ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Уравнения прямой и плоскости

Практическое занятие 36

Уравнения сферы, плоскости и прямой.

Форма проведения: Практическая

Цели урока:

Обучающая: закрепить понятие уравнения сферы,плоскостии прямой

Развивающая: развивать логическое мышление, пространственное воображение; умение сравнивать, проводить аналогию; интерес к предмету; творческие способности учащихся.

Воспитывающая: воспитывать взаимопомощь у учащихся через работу в группах; уважение к мнению других.

Оборудование:

раздаточный материал: карточки с заданиями, заготовки для вывода уравнения сферы, шкалы для оценки урока на этапе рефлексия, маркеры, магниты, чистые листы;

глобус, разминка для глаз в виде полушарий земной поверхности;

мультимедийные обеспечение.

Ход урока

Девиз урока Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед! Древнегреческий поэт Нивен

Уравнения прямой и плоскости

Уравнение прямой на плоскости в декартовой системе координат можно задать уравнением вида

для случая, когда прямая не параллельна оси OY, и уравнением

для вертикальной прямой. Но прямая может быть также задана и другим способом. Достаточно указать вектор направления этой прямой и какую-нибудь точку , лежащую на этой прямой. При этом точки, лежащие на прямой, могут быть заданы с использованием векторных операций в виде так называемого параметрического уравнения прямой

в котором параметр t пробегает все значения числовой прямой. Координаты точки, соответствующей некоторому значению этого параметра, определяются соотношениями

( 3.4)

Прямую в пространстве тоже можно задавать параметрическим уравнением, которое очень легко получить из предыдущего простым переходом от двумерных векторов к трехмерным. Пусть . Тогда это уравнение будет определять прямую в пространстве, а координаты точек этой прямой будут определяться формулами

( 3.5)

Как известно из элементарной геометрии, через любые три точки в пространстве проходит плоскость. С другой стороны, через каждую точку плоскости можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной плоскости. При этом все эти прямые будут параллельны друг другу, а значит, они имеют общий вектор направления. Этот вектор будем называть нормалью к плоскости. Если длина вектора равна единице, мы будем называть его единичной нормалью. В компьютерной графике часто приходится решать задачу построения нормали к некоторой плоскости, заданной тремя точками, а также задачи пересечения прямой с плоскостью и двух плоскостей.

Плоскость в пространстве можно задать, указав вектор нормали к ней и какую-либо точку, принадлежащую данной плоскости. Пусть - вектор единичной нормали, а - некоторая точка на плоскости. Тогда для любой точки , лежащей на плоскости, вектор будет ортогонален вектору нормали, а следовательно, выполняется равенство

Раскрывая это выражение в координатном виде, получаем

Теперь перепишем это уравнение в виде

( 3.6)

где . Это уравнение называется каноническим уравнением плоскости. При этом совершенно ясно, что если все это уравнение умножить на какой-либо отличный от нуля множитель, то оно будет описывать ту же самую плоскость, т.е. коэффициенты для каждой плоскости задаются с точностью до произвольного ненулевого множителя. Но если при этом вектор имеет единичную длину, то задает расстояние от начала координат до данной плоскости.

В алгоритмах компьютерной графики довольно часто приходится сталкиваться с задачей построения плоскости, проходящей через три заданные точки. Пусть три точки , и , не лежащие на одной прямой, имеют координатами и . Для канонического уравнения необходимо построить нормаль к плоскости, что легко можно осуществить, используя операцию векторного произведения. Поскольку векторы и лежат в искомой плоскости, то вектор будет ортогонален этой плоскости. Пусть , тогда уравнение плоскости будет иметь вид

Остается определить значение . Так как точка принадлежит этой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять полученному уравнению. Подставим их в уравнение и получим

следовательно

и после подстановки окончательно получим:

( 3.7)

В большинстве алгоритмов, использующих плоскости, достаточно знать нормаль к ней и какую-либо точку, принадлежащую плоскости. Очевидно, что по аналогии можно вывести каноническое уравнение прямой на плоскости, если задана нормаль к ней и принадлежащая прямой точка.

Уравнение сферы

Найдем уравнение сферы радиуса R с центром в точке O₁(x₀;y₀;z₀). Согласно определению сферы расстояние любой ее точки М(х; у; z) от центра O₁(x₀;y₀;z₀) равно радиусу R, т. е. O₁M= R. Но , где . Следовательно,

Это и есть искомое уравнение сферы. Ему удовлетворяют координаты любой ее точки и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на данной сфере.

Если центр сферы Ο₁ совпадает с началом координат, то уравнение сферы принимает вид .

Если же дано уравнение вида F(x;y;z) = 0 , то оно, вообще говоря, определяет в пространстве некоторую поверхность.

Выражение «вообще говоря» означает, что в отдельных случаях уравнение F(x; y; z)=0 может определять не поверхность, а точку, линию или вовсе не определять никакой геометрический образ. Говорят, «поверхность вырождается».

Так, уравнению не удовлетворяют никакие действительные значения х, у, z. Уравнению удовлетворяют лишь координаты точек, лежащих на оси Ох (из уравнения следует: у = 0, z = 0, а х — любое число).

Итак, поверхность в пространстве можно задать геометрически и аналитически. Отсюда вытекает постановка двух основных задач:

1. Дана поверхность как геометрическое место точек. Найти уравнение этой поверхности.

2. Дано уравнение F(x;y;z) = 0. Исследовать форму поверхности, определяемой этим уравнением.

Вариант №1.

1. Сфера задана уравнением (x – 1)² + y ² + (z – 2)² = 9.

1. Найдите координаты центра и радиуса сферы.

2. Определите, принадлежат ли данной сфере точки А(1; 3; -1) и В(2; 2; 1).

2. Сфера с центром в точке О(0; 1; -2) проходит через точку А(-3; 1; 2).

1. Составьте уравнение сферы.

2. Найдите координаты точек оси абсцисс, принадлежащих данной сфере.

3. Точки А(1; 2; -3) и В(7; 2; 5) лежат на сфере радиуса 13. Найдите

расстояние от центра сферы до прямой АВ.

Вариант №2.

1. Сфера задана уравнением x ² + (y +3)² + (z – 2)² = 25.

1. Найдите координаты центра и радиуса сферы.

2. Определите, принадлежат ли данной сфере точки А(4; -3; -1) и В(0; 1; 3).

2. Сфера с центром в точке О(-1; 0; 2) проходит через точку А(1; 2; 1).

1. Составьте уравнение сферы.

2. Найдите координаты точек оси ординат, принадлежащих данной сфере.

3. Точки А(1; 5; 6) и В(1; -1; -2) лежат на сфере, центр которой удален от

середины отрезка АВ на 12. Найдите радиус сферы.

Вариант №3.

1. Сфера задана уравнением x ² + y ² + z ² + 2y – 4z = 4.

a) Найдите координаты центра и радиуса сферы.

b) Найдите значение m, при котором точки А(0; m; 2) и

В(1; 1; m - 2) принадлежат данной сфере.

2. Диаметр сферы – отрезок АВ с концами А(2; -1; 4) и В(2; 7; 10).

a) Составьте уравнение сферы.

b) Найдите кратчайшее расстояние от точки данной сферы до плоскости Оxy.

3. Сфера задана уравнением (x + 3)² + (y – 4)² + (z + 1)² = 25. Найдите

длину линии, по которой данная сера пересекается с плоскостью Оyz.