ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Задания для самостоятельного решения

Кратные интегралы

Занятие №1

1. Двойной интеграл

Пусть функция f(x;y) определена в замкнутой ограниченной области (D)ÌR². Разобьем эту область на частичные области (D₁), (D₂),¼, (D_n), площади которых равны DS₁, DS₂,¼, DS_n соответственно. Обозначим через d_k диаметр области (D_k): d_k = sup{|M¢M²|; M¢,M²Î(D_k)}. Число называется диаметром разбиения. В каждой частичной области (D_k) возьмем по точке М_k(x_k;y_k). Выражение называется интегральной суммой функции f(x;y) по области (D). Если существует конечный предел интегральных сумм G при l®0, предел, не зависящий ни от способа разбиения, ни от выбора точек М_k, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x;y) по области (D) и обозначается :

При этом говорят, что f(x;y) интегрируема в (D).

Для интегрируемости f(x;y) в ограниченной замкнутой области (D) достаточно, чтобы f(x;y) была непрерывна в (D).

Теорема 1. Если f(x;y), g(x;y) интегрируемы в (D), то k₁f(x;y)+k₂g(x;y) также интегрируема в (D) и при этом

Теорема 2. Если f(x;y) интегрируема в области (D), и пусть площадь множества равна нулю. Тогда

Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторного интеграла. Если f(x;y) непрерывна в замкнутой области (D) и (D) ограничена непрерывными линиями y = j(x), y = y(x), x = а, x = b, j(x)£y(x) при а £ x £ b, то

Правая часть последнего равенства обычно записывается иначе:

Иногда удобно производить внешнее интегрирование по y, внутреннее – по x: если (D) ограничена линиями x = j(y), x = y(y), y = c, y = d, j(y) £ y(y) при y Î[c,d], то

В случае, если область (D) имеет сложный вид, то ее разбивают на простые подобласти и применяют теорему 2.

2. Приложения двойного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур. В декартовой прямоугольной системе координат площадь S плоской фигуры (D) выражается интегралом

Вычисление объемов тел. Объем V цилиндрического тела (T), ограниченного сверху поверхностью z = f(x;y), снизу – плоскостью , с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси 0z, выражается двойным интегралом

где (D) – проекция тела (T) на координатную плоскость Оxy.

Площадь поверхности.Если в пространстве с заданной прямоугольной системой координат гладкая поверхность (W) задана уравнением и (D) – проекция этой поверхности на координатную плоскость Оxy, то площадь S этой поверхности выражается формулой

Механические приложения. Пусть имеется плоская пластина, занимающая область (D) плоскости 0xy и имеющая поверхностную плотность g(x;y). Тогда масса М этой пластины вычисляется по формуле

а координаты ее центра тяжести – по формулам

Статические моменты М_x, М_y пластины относительно осей Оx и Оy вычисляются по формулам

а моменты инерции пластины относительно осей Оx и Оy выражаются формулами

Момент инерции I₀ пластины относительно начала координат равен I₀ = . Центробежный момент пластины рассчитывается по формуле

Если g º 1 (пластина однородная и ее плотность всюду равна 1), то в формулах моменты называются геометрическими моментами.

3. Тройной интеграл

Пусть непрерывная функция определена в замкнутой, ограниченной области (Т) Ì R³. Разобьем (Т) на частичные подобласти (Т_к), 1£ k £ n, обозначим через d_k диаметр (Т_k): через DV_k – объем (Т_k). В каждой частичной области (Т_к) выберем по точке M_к(x_k;y_k;z_k). Выражение

называется интегральной суммой функции f(x;y;z) по области (Т). Число называется диаметром разбиения. Если существует предел интегральных сумм при (предел, не зависящий ни от способа разбиения (Т), ни от выбора точек M_к), то этот предел называется тройным интегралом функции u = f(x;y;z) по области (Т) и обозначается

Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного интеграла. Вычисление тройного интеграла сводится к вычислению повторного интеграла. Если область (Т) ограничена снизу поверхностью z = j₁(x;y), сверху – поверхностью z = j₂(x;y), с боков – цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси Оz, и (D) – проекция тела (Т) на координатную плоскость Оxy, то

Задачи

Рассмотрим в аудитории типичные примеры, для решения которых используются приведенные определения, теоремы и понятия.

1.Записать двойной интеграл в виде повторных интегралов двумя способами, если задана область D:

Ответ. .

Ответ.

2.Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле:

1) .

Ответ. .

2) .

Ответ. .

3) .

Ответ. .

3.Вычислить двойной интеграл:

Ответ. .

4.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Ответ. .

5.Вычислить тройной интеграл от заданной функции по области (V), ограниченной указанными поверхностями:

1) ,

Ответ. .

2) ,

Ответ. .

6.Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела V, ограниченного поверхностями:

Ответ. .

5. Задания для самостоятельного решения:

1.Записать двойной интеграл в виде повторных интегралов двумя способами, если задана область D:

Ответ. .

Ответ.

2.Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле:

1) .

Ответ. .

2) .

Ответ. .

3) .

Ответ. .

4) .

Ответ. .

3.Вычислить двойной интеграл:

Ответ. .

Ответ. 4.

Ответ. -4.

4.Вычислить тройной интеграл от заданной функции по области (V), ограниченной указанными поверхностями:

Ответ. .

Ответ. 4.

Ответ. .

Ответ. 2.

Ответ. 8.

Ответ. 2.

Ответ. 1.

10)

Ответ. 4.

11)

Ответ. 1.

12)

Ответ. 2.

13)

Ответ. 3.

5.Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела V, ограниченного поверхностями:

Ответ. .

Занятие №2

1. Замена переменных в двойном интеграле

Пусть система уравнений

осуществляет взаимно-однозначное соответствие между областью (D) плоскости Оxy и областью (G) плоскости Оuv, пусть при этом функции x(u,v), y(u,v) непрерывно дифференцируемы и якобиан отличен от 0 во всех точках области G. Тогда имеет место формула замены переменных в двойном интеграле

Этой формулой пользуются в тех случаях, когда область (G) имеет более простую форму, чем (D). В частности, при переходе в полярную систему координат

J(u;v) = r

2. Замена переменных в тройном интеграле

Тройной интеграл иногда проще вычислить, если перейти к новой системе координат Оuvw. Если замена переменных происходит с помощью функций , , и эти функции осуществляют взаимно-однозначное соответствие между областью (Т) в системе Оxyz и областью (Т₁) в системе О₁uvw и якобиан непрерывен и не обращается в нуль, то справедлива формула

Наиболее употребительными из криволинейных координат являются цилиндрические и сферические системы координат.

В цилиндрической системе координат каждой точке М пространства с заданной декартовой прямоугольной системой координат ставится в соответствие упорядоченная тройка чисел – длина вектора , где М¢ – проекция точки М на плоскость 0xy, j – угол между вектором и положительным направлением оси Оx, z¢ совпадает с третьей координатой точки М в декартовой прямоугольной системе координат (числа r и j являются полярными координатами точки М¢ в системе Оxy). Переменные r, j, z¢ могут принимать значения: , 0 £ j < 2p (или –p £ j < p), –¥ < z¢ < +¥. Уравнение r = с, где с – константа, с ³ 0, задает цилиндр в пространстве, уравнение j = с задает полуплоскость, z¢ = c – плоскость. Переход к цилиндрической системе координат осуществляется с помощью формул

Якобиан перехода равен J = r. При этом

(Часто вместо z¢ пишут просто z).

В сферической системе координат каждой точке М(x;y;z) пространства с заданной декартовой прямоугольной системой координат ставится в соответствие упорядоченная тройка чисел (r, q, j) – сферические координаты, где r – длина вектора q – угол между вектором и положительным направлением оси Оz, – угол между вектором и положительным направлением оси Оx (М¢, как и выше, – проекция точки М на плоскость Оxy). Переменные r, q, j могут принимать следующие значения: r ³ 0, 0 £ q £ p, 0 £ j < 2p (или –p £ j < p).

Уравнение r = c, c ³ 0 задает сферу радиуса c (чем и объясняется название системы координат), – однополостный круговой конус, j = c – полуплоскость. Формулы перехода к сферической системе координат имеют вид