ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Лабораторная работа №7. Множественная регрессия. Способы определения параметров множественной регрессии

Множественный регрессионный анализ

Задание 1. Определить аналитическое выражение связи между результативным признаком Y и факторными признаками х1, х2, х3, х4; на основе данных таблицы 1 построить уравнение множественной регрессии:

Методом Крамера (метод определителей) рассчитать параметры регрессии.

Таблица 1 – Исходные данные для расчета параметров множественной регрессии

№	у	х1	х2	х3	х4
				2,8	2,1
					2,13
				3,4	2,38
				3,2	2,24
				2,4	1,54
					2,13
				2,4	1,68
				3,6	2,52
				3,4	2,38
					1,24
				2,2	1,45
				2,8	2,1
				2,8	1,96
				2,8	1,96
					2,13
					2,8
				3,6	2,52
				2,8	2,1
				3,6	2,52
				2,8	2,1
					2,13
				2,9	2,18
				2,1	1,3
				2,1	1,4
				4,8	3,36
				2,2	1,7
				3,8	2,7
				2,6	1,6
				2,6	1,8
				3,4	2,38

Решение:

1. Построить таблицу 2.

№	у	х1	х2	х3	х4	(х1)²	(х2)²	(х3)²	(х4)²	х1*x2	х1*x3	х1*x4	х2*x3	х2*x4	х3*x4	у*x1	у*x2	у*x3	у*x4
				2,8	2,1
					2,13
				3,4	2,38
				3,2	2,24
				2,4	1,54
					2,13
				2,4	1,68
				3,6	2,52
				3,4	2,38
					1,24
				2,2	1,45
				2,8	2,1
				2,8	1,96
				2,8	1,96
					2,13
					2,8
				3,6	2,52
				2,8	2,1
				3,6	2,52
				2,8	2,1
					2,13
				2,9	2,18
				2,1	1,3
				2,1	1,4
				4,8	3,36
				2,2	1,7
				3,8	2,7
				2,6	1,6
				2,6	1,8
				3,4	2,38
Сумма

2.Система нормальных уравнений

Построить матрицу Х из коэффициентов при неизвестных а0, а1, а2, а3, а4

и столбец-вектор В из правой части системы уравнений:

Заполнить матрицу Х:

3.Скопировать матрицу Х5 раз и заменить соответствующие столбцы Х столбцом В:

4. Вычислить общий определитель матрицы (∆) и преобразованных матриц (∆а0, ∆а1, ∆а2, ∆а3, ∆а4) встроенной функцией МОПРЕД() и вычислить а0, а1, а2, а3, а4:

5. Ввести в таблицу столбецỹ и сделать расчеты. Если суммы y и ỹ совпадают, то параметры уравнения линейной регрессии а_iопределены статистически верно.

6.Найти среднюю ошибку аппроксимации.

7. Выполните регрессионный анализ с помощью функции Регрессия (Анализ данных).

Задание 2. Используя метод информационной емкости подобрать факторы, объясняющие результирующие переменные.

Таблица 3 – Исходные данные зависимой переменной и факторов

№	Y	X₁	X₂	X₃	X₄	№	Y	X₁	X₂	X₃	X₄
					1,40				2,1	1,32
				2,8	1,96				2,3	1,45
					1,40				2,3	1,61
				1,5	0,75					1,89
				1,9	1,35					2,10
				1,6	1,20				3,6	2,23
					1,14				3,6	2,47
					1,14					1,80
				2,8	2,00				2,6	1,61
				1,9	1,30				2,1	1,50
				2,2	1,38				2,4	1,49
					1,40				2,4	1,70
				2,8	1,96				2,4	1,60
					1,40				2,7	1,70
				3,4	2,20				2,2	1,71
				2,3	1,55					1,86
				2,8	1,96				1,9	1,18
				2,6	1,73				2,8	1,75
				2,4	1,63					1,22
				2,2	1,38				2,6	1,65
				3,1	1,95					1,20
				2,5	1,55				2,3	1,42
				2,2	1,36				2,2	1,34
				2,5	1,52				2,2	1,34
				2,1	1,47				2,4	1,51

Решение: Выбрать объясняющие переменные при помощи метода показателей информационной емкости.

Построить матрицу межфакторной корреляции (Анализ_данных – Корреляция):

– вектор коэффициентов корреляции:

– матрица коэффициентов межфакторной корреляции:

Т.к. рассматриваются 4 потенциальные объясняющие переменные, необходимо проанализировать комбинаций переменных:

С₁=X₁; C₅=(X₁,X₂); C₁₁=(X₁,X₂,X₃);

C₂=X₂; C₆=(X₁,X₃); C₁₂=(X₁,X₂,X₄);

C₃=X₃; C₇=(X₁,X₄); C₁₃=(X₁,X₃,X₄);

C₄=X₄; C₈=(X₂,X₃); C₁₄=(X₂,X₃,X₄);

C₉=(X₂,X₄); C₁₅=(X₁,X₂,X_3,X₄).

C₁₀=(X₃,X₄);

Для одноэлементных комбинаций индивидуальный показатель емкости (вес):

H₁=h₁₁=r₁²= (0,08)²=0,006;

H₂=h₂₂=r₂²= (0,02)²=0,0004;

H₃=h₃₃=r₃²= (-0,21)²=0,043;

H₄=h₄₄=r₄²= (-0,2)²=0,041.

Для 2-х элементной комбинации C₅=(X₁,X₂) рассчитываются 2 индивидуальных показателя информационной емкости: h₅₁ для Х₁и h₅₂ для Х₂:

;

Интегральный показатель веса: H₅=h₅₁+h₅₂=0,0039.

Для остальных 2-х элементных комбинаций:

h₆₁=0,0056; h₆₃=0,0402; H₆=0,046;

h₇₁=0,0056; h₇₄=0,0385; H₇=0,044;

h₈₂=0,0003; h₈₃=0,0355; H₈=0,035;

h₉₂=0,0003; h₉₄=0,0340; H₉=0,034;

h_10,3=0,022; h_10,4=0,021; H₁₀=0,04.

Для 3-х элементной комбинации C₁₁=(X₁,X₂,X₃) индивидуальные показатели информационной емкости:

;

Интегральный показатель веса: H₁₁=h_11,1+h_11,2+h_11,3=0,0376.

Для остальных 3-х элементных комбинаций:

h_12,1=0,0036;	h_12,2=0,0002;	h_12,4=0,0323 ;	H₁₂=0,0361;
h_13,1=0,0053;	h_13,3=0,0214;	h_13,4=0,0204 ;	H₁₃=0,0471;
h_14,2=0,0003;	h_14,3=0,0199;	h_14,4=0,0191;	H₁₄=0,0393.

Индивидуальные показатели веса переменных X₁, X₂, X₃ и X₄ (комбинация С₁₅):

;

H₁₅=h_15,1+h_15,2+h_15,3+h_15,4=0,0416.

Максимальное значение интегрального показателя веса равно 0,0471 и относится к комбинации С₁₃, включающей переменную X₁, Х₃,иХ₄.

В результате модель примет вид:

Лабораторная работа №8. Определение параметров множественной регрессии в стандартизованной и естественной формах

Задание 1. Для данных, представленных в таблице 3 построить уравнение множественной регрессии в стандартизованной и естественной форме.

Таблица 3 – Расчетные данные для построения уравнения регрессии

Признак	Среднее значение	Среднеквадратическое отклонение (s)	коэффициент парной корреляции ( r )
Среднедневной душевой доход, тг (у)	86,8	11,44	r_x1x2	-0,1160
Среднедневная заработная плата одного работающего, тг (x₁)	54,9	5,86	r_yx1	0,8405
Средний возраст безработного, лет (x₂)	33,5	0,58	r_yx2	-0,2101

Требуется:

1.Построить уравнение множественной регрессии в стандартизованной и естественной форме

2. Рассчитать линейные коэффициенты частной корреляции и коэффициент множественной корреляции, сравнить их с линейными коэффициентами парной корреляции, пояснить различия между ними;

3. Рассчитать частные коэффициенты эластичности, сравнить их с b₁ и b₂, пояснить различия между ними.

4. Рассчитать общий и частные F-критерии Фишера.

Решение:

Для уравнения множественной регрессии в стандартизованном масштабе t_y=b₁*t_x₁+b₁*t_x₂рассчитать коэффициенты b_i:

В результате t_y=0,8273*t_x₁–0,1141*t_x₂

Линейное уравнение множественной регрессии в естественной форме: y=a+b₁x₁+b₂x₂

Для b₁ b₂,… , а:

Рассчитать коэффициенты эластичности:

В результате

Рассчитать коэффициент множественной корреляции:

Общий F-критерий проверяет гипотезу Н_о о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи (R² = О):

F_табл=3,4; a=0,05

F_табл=<F_факт

Частные F-критерии – F_х1факт и F_х2факт оценивают статистическую значимость присутствия факторов x₁ и х₂ в уравнении множественной регрессии, оценивают целесообразность включения в уравнение одного фактора после другого фактора.

Целесообразность включения в модель фактора х₁ после фактора x₂ проверяет F_х1:

F_габл =4,21; a =0,05

F_х1факт>F_табл – целесообразно включить в модель фактор x₁ после фактора х_2.

F_х2факт<F_табл свидетельствует о статистической незначимости прироста R²_y за счет включения в модель фактора х₂ после фактора x₁.

Задание 2. Составить уравнение множественной регрессии

Оценить качество модели.

Параметры множественной регрессии определить с помощью уравнения регрессии в стандартизированном масштабе:

Коэффициенты β₁, β₂, ... β_р:

где Db_i - частные определители; D - общий определитель.

Найти параметры b₁ b₂,…,b_p:

Таблица 4 – Исходные данные для расчета параметров множественной регрессии

№	y	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	_ỹ
	37,7		76,8		309,95	138,99
	23,7					105,86
	26,8		74,6		264,03	114,19
	28,4				306,74	131,73
	43,2		76,6		288,72	139,86
			93,4		287,5	141,52
	33,9		71,8		267,34	118,9
	49,1				344,84	163,26
	29,8		66,6		287,77	143,7
			132,7		456,84	221,88
	19,6		66,9		196,8	102,4
	53,8		94,6		413,8	149,05
	27,4				271,71	135,5
	53,6		92,2		351,94	178,17
	62,1		89,2		499,39	229,36
					380,69	154,31
			71,1		419,71	148,92
	26,8		68,1		255,62	114,49
	47,6		85,6		426,66	143,56
	47,4		72,6		335,76	160,29
Среднее
σ²
σ