ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Рядов с положительными членами

Числовые и функциональные ряды

Понятие числового ряда. Ряды с положительными членами

П.2.1.1 Основные понятия

Опр.Даны члены числовой последовательности (действительные или комплексные числа)

u₁, u₂, …, u_n, … .

Выражение u₁+u₂+…+u_n+… называется числовым рядом.

Числа u₁, u₂, …, u_n, … называются членами ряда.

u_n – общий член ряда.

Сокращенно ряд записывают .

Запишем суммы

S₁ = u₁,

S₂ = u₁+u₂,

S₃ = u₁+u₂+u₃,

…

S_n = u₁+u₂+…+u_n,

…

их называют частными или частичными суммами ряда.

Частные суммы образуют бесконечную числовую последовательность

S₁, S₂, S₃, …, S_n, … .

Опр. Если существует конечный предел последовательности частных сумм , то ряд называют сходящимся.

Опр.Число S называют суммой ряда и записывают .

Опр. Если предел последовательности частных сумм не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся.

Пример

Задан ряд:

Запишем частную сумму ряда:

Члены ряда представим следующим образом:

Ряд сходится, и его сумма равна 1.

Опр. Ряд u₁ + u₂ + … + u_n + … называется рядом с положительными членами, если при всех значениях n выполняется неравенство u_n > 0.

Опр.Пусть даны два ряда с положительными членами

, .

Если при всех значениях n выполняется неравенство , то ряд называется мажорантным (т.е. рядом с большими членами) по отношению к ряду , а ряд называется минорантным (т. е. рядом с меньшими членами).

П.2.1.2. Простейшие свойства рядов. Необходимый признак сходимости

Теорема 1. Если у сходящегося ряда отбросить конечное число его членов, то полученный ряд также будет сходиться.

Верно и обратное, если сходится ряд, полученный отбрасыванием конечного числа членов у данного ряда, то и данный ряд также сходится.

Т.о., сходимость ряда не меняется при отбрасывании любого конечного числа его членов.

Теорема 2. Пусть ряд сходится, и его сумма равна S. Тогда ряд , где - произвольное число, также сходится, причем его сумма равна .

Теорема 3. Пусть ряды и сходятся, и их суммы, соответственно равны и . Тогда ряд также сходится, причем его сумма равна .

Необходимый признак сходимости:Если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю при , т.е. .

Т.о., если , то ряд расходится.

Пример:

Проверить, выполняется ли НПС для ряда .

Рассмотрим известные ряды:

1. Ряд, составленный из членов бесконечной геометрической прогрессии , называется геометрическим рядом.

Если , то ряд расходится. Если , то ряд сходится.

2. Гармонический ряд расходится.

3. Ряд Дирихле , . Если , то ряд сходится. Если , то ряд расходится.

4. Эквивалентности при :

П.2.1.3. Достаточные признаки сходимости

рядов с положительными членами

Признаки сравнения:

1-й признак

Даны знакоположительные ряды (1) и (2), где . Тогда:

1) если сходится, то тоже сходится,

2) если расходится, то и расходится.

Доказательство:

Пусть и .

1) Пусть ряд (2) сходится, т.е. существует предел последовательности: . Тогда

Т.о., последовательность частичных сумм ряда (1) монотонно возрастает и ограничена сверху числом .

По теореме существования предела, эта последовательность имеет конечный предел, т.е. ряд сходится.

2) Пусть ряд (1) расходится, т.е. , тогда , т.е. ряд (2) расходится.

Замечание к 1 признаку сравнения:

Трудность применения признака заключается в том, что для данного ряда нужно подобрать ряд (эталон). В качестве эталона расходящегося ряда чаще всего берут гармонический ряд.

Пример:

1. Исследовать на сходимость ряд: .