ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Связь между синусом и косинусом одного угла

Определение синуса

Определение: Число b, равное ординате единичного радиуса, построенного описанным способом, обозначается sinα и называется синусом угла α.

Пример: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0

Определение косинуса

Определение: Число a, равное абсциссе конца единичного радиуса, построенного описанным способом, обозначается cosα и называется косинусом угла α.

Пример: cos0 cos3π + cos3,5π = 1 (-1) + 0 = 2

Эти примеры используют определение синуса и косинуса угла через координаты конца единичного радиуса и единичной окружности. Для более наглядного представления необходимо нарисовать единичную окружность и отложить на ней соответствующие точки, а затем посчитать их абсциссы для вычисления косинуса и ординаты для вычисления синуса.

Определение тангенса

Определение: Функция tgx=sinx/cosx при x≠π/2+πk, kЄZ, называется котангенсом угла x. Область определения функции tgx это все действительные числа, кроме x=π/2+πn, nЄZ.

Пример: tg0 tgπ = 0 0 = 0

Этот пример аналогичен предыдущему. Для вычисления тангенса угла нужно поделить ординату точки на её абсциссу.

Определение котангенса

Определение: Функция ctgx=cosx/sinx при x≠πk, kЄZ называется котангенсом угла x. Область определения функции ctgx = -все действительные числа кроме точек x=πk, kЄZ.

Основные тригонометрические тождества представляют собой равенства, устанавливающие связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, и позволяют находить любую из этих тригонометрических функций через известную другую.

Сразу перечислим основные тригонометрические тождества, которые разберем в этой статье. Запишем их в таблицу, а ниже дадим вывод этих формул и приведем необходимые пояснения.

Связь между синусом и косинусом одного угла

Иногда говорят не об основных тригонометрических тождествах, перечисленных в таблице выше, а об одном единственном основном тригонометрическом тождестве вида . Объяснение этому факту достаточно простое: равенства получаются из основного тригонометрического тождества после деления обеих его частей на и соответственно, а равенства и следуют изопределений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Подробнее об этом поговорим в следующих пунктах.

То есть, особый интерес представляет именно равенство , которому и дали название основного тригонометрического тождества.

Прежде чем доказать основное тригонометрическое тождество, дадим его формулировку: сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице. Теперь докажем его.

Обратимся к единичной окружности. Пусть начальная точка A(1, 0) после поворота на угол переходит в точку A₁. В силу определений синуса и косинуса точка A₁имеет координаты . Более того, точка A₁ лежит на единичной окружности, следовательно, ее координаты должны удовлетворять уравнению единичной окружности, которое имеет вид x²+y²=1. То есть, должно быть справедливо равенство . Этим доказано основное тригонометрическое тождество для любых углов поворота .

Равенство часто называют теоремой Пифагора в тригонометрии. Поясним этот момент.

Возьмем единичную окружность. Повернем начальную точку A(1, 0) вокруг точки Oна угол . Пусть точка A после этого поворота переходит в точку A₁(x, y). Опустим из точки A₁ перпендикуляр A₁H на прямую Ox.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OA₁H. Хорошо видно, что в нем длины катетов A₁H и OH равны соответственно модулю ординаты и абсциссы точки A₁, то есть, |A₁H|=|y| и |OH|=|x|, а длина гипотенузы OA₁ равна радиусу единичной окружности, то есть, |OA₁|=1. Теорема Пифагора позволяет записать равенство|A₁H|²+|OH|²=|OA1|², которое мы можем переписать как |y|²+|x|²=1² или y²+x²=1. Но по определению и , тогда от равенства y²+x²=1 мы можем перейти к равенству .

Основное тригонометрическое тождество задает связь между синусом и косинусом одного угла. Это позволяет вычислять синус угла, когда известен косинус этого угла, и вычислять косинус угла, когда известен синус угла. Для этого достаточно равенство разрешить относительно синуса и косинуса соответственно: и . Знак перед корнем зависит от величины угла . Подробнее об этом мы поговорим в разделе вычисление синуса, косинуса, тангенса и котангенса с использованием тригонометрических формул.

Основное тригонометрическое тождество очень часто используется припреобразовании тригонометрических выражений. Оно позволяет сумму квадратов синуса и косинуса одного угла заменять единицей. Не менее часто основное тригонометрическое тождество используется и в обратном порядке: единица заменяется суммой квадратов синуса и косинуса какого-либо угла.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Тождества, связывающие тангенс и котангенс с синусом и косинусом одного угла вида и сразу следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Действительно, по определению синус есть ордината y, косинус есть абсцисса x, тангенс есть отношение ординаты к абсциссе, то есть, , а котангенс есть отношение абсциссы к ординате, то есть, .

Благодаря такой очевидности тождеств и часто определения тангенса и котангенса дают не через отношение абсциссы и ординаты, а через отношение синуса и косинуса. Так тангенсом угла называют отношение синуса к косинусу этого угла, а котангенсом – отношение косинуса к синусу.

В заключение этого пункта следует отметить, что тождества и имеют место для всех таких углов , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл. Так формула справедлива для любых , отличных от (иначе в знаменателе будет нуль, а деление на нуль мы не определяли), а формула - для всех , отличных от , гдеz - любое целое число.

Связь между тангенсом и котангенсом

Еще более очевидным тригонометрическим тождеством, чем два предыдущих, является тождество, связывающее тангенс и котангенс одного угла вида . Понятно, что оно имеет место для любых углов , отличных от , в противном случае либо тангенс, либо котангенс не определены.

Доказательство формулы очень просто. По определению и , откуда . Можно было доказательство провести и немного иначе. Так как и , то .

Итак, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, есть взаимно обратные числа.

Тангенс и косинус, котангенс и синус

Наконец, мы пришли к двум последним из основных тригонометрических тождеств . Они связывают тангенс и косинус, а также котангенс и синус одного угла.

Приведем их формулировки: сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла, а сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла.

Вывод указанных формул можно провести, отталкиваясь от основного тригонометрического тождества вида . Если разделить обе части этого равенства на (при этом, конечно, должен быть отличен от нуля), то мы получим формулу . Если же обе части равенства разделить на (при этом должен быть отличен от нуля), то мы придем к тождеству .

Итак, тождество имеет место для любых , отличных от , а тождество - при любых , отличных от .