ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена

Кафедра математики

Ряды

Методические указания к выполнению расчётно-графической работы

для студентов всех специальностей и всех направлений подготовки бакалавров
очной формы обучения

Брянск – 2015

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

«Брянский государственный инженерно-технологический университет»

Кафедра математики

УТВЕРЖДЕНЫ

научно-методическим

советом университета

Протокол № ____

oт “____”___________2015 г.

Ряды

Методические указания к выполнению расчётно-графической работы

для студентов всех специальностей и всех направлений подготовки бакалавров
очной формы обучения

Брянск 2015

Составители: к. ф.-м. н., доцент Алексеева Г.Д., к. ф.-м. н., доцент Охлупина О.В.

Рецензент: к. ф.-м. н., доцент Евтюхов К.Н.

Рассмотрены УМК МТФ

Протокол № 1 от 10.09.15 г.

Введение

Настоящие методические указания предназначены в помощь студентам при самостоятельном изучении раздела «Ряды» и выполнении расчётно-графической работы по этой теме.

Каждый раздел начинается с краткой теоретической справки, приведены примеры решения задач, а также в пункте IV предлагаются задачи, которые студент решает самостоятельно под руководством преподавателя.

Предполагается, что перед решением задач, студент ознакомится с указанной в методических указаниях литературой.

Литература

1. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления [Текст]: учеб. пособие для втузов: в 2 т. Т.2/ Н.С. Пискунов. – Изд. стер. – М.: Интеграл-Пресс, 2010. – 544 с.

2. Шипачев, В.С. Высшая математика [Текст]: учеб. для вузов / В.С. Шипачев. – 8-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2007. – 479 с.

3. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике [Текст]: полн. курс / Д.Т. Письменный. – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009. – 608 с.

4. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах [Текст]: учеб. пособие для вузов: в 2 ч. Ч. 2 / П.Е. Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова. – 6-е изд. – М.: ОНИКС: Мир и Образование, 2006. – 315 с.

I. Числовые ряды

Если {U_n}= U₁,U₂, …,U_n, … – бесконечная числовая последовательность, то выражение

называется числовым рядом.

Сумма конечного числа nпервых членов ряда называется n-й частичной суммой:

Если существует конечный предел:

то его называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится.

Теорема (необходимый признак сходимости ряда):

Если ряд сходится, то его n-й член стремится к нулю при неограниченном возрастании n.

, .

Признаки сравнения рядов с положительными членами.

Пусть имеются два ряда с положительными членами:

и , U_n _{; .}

Теорема:

Если члены рядов удовлетворяют неравенству (n = 1,2,…), и ряд сходится, то сходится и ряд .

Если расходится, то и ряд расходится.

Теорема (предельный признак сравнения):

Если существует конечный и отличный от нуля предел , то ряды и сходятся или расходятся одновременно.

Признаки Даламбера и Коши.

Теорема (признак Даламбера):

Если для числового ряда ( ) отношение (n +1)-го члена ряда к n-му члену ряда при n имеет конечный предел L:

, то

1) ряд сходится в случае L<1,

2) ряд расходится в случае L>1,

3) требуются дополнительные исследования, когда L=1.

Теорема (признак Коши):

Если для ряда (U_n ):

, то

1) ряд сходится при L<1;

2) ряд расходится при L>1;

3) необходимы дополнительные исследования при L=1.

Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена

Теорема:

Пусть члены ряда –– положительны и не возрастают (U_n₊₁ U_n) и пусть f(x) такая непрерывная убывающая функция, что f(n)=U_n . Тогда, если несобственный интеграл сходится, то сходится и , если указанный интеграл расходится, то расходится и ряд .

Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

Если ряд сходится, то ряд также сходится, и такая сходимость называется абсолютной.

Если ряд расходится, а ряд сходится, то такая сходимость называется условной.

Теорема (признак Лейбница):

Если для знакочередующегося ряда , ( ) выполнены условия: 1) ; 2) , то ряд сходится, и для остатка ряда справедлива оценка .

Исследовать на сходимость числовые ряды.

Пример 1:

– ряд расходится по необходимому признаку сходимости:

–– не существует, т.к. ; .

Пример 2:

– ряд расходится, т.к. .

Не выполнен необходимый признак сходимости.

Пример3: , где .

Т.к. , то , а ряд сходится, если его сравнить со сходящимся рядом , .

Следовательно, по признаку сравнения, сходится и ряд и ряд ,

т.к. .

Пример 4:

Применим предельный признак сравнения:

~ , ряд – расходится.

Из расходимости и конечности предела следует расходимость исходного ряда.

Пример 5: .

Применим признак Даламбера: < 1.

Исходный ряд сходится.

Пример 6: .

Применим признак Даламбера: .

Исходный ряд расходится.

Пример 7: .

Применим признак Коши: .

Исходный ряд сходится.

Пример 8: .

Используя асимптотическую формулу Стирлинга при ,

получаем , .

– исходный ряд расходится.

Пример 9: ; ; ; .

1) ; 2)

Применим интегральный признак Коши:

Исходный ряд сходится при и расходится при .

Пример 10: ; ; 1) ; 2) .

Применим интегральный признак Коши: .

Исходный ряд сходится.

Пример 11: .

Рассмотрим ряд из модулей:

Применим признак Коши:

исходный ряд сходится абсолютно.

Пример 12: ,

1) расходится как гармонический ряд;

2) ; ; – по признаку Лейбница ряд сходится. Таким образом, ряд сходится условно.

II. Степенные ряды

Функциональным рядом называется ряд вида:

–– некоторые функции, .

Совокупность значений , в которых ряд сходится, называется областью сходимости ряда. Очевидно, что в области сходимости ряда его сумма будет функцией .

Степенным рядом называется функциональный ряд вида:

. Областью сходимости степенного ряда всегда является некоторый интервал (теорема Абеля).

Интервалом сходимости степенного ряда называется интервал такой, что для всякой точки , лежащей внутри этого интервала, ряд сходится абсолютно, а для точек , лежащих вне его, ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости. На концах интервала вопрос сходимости решается дополнительным исследованием