 º,

∟А+(∟А + 27 º) + ∟А= 180 º, 3∟А + 27 º = 180 º, 3∟А = 153 º, ∟А = 51º,

∟А = ∟С= 51º, ∟В = 51º + 27 º, ∟В = 78º.

Ответ: ∟В = 78º

Билет №7

А Дано: ∆АВС

∟А = 90 º

АС = АВ

АН СВ

О є АН

О Доказать: ∆АОВ = ∆АОС

Доказательство:

С Н В

т.к. ∆АВС – равнобедренный, АН – высота и биссектриса => ∟САО = ∟ВАО, АС = АВ – по условию, АО – общая, ∆АОВ = ∆АОС (по 1 признаку равенства треугольников) ч.т.д.

Билет №8

Дано: АС = ВD = 18 см

ВС = 7 см

Найти: АD

А В С D Решение:

АD = AC + BD – BC, AD = 18 + 18 -7 = 29 см.

Ответ: АD = 29 см.

Билет №9

Дано: ∆АВС

В АВ = ВС

BD ┴ AC

M є АB, H є BC

М Н DB- биссектриса ∟МDН

Доказать: АМ = НС

Доказательство:

А D С

1) т.к. ∆АВС – равнобедренный, BD – высота и биссектриса => ∟MBD = ∟DBH

2) DB- биссектриса ∟МDН => ∟MDB = ∟BDH

3) ∆MВD = ∆BDH по второму признаку равенства треугольников (∟MBD = ∟DBH, ∟MDB = ∟BDH, BD – общая)

4) АВ = ВС, МВ = ВН => АМ = АВ – МВ НС = ВС – ВН => АМ = НС ч.т.д.

Билет №10

В Дано: ∆АВС

∟А = ∟С

а) АВ = 20 см

АС = 10 см

Найти: Р_АВС

Решение:

А С Р_АВС = АВ + ВС + АС, т.к. ∟А = ∟С ∆АВС - равнобедренный, АВ = ВС = 20 см, Р_АВС = 20 + 20 + 10 = 50 см

Дано: ∆АВС

∟А = ∟С

б) АВ = 10 см

АС = 20 см

Найти: Р_АВС

Решение: Р_АВС = 20 + 10 + 10 = 40 см

Ответ: а) Р_АВС = 50 см

б) Р_АВС = 40 см

Билет №11

Дано: ∆АВС

В ∟А = 40 º

∟В = 100 º

D є АC

C ∟BDC > 90 º

Доказать: АВ > BD

Доказательство:

А D ∟C = 180 º - 100 º - 40 º, ∟C = 40 º =>

∆АВС – равнобедренный => АВ = ВС,

т.к. ∟BDC > 90 º BC > BD по теореме о соотношении между сторонами и углами треугольника, т.к. АВ = ВС АВ > BD ч.т.д.

Билет №12

А Е Дано: ∟АОВ = 44 º

С ОЕ – биссектриса ∟АОС

ОF – биссектриса ∟СOB

F Найти: ∟EOF

O Решение:

∟СOB = 2 ∟COF,

∟АОС = 2 ∟EOC,

∟АОВ = 2 ∟COF + 2 ∟EOC

∟АОВ = 2 (∟COF + ∟EOC)

∟АОВ = 2 ∟EOF

∟EOF = ½ ∟АОВ

∟EOF = 43/2 = 44 º = 22 º

Ответ: ∟EOF = 22 º

Билет №13

В Дано: окружность с центром О

АВ, CD – диаметры

Доказать: АС|| BD

C О D Доказательство:

∆DОВ = ∆АОС по первому признаку

равенства треугольников ( ∟АОС = ∟DOB –

вертикальные, АО = ОВ = ОС = ОD – радиусы)

∟ОСА = ∟ОDB - накрест лежащие при

A пересечении параллельных прямых АС и BD и секущей СD => АС|| BD ч.т.д.

Билет № 14

Дано: ∟АBD = 5∟DBC

Найти: ∟АBD, ∟DBC

D Решение:

A B C ∟АBD + ∟DBC = 180 º

5∟DBC + ∟DBC = 180 º

6∟DBC = 180 º

∟DBC = 30 º , ∟АBD = 150 º

Ответ: ∟DBC = 30 º , ∟АBD = 150 º

Билет №15

Постройте треугольник по высоте и двум отрезкам, на которые эта высота делит сторону треугольника.

Дано:

А В -высота

С D

E F

Построить: ∆KLM

Построение: 1) а ┴ b

2) LT є a, LT = AB

3) MT є b, MT = CD

4) KT є b, KT = EF

5) KL, LM