ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Ситуационная (практическая) задача № 1

По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника (тыс. руб.) от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (% от стоимости фондов на конец года) и от ввода в действие новых основных фондов (%).

Номер предприятия		Номер предприятия
	3,5		6,3
	3,6		6,4
	3,9
	4,1		7,5
	4,2		7,9
	4,5		8,2
	5,3		8,4
	5,3		8,6
	5,6		9,5

Требуется:

1. Построить корреляционное поле между выработкой продукции на одного работника и удельным весом рабочих высокой квалификации. Выдвинуть гипотезу о тесноте и виде зависимости между показателями и .

Выдвигаем гипотезу о линейной тесной прямой взаимосвязи.

2. Оценить тесноту линейной связи между выработкой продукции на одного работника и удельным весом рабочих высокой квалификации с надежностью 0,9.

Коэффициент корреляции:

Месяц




















∑

Вводим гипотезы:

Н₀: Коэффициент корреляции не значим.

Н₁: Коэффициент корреляции значим.

Гипотезу Н₀ принимаем при выполнении условия

, следует принимаем гипотезу Н₁. С вероятностью 90% коэффициент корреляции значим.

3. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения регрессии для зависимости выработки продукции на одного работника от удельного веса рабочих высокой квалификации.

4. Проверить статистическую значимость параметров уравнения регрессии с надежностью 0,9 и построить для них доверительные интервалы.

Месяц
	5,26	0,54	160,02
	6,03	0,00	113,42
	7,18	0,03	58,52
	7,94	0,88	31,92
	8,32	1,75	21,62
	8,70	0,50	13,32
	8,70	0,50	13,32
	9,09	0,01	7,02
	9,09	0,01	7,02
	9,47	0,28	2,72
	9,47	0,28	2,72
	9,85	1,32	0,42
	10,23	0,59	0,12
	11,00	1,00	5,52
	12,15	0,02	28,62
	12,91	0,01	54,02
	13,29	0,09	69,72
	13,29	0,50	69,72
	14,82	0,67	152,52
	15,20	0,04	178,22
∑		9,02	990,55

Вводим гипотезы:

Н₀: Коэффициенты уравнения не значимы.

Н₁: Коэффициенты уравнения значимы.

Гипотезу Н₀ принимаем при выполнении условия

, следует принимаем гипотезу Н₁. С вероятностью 90% коэффициент значим.

Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии:

С вероятностью 95% коэффициент находится в интервале от 0,343 до 0,421.

С вероятностью 90% коэффициент находится в интервале от 1,255 до 1,627.

5. Рассчитать коэффициент детерминации. С помощью F - критерия Фишера оценить статистическую значимость уравнения регрессии с надежностью 0,9.

Коэффициент детерминации для линейной модели:

Вводим гипотезы:

Н₀: Уравнение регрессии не значимо.

Н₁: Уравнение регрессии значимо.

Гипотезу Н₀ принимаем при выполнении условия:

, следует принимаем гипотезу Н₁. С вероятностью 90% уравнение регрессии значимо.

6. Дать точечный и интервальный прогноз с надежностью 0,9 выработки продукции на одного работника для предприятия, на котором высокую квалификацию имеют 24% рабочих.

Точечный прогноз:

тыс. руб.

Интервальный прогноз:

С вероятностью 90% прогнозное значение находится в интервале от 9,36 до 11,88 тыс. руб., если на высокую квалификацию имеют 24% рабочих.

7. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров.

Множественная зависимость:

где a₀, a₁, a₂ - неизвестные параметры, - случайное отклонение.

Вектор оценок параметров линейной модели размера по формуле:

Метод наименьших квадратов:

При увеличении стоимости фондов на конец года на 1% выработка продукции на одного работника увеличивается на 0,016 тыс. руб., а при увеличении ввода в действие новых основных фондов на 1% выработка продукции на одного работника увеличивается на 1,338 тыс. руб.

8. Проанализировать статистическую значимость коэффициентов множественного уравнения с надежностью 0,9 и построить для них доверительные интервалы.

Месяц
	6,16	0,027	35,294
	6,33	0,109	28,649
	6,78	0,049	18,284
	7,08	0,006	12,374
	7,23	0,052	9,719
	7,65	0,125	6,534
	8,72	0,514	3,614
	8,73	0,071	2,624
	9,13	0,018	1,829
	9,69	0,099	0,479
	10,09	0,008	0,016
	10,24	0,583	0,072
	11,06	0,003	0,249
	11,76	0,059	2,844
	12,34	0,116	8,614
	12,77	0,051	14,039
	13,06	0,003	17,619
	13,33	0,456	19,289
	14,59	0,352	39,644
	15,28	0,078	49,529
∑		2,778	271,306

Вводим гипотезы:

Н₀: Коэффициенты уравнения не значимы.

Н₁: Коэффициенты уравнения значимы.

Гипотезу Н₀ принимаем при выполнении условия

Матрица

0,570257	-0,015773	-0,025915
-0,015773	0,022506	-0,078537
-0,025915	-0,078537	0,286927

, следует принимаем гипотезу Н₁. С вероятностью 90% коэффициент значим.

, следует принимаем гипотезу Н₀. С вероятностью 90% коэффициент не значим.

, следует принимаем гипотезу Н₁. С вероятностью 90% коэффициент значим.

Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии:

С вероятностью 90% коэффициент находится в интервале от 0,789 до 1,851.

С вероятностью 90% коэффициент находится в интервале от - 0,089 до 0,122.

С вероятностью 90% коэффициент находится в интервале от 0,962 до – 1,715.

9. Найти коэффициенты парной и частной корреляции. Проанализировать их.

Парные коэффициенты корреляции:

Месяц
	3,5	12,25
	3,6	12,96	21,6	43,2
	3,9	15,21	27,3	58,5
	4,1	16,81	28,7	69,7
	4,2	17,64	29,4	75,6
	4,5	20,25		85,5
	5,3	28,09	42,4	100,7
	5,3	28,09	47,7
	5,6	31,36	50,4

	6,3	39,69		132,3
	6,4	40,96	70,4	140,8

	7,5	56,25		187,5
	7,9	62,41	94,8	221,2
	8,2	67,24	106,6
	8,4	70,56	109,2	260,4
	8,6	73,96	120,4	266,6
	9,5	90,25		332,5

∑	125,8	868,98	1378,9	3120,5

Расчет частных коэффициентов корреляции:

Коэффициенты парной и частной корреляции свидетельствуют о сильной прямой взаимосвязи между Х₁ и Y и слабой взаимосвязи между Х₂ и Y.

10. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.

Месяц
	6,164	0,027	16,81
	6,330	0,109	16,81
	6,779	0,049	9,61
	7,079	0,006	9,61
	7,229	0,052	9,61
	7,646	0,125	4,41
	8,717	0,514	4,41
	8,733	0,071	1,21
	9,134	0,018	1,21
	9,685	0,099	0,01
	10,087	0,008	0,01
	10,237	0,583	0,81
	11,056	0,003	0,81
	11,757	0,059	3,61
	12,340	0,116	3,61
	12,774	0,051	8,41
	13,057	0,003	8,41
	13,325	0,456	15,21
	14,594	0,352	15,21
	15,279	0,078	24,01
∑		2,778	153,8

Коэффициент множественной детерминации (общий):

Скорректированный коэффициент множественной детерминации:

Скорректированный коэффициент множественной детерминации и общий коэффициентом детерминации различаются незначительно.

11. С помощью F - критерия Фишера оценить адекватность уравнения регрессии с надежностью 0,9.

Вводим гипотезы:

Н₀: Уравнение регрессии не значимо.

Н₁: Уравнение регрессии значимо.

Гипотезу Н₀ принимаем при выполнении условия:

, следует принимаем гипотезу Н₁. С вероятностью 90% уравнение регрессии значимо.

12. Дать точечный и интервальный прогноз с надежностью 0,9 выработки продукции на одного работника для предприятия, на котором высокую квалификацию имеют 24% рабочих, а ввод в действие новых основных фондов составляет 5%.

тыс. руб.

Интервальный прогноз:

С вероятностью 90% выработки продукции на одного работника будет в интервале от 7,442 до 9,35 тыс. руб., если высокую квалификацию имеют 24% рабочих, а ввод в действие новых основных фондов составляет 5%.

13. Проверить построенное уравнение на наличие мультиколлинеарности по: критерию Стьюдента; критерию χ². Сравнить полученные результаты.