ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

УПРАВЛЯЕМАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

в 4 семестре 2015/2016 учебного года в группах ИСТ-21 и ИСТ-22.

Управляемая самостоятельная работа 1. Комбинаторные методы для нахождения вероятностей событий.

Теоретические материалы по теме см. в:

Рябушко, А.П. Индивидуальные задания по высшей математике : Операционное исчисление. Элементы теории устойчивости. Теория вероятностей. Математическая статистика : учеб. пособие / А.П. Рябушко. – Минск: Вышэйшая школа, 2006. – 336 с.

Стр. 125, 127–128.

Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами.

Конечное множество из элементов называется кратко –множеством.

Определение 1. Упорядоченной ‑выборкой из данного ‑множества называется любое упорядоченное ‑множество

элементов , не обязательно различных. Число появлений одного и того же элемента в упорядоченной выборке называется кратностью этого элемента. Две упорядоченные выборки

называются равными, если

Если каждый элемент в упорядоченной ‑выборке имеет кратность , то она называется размещением без повторений из элементов по . Общее число всех таких размещений обозначается (здесь обязательно ). Если хотя бы один элемент в упорядоченной ‑выборке имеет кратность , то она называется размещением с повторениями из элементов по . Общее число всех таких размещений обозначается (здесь может быть ). ■

Обозначение от слова arrangement (фр.), которое переводится как размещение, приведение в порядок.

Теорема 1. .

Теорема 2. .

Определение 2. Размещение без повторений из элементов по называется перестановкой без повторений из элементов. Общее число всех таких перестановок обозначается . ■

Обозначение от слова permutation (фр.), которое переводится как перестановка, перемещение.

Теорема 3. Перестановки с повторениями: .

Определение 3. Неупорядоченной ‑выборкой из данного ‑множества называется любое неупорядоченное ‑множество

элементов , не обязательно различных. Число появлений одного и того же элемента в неупорядоченной выборке называется кратностью этого элемента. Две неупорядоченные выборки

называются равными, если каждая из них состоит из одних и тех же элементов одной и той же кратности. Если каждый элемент в неупорядоченной ‑выборке имеет кратность , то она называется сочетанием без повторений из элементов по . Общее число всех таких сочетаний обозначается (здесь обязательно ). Если хотя бы один элемент в неупорядоченной ‑выборке имеет кратность , то она называется сочетанием с повторениями из элементов по . Общее число всех таких сочетаний обозначается (здесь может быть ). ■

Обозначение от слова combinaison (фр.), которое переводится как сочетание, комбинация.

Теорема 4. .

Теорема 5. .

Схема рассуждений при решении задач по теме «Комбинаторные методы для нахождения вероятностей событий».

Упорядоченная Неупорядоченная

-выборка из

-множества

без повторений. с повторениями.

1) Из урны, содержащей перенумерованных шаров, наугад вынимают один за другим все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что номера вынутых шаров будут идти по порядку: 1, 2, …, .

Р е ш е н и е. Упорядоченная –выборка из –множества без повторений.

Размещение без повторений из элементов по .

Перестановка без повторений из элементов.

Число всех равновозможных элементарных событий

Событие . Число благоприятных элементарных событий .

Искомая вероятность . ■

2) Из урны, содержащей перенумерованных шаров, наугад вынимают один шар и записывают его номер. Каждый шар после вынимания вкладывается обратно и перемешивается с другими. Процесс вынимания повторяется раз. Найти вероятность того, что будет записана естественная последовательность номеров: 1, 2, …, .

Р е ш е н и е. Упорядоченная –выборка из –множества с повторениями.

Размещение с повторениями из элементов по .

Число всех равновозможных элементарных событий

Событие . Число благоприятных элементарных событий .

Искомая вероятность . ■

3) Из четырёх букв разрезной азбуки составлено слово «МАТЬ». Ребёнок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово «МАТЬ».

Р е ш е н и е. Упорядоченная 4–выборка из 4–множества без повторений.

Размещение без повторений из 4 элементов по 4.

Перестановка без повторений из 4 элементов.

Число всех равновозможных элементарных событий .

Событие . Число благоприятных элементарных событий .

Искомая вероятность . ■

3’) Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «ИГОРЬ». Ребёнок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово «ИГОРЬ».

Р е ш е н и е. Упорядоченная 5–выборка из 5–множества без повторений.

Размещение без повторений из 5 элементов по 5.

Перестановка без повторений из 5 элементов.

Число всех равновозможных элементарных событий

Событие . Число благоприятных элементарных событий .

Искомая вероятность . ■

4) Из четырёх букв разрезной азбуки составлено слово «МАМА». Ребёнок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово «МАМА».

Р е ш е н и е. Упорядоченная 4–выборка из 4–множества с повторениями.

Размещение с повторениями из 4 элементов по 4, в котором для каждого элемента указывается число его повторений: «М» - 2; «А» - 2.

Перестановка с повторениями.

Число всех равновозможных элементарных событий .

Событие . Число благоприятных элементарных событий .

Искомая вероятность . ■

4’) Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «НАИНА». Ребёнок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово «НАИНА».

Р е ш е н и е. Упорядоченная 5–выборка из 5–множества с повторениями.

Размещение с повторениями из 5 элементов по 5, в котором для каждого элемента указывается число его повторений: «Н» - 2; «А» - 2; «И» - 1.

Перестановка с повторениями.

Число всех равновозможных элементарных событий

Событие . Число благоприятных элементарных событий .

Искомая вероятность . ■

4’’) Из шести букв разрезной азбуки составлено слово «БАОБАБ». Ребёнок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово «БАОБАБ».

Р е ш е н и е. Упорядоченная 6–выборка из 6–множества с повторениями.

Размещение с повторениями из 6 элементов по 6, в котором для каждого элемента указывается число его повторений: «Б» - 3; «А» - 2; «О» - 1.

Перестановка с повторениями.

Число всех равновозможных элементарных событий

Событие . Число благоприятных элементарных событий .

Искомая вероятность . ■

5.1) В танцевальном баре восемь студенток и десять студентов. Объявлено: «Дамы приглашают кавалеров». Студентки выбирают себе партнёров последовательно, случайным образом, при условии, что никакие две студентки танцевать с одним студентом не могут. Найти вероятность того, что будут приглашены первые восемь студентов согласно алфавитному списку.

Р е ш е н и е. Упорядоченная 8–выборка из 10–множества без повторений.

Размещение без повторений из 10 элементов по 8.

Число всех равновозможных элементарных событий

Событие .

Упорядоченная 8–выборка из 8–множества без повторений.

Размещение без повторений из 8 элементов по 8.

Перестановка без повторений из 8 элементов.

Число благоприятных элементарных событий

Искомая вероятность . ■

5.2) В танцевальном баре девять студенток и одиннадцать студентов. Объявлено: «Дамы приглашают кавалеров». Студентки выбирают себе партнёров последовательно, случайным образом, при условии, что никакие две студентки танцевать с одним студентом не могут. Найти вероятность того, что будут приглашены первые девять студентов согласно алфавитному списку.

Р е ш е н и е. Упорядоченная 9–выборка из 11–множества без повторений.

Размещение без повторений из 11 элементов по 9.

Число всех равновозможных элементарных событий

Событие .

Упорядоченная 9–выборка из 9–множества без повторений.

Размещение без повторений из 9 элементов по 9.

Перестановка без повторений из 9 элементов.

Число благоприятных элементарных событий

Искомая вероятность . ■

5.3) В танцевальном баре десять студенток и двенадцать студентов. Объявлено: «Дамы приглашают кавалеров». Студентки выбирают себе партнёров последовательно, случайным образом, при условии, что никакие две студентки танцевать с одним студентом не могут. Найти вероятность того, что будут приглашены первые десять студентов согласно алфавитному списку.

Р е ш е н и е. Упорядоченная 10–выборка из 12–множества без повторений.

Размещение без повторений из 12 элементов по 10.

Число всех равновозможных элементарных событий

Событие .

Упорядоченная 10–выборка из 10–множества без повторений.

Размещение без повторений из 10 элементов по 10.

Перестановка без повторений из 10 элементов.

Число благоприятных элементарных событий

Искомая вероятность . ■

6) Батарея, состоящая из орудий, ведёт огонь по группе, состоящей из самолётов ( ). Каждое орудие выбирает себе цель случайно и независимо от других. Найти вероятность того, что все орудий будут стрелять по разным целям.

Р е ш е н и е. Упорядоченная –выборка из –множества с повторениями.

Размещение с повторениями из элементов по .

Число всех равновозможных элементарных событий

Событие .

Упорядоченная –выборка из –множества без повторений.

Размещение без повторений из элементов по .

Число благоприятных элементарных событий

Искомая вероятность .■

7.1) Пять человек случайным образом рассаживаются за круглым столом. Найти вероятность того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом.

Р е ш е н и е. Упорядоченная 5–выборка из 5–множества без повторений.

Размещение без повторений из 5 элементов по 5.

Перестановка без повторений из 5 элементов.

Число всех равновозможных элементарных событий

Событие .

Число благоприятных элементарных событий .

Искомая вероятность . ■

7.2) Шесть человек случайным образом рассаживаются за круглым столом. Найти вероятность того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом.

Р е ш е н и е. Упорядоченная 6–выборка из 6–множества без повторений.

Размещение без повторений из 6 элементов по 6.

Перестановка без повторений из 6 элементов.

Число всех равновозможных элементарных событий

Событие .

Число благоприятных элементарных событий .

Искомая вероятность . ■

8.1) Четыре человека рассаживаются случайно вдоль одной из сторон прямоугольного стола. Найти вероятность того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом.

Р е ш е н и е. Упорядоченная 4–выборка из 4–множества без повторений.

Размещение без повторений из 4 элементов по 4.

Перестановка без повторений из 4 элементов.

Число всех равновозможных элементарных событий .

Событие .

Число благоприятных элементарных событий .

Искомая вероятность . ■

8.2) Пять человек рассаживаются случайно вдоль одной из сторон прямоугольного стола. Найти вероятность того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом.

Р е ш е н и е. Упорядоченная 5–выборка из 5–множества без повторений.

Размещение без повторений из 5 элементов по 5.

Перестановка без повторений из 5 элементов.

Число всех равновозможных элементарных событий

Событие .

Число благоприятных элементарных событий .

Искомая вероятность . ■

9) В урне 3 белых и 5 чёрных шаров. Из урны вынимают сразу два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

Р е ш е н и е. Неупорядоченная 2–выборка из 8–множества без повторений.

Сочетание без повторений из 8 элементов по 2.

Число всех равновозможных элементарных событий .

Событие .

Неупорядоченная 2–выборка из 3–множества без повторений.

Сочетание без повторений из 3 элементов по 2.

Число благоприятных элементарных событий .

Искомая вероятность . ■

10) В урне 3 белых и 5 чёрных шаров. Из урны вынимают сразу пять шаров. Найти вероятность того, что два из них будут белыми, а три ‑ чёрными.

Р е ш е н и е. Неупорядоченная 5–выборка из 8–множества без повторений.

Сочетание без повторений из 8 элементов по 5.

Число всех равновозможных элементарных событий .

Событие .

Число благоприятных элементарных событий .

Искомая вероятность . ■

11) В партии, состоящей из изделий, имеется дефектных. Из партии выбирается для контроля изделий. Найти вероятность того, что из них ровно изделий будут дефектными.

	Дефектных изделий	Недефектных изделий
-партия		-
-выборка		-

Р е ш е н и е. Неупорядоченная –выборка из –множества без повторений.

Сочетание без повторений из элементов по .

Число всех равновозможных элементарных событий .

Событие .

Число благоприятных элементарных событий .

Искомая вероятность . ■

12) В урне 3 белых и 5 чёрных шаров. Из урны вынимают сразу два шара. Какое событие более вероятно:

‑ шары одного цвета;

‑ шары разных цветов?

Р е ш е н и е. Неупорядоченная 2–выборка из 8–множества без повторений.

Сочетание без повторений из 8 элементов по 2.

Число всех равновозможных элементарных событий .

Число благоприятных событию элементарных случаев . Искомая вероятность .

Число благоприятных событию элементарных случаев . Искомая вероятность . ■

О т в е т. .

13) В розыгрыше первенства по баскетболу участвуют восемнадцать команд, из которых случайным образом формируются две группы по девять команд в каждой. Среди участников соревнований имеется пять команд экстракласса. Найти вероятности следующих событий:

‑ все команды экстракласса попадут в одну и ту же группу;

‑ две команды экстракласса попадут в одну из групп, а три ‑ в другую.

Р е ш е н и е. Неупорядоченная 9–выборка из 18–множества без повторений.

Сочетание без повторений из 18 элементов по 9.

Число всех равновозможных элементарных событий .

Число благоприятных событию элементарных случаев . Искомая вероятность .

Число благоприятных событию элементарных случаев . Искомая вероятность . ■

14) Из полной колоды карт (52 листа, 4 масти) вынимается сразу несколько карт. Сколько карт нужно вынуть, чтобы с вероятностью, большей чем 0,50, утверждать, что среди них будут карты одной и той же масти?

Р е ш е н и е. Обозначим наличие среди вынутых карт не менее двух одной масти.

При число всех равновозможных элементарных событий . Число благоприятных событию элементарных случаев . Искомая вероятность .

При число всех равновозможных элементарных событий . Число благоприятных событию элементарных случаев . Искомая вероятность . ■

О т в е т. Нужно вынуть карт.

Контроль УСР 1 «Комбинаторные методы для нахождения вероятностей событий»(задания из экзаменационных билетов).

Вариант 1. ИСТ-21: Колдушко С. Д, Кондратович Ю. И., Коновальчик В. Е. ИСТ-22: Аллаберенов А. А., Володько В. Л.

Четыре лица случайным образом выбираются из группы, состоящей из 4 русских, 3 украинцев и 2 белорусов. Применяя комбинаторику найти вероятность того, что в выбранной четвёрке точно 1 человек будет русским.

Вариант 2. ИСТ-21: Макаренко И. А., Малентович К. А., Минько И. Н. ИСТ-22: Говор А. А., Дорошенко А. В.

Вариант 3. ИСТ-21: Пятигор А. Л., Рак А. А., Тихонов С. А. ИСТ-22: Жуков Р. С., Илистинов В. И.

Вариант 4. ИСТ-21: Усенко И. В., Хмелевский В. В., Шумский Я. Д., Яхонт В. И. ИСТ-22: Мезяк А. И., Попченя Р. С.

Управляемая самостоятельная работа 2. Безусловные и условные вероятности событий. Зависимые и независимые события.

Теоретические материалы по теме см. в:

Стр. 127, 134.

Пусть пространство элементарных событий, соответствующих данному испытанию, состоит из равновозможных элементарных событий. В этом случае (безусловной) вероятностью события называется отношение числа элементарных событий, благоприятных для , к числу всех элементарных событий:

Обозначение (рублёный шрифт) от слов probabitité (фр.) и probability (англ.), которые переводятся как вероятность.

Вероятность события , вычисленная при условии, что произошло событие , называется условной вероятностью события и обозначается или .

Аналогично определяется условная вероятность события ; обозначения или .

Пример.Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8, если известно, что эта сумма есть чётное число.

Р е ш е н и е. Пространство элементарных событий

2-я 1-я

1+1

1+2

1+3

1+4

1+5

1+6

2+1

2+2

2+3

2+4

2+5

2+6

3+1

3+2

3+3

3+4

3+5

3+6

4+1

4+2

4+3

4+4

4+5

4+6

5+1

5+2

5+3

5+4

5+5

5+6

6+1

6+2

6+3

6+4

6+5

6+6

Событие ={сумма выпавших очков равна 8}.

Событие ={сумма выпавших очков чётная}.

. ■

Безусловная же вероятность события : .

Событие называется независимым от события , если вероятность события не зависит от того, произошло событие или нет.

Событие называется зависимым от события , если вероятность события меняется в зависимости от того, произошло событие или нет.

Пример. (Предыдущий.)

2-я 1-я	1…6
…

Р е ш е н и е. Событие зависит от события . ■

Условие независимости события от события можно записать в виде

а условие зависимости — в виде

Зависимость или независимость событий всегда взаимны. В связи с этим можно дать следующее новое определение независимых событий.

Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появление другого.

Контроль УСР 2 «Безусловные и условные вероятности событий. Зависимые и независимые события» (задания из экзаменационных билетов).

Вариант 1. ИСТ-21: Колдушко С. Д, Кондратович Ю. И., Коновальчик В. Е. ИСТ-22: Аллаберенов А. А., Володько В. Л.

Последовательно бросаются две монеты. Найти безусловные и условные вероятности следующих событий:

А – выпадение герба на первой монете;

F – выпадение герба на второй монете.

Зависимы или независимы эти события?

Вариант 2. ИСТ-21: Макаренко И. А., Малентович К. А., Минько И. Н. ИСТ-22: Говор А. А., Дорошенко А. В.

Из полной колоды карт (4´13=52 листа) вынимается одна карта. Найти безусловные и условные вероятности следующих событий:

В – появление карты красной масти;

С – появление бубнового туза.

Зависимы или независимы эти события?

Вариант 3. ИСТ-21: Пятигор А. Л., Рак А. А., Тихонов С. А. ИСТ-22: Жуков Р. С., Илистинов В. И.

Последовательно бросаются две монеты. Найти безусловные и условные вероятности следующих событий:

D – выпадение хотя бы одного герба;

F – выпадение герба на второй монете.

Зависимы или независимы эти события?

Вариант 4. ИСТ-21: Усенко И. В., Хмелевский В. В., Шумский Я. Д., Яхонт В. И. ИСТ-22: Мезяк А. И., Попченя Р. С.

Из неполной колоды карт (4´9=36 листов) вынимается одна карта. Найти безусловные и условные вероятности следующих событий:

А – появление туза;

С – появление бубнового туза.

Зависимы или независимы эти события?

Управляемая самостоятельная работа 3. Неравенство П. Л. Чебышёва.

Теоретические материалы по теме см. в:

Стр. 219-220.

Пусть ‑ случайная величина с математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением . Тогда для любого вероятность того, что принимает значения, отличающиеся от больше ( ) чем на , меньше ( ) , т.е.

Отсюда при получаем

3.1. Неравенство П. Л. Чебышёва. Каково бы ни было для любой случайной величины , дисперсия которой конечна, имеет место неравенство Чебышёва

1) Электростанция обслуживает сеть из 18000 ламп, вероятность включения каждой из которых в зимний вечер равна 0,9. Какова вероятность того, что число ламп, включённых в сеть зимним вечером, отличается от своего математического ожидания по абсолютной величине не более чем на 200?

Р е ш е н и е. Согласно условию дискретная случайная величина ‑ число включённых ламп – распределена по биномиальному закону. Тогда математическое ожидание , а дисперсия . В силу неравенства Чебышёва искомая вероятность

. ■

О т в е т. .

2) Дискретная случайная величина , задана следующей таблицей вероятностей (следующим рядом распределения):

Х
Р	0,05	0,10	0,25	0,30	0,20	0,10

Чему равна вероятность того, что ? Оценить эту вероятность, пользуясь неравенством Чебышёва.

Р е ш е н и е. Шаг 1. По определению математическое ожидание

Шаг 2. По теореме дисперсия

Шаг 3. Неравенству

удовлетворяют следующие значения случайной величины : 2, 3, 4 и 5. Тогда искомая вероятность

Искомая вероятность также может быть найдена путём перехода к противоположному событию

Шаг 4. Согласно неравенству Чебышёва

О т в е т. Вероятность . Согласно неравенству Чебышёва оценка снизу этой вероятности .

2’) Дискретная случайная величина , задана следующей таблицей вероятностей (следующим рядом распределения):

Х	-1
Р	0,2	0,4	0,3	0,05	0,05

Чему равна вероятность того, что ? Оценить эту вероятность, пользуясь неравенством Чебышёва.

Р е ш е н и е. Шаг 1. По определению математическое ожидание

Шаг 2. По теореме дисперсия

Шаг 3. Неравенству

удовлетворяют следующие значения случайной величины : -1, 0, 2 и 4. Тогда искомая вероятность

Искомая вероятность также может быть найдена путём перехода к противоположному событию

Шаг 4. Согласно неравенству Чебышёва

О т в е т. Вероятность . Согласно неравенству Чебышёва оценка снизу этой вероятности .

3) Средняя длина детали 50 см, а дисперсия 0,1. Пользуясь неравенством Чебышёва, оценить вероятность того, что случайно взятая деталь окажется по длине не меньше 49,5 см и не больше 50,5 см.

Р е ш е н и е. Пусть - длина случайно взятой детали. Из условия задачи следует, что математическое ожидание , а дисперсия . Требуется оценить снизу вероятность . Так как неравенство

то необходимо оценить снизу вероятность . Согласно неравенству Чебышёва

О т в е т. .

3.2. Теорема П. Л Чебышёва. Пусть - последовательность независимых случайных величин, имеющих дисперсии, которые ограничены одной и той же постоянной . Тогда, каково бы ни было постоянное положительное число , имеет место обобщённое неравенство Чебышёва

4) Для определения средней продолжительности горения электроламп в партии из 200 одинаковых ящиков было взято на выборку по одной лампе из каждого ящика. Оценить снизу вероятность того, что средняя продолжительность горения отобранных 200 электроламп отличается от средней продолжительности горения во всей партии по абсолютной величине меньше чем на 5 ч, если известно, что среднее квадратичное отклонение продолжительности горения ламп в каждом ящике меньше 7 ч.

Р е ш е н и е. Пусть дискретная случайная величина - продолжительность горения электролампы, взятой из -го ящика. В задаче дано, что дисперсия . Очевидно, что средняя продолжительность горения ламп в выборке

а средняя продолжительность горения ламп во всей партии

В задаче требуется оценить снизу вероятность

Так как - независимые случайные величины, то эта вероятность оценивается снизу правой частью обобщённого неравенства Чебышёва, где следует положить , , .

Итак, искомая вероятность

. ■

О т в е т. .

5) Сколько раз нужно измерить данную величину, истинное значение которой равно , чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, можно было утверждать, что среднее арифметическое значение этих измерений отличается от по абсолютной величине меньше чем на 2, если среднее квадратичное отклонение каждого из измерений меньше 10?

Р е ш е н и е. Пусть дискретная случайная величина ‑ результат -го измерения. В задаче дано, что математическое ожидание , а дисперсия . Поэтому

Требуется найти такое , при котором

Согласно обобщённому неравенству Чебышёва

где следует положить , . Тогда требуемое неравенство во всяком случае будет выполняться, если:

. ■

О т в е т. .

6) Выяснить, применимо ли обобщённое неравенство Чебышёва к последовательности независимых случайных величин