ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Статистические модели в виде нелинейных полиномов.

1 23

Параболическая регрессия.

(14)

При составлении статистических моделей ХТП часто возникает необходимость использовать уравнения нелинейной формы, в частности полином второй степени.

Коэффициенты регрессии определяем по методу наименьших квадратов.

(15)

Приравняем к нулю частные производные функции по коэффициентам b₀, b₁, b_2.

(16)

Выполнив преобразования, получим систему линейных уравнений с тремя неизвестными (b₀, b₁,b₂).

(17)

Введем обозначения:

; ; ; ;

(18)

; ; .

С учетом принятых обозначений система будет иметь следующий вид:

(19)

Определим неизвестные коэффициенты b₀, b₁, b₂.

(20)

(21)

(22)

После решения системы уравнений и вычисления коэффициентов b₀, b₁, b₂ проводится статистический анализ полученного уравнения регрессии. Аналогичным образом будут определяться коэффициенты параболы любого порядка. Исследование уравнения проводится по статистическим критериям. Однако в этом случае не требуется вычислять выборочные коэффициенты корреляции. Адекватности уравнения регрессии эксперименту можно добиться, повышая степень полинома. Однако при этом все коэффициенты следует вычислять заново, так как существует корреляция между коэффициентами.

Экспериментальная часть.

Задание № 5.

Определить зависмость теплоемкости воды и гексана от температуры.

Исходные данные:

	O2	Бутан С4Н10
Т,К	Cp,Дж/(моль*К)	Cp,Дж/(моль*К)
	29,37	86,06
	30,1	108,95
	31,08	129,41
	32,09	147,03
	32,99	161,96
	33,74	174,89
	34,36	186,15
	34,87	195,34

Объем выборки N=8.

Для описания зависимости теплоемкости кислорода от температуры выберем полином второго порядка:

В результате расчетов, выполненных по программе, были получены следующие значения коэффициентов регрессии: b₀=24,62708333 b₁=0,047055357 b₂=-1,88512E-05

Коэффициент парной корреляции рассчитываем по формуле (4) или (5).

В результате уравнение регрессии будет иметь вид:

Результаты расчета представлены в табл. 1.

Температура, К	Теплоемкость, кал/моль К	Абсолютная погрешность
С_р^эксп	С_р^расч
	29,37	30,25	-0,88
	30,1	31,2	-1,1
	31,08	32,09	-1,01
	32,09	32,9	-0,81
	32,99	33,65	-0,66
	33,74	34,33	-0,59
	34,36	34,95	-0,59
	34,87	0,10611	34,76389

Среднеквадратическое отклонение рассчитывается по формуле

Величина ошибки S =2,13172 показывает, что расчетные значения достаточно хорошо совпадают с экспериментальными, а, следовательно, зависимость теплоемкости воды от температуры можно описать полиномом второго порядка. Значение коэффициента парной корреляции равно r_xy =0,995164.

Для описания зависимости теплоемкости бутана от температуры выберем полином второго порядка:

В результате расчетов, выполненных по программе, были получены следующие значения коэффициентов регрессии: b₀=8,308; b₁=0,5097; b₂= -0,00018878

. Коэффициент парной корреляции рассчитываем по формуле (4) или (5).

В результате уравнение регрессии будет иметь вид:

Результаты расчета представлены в табл. 1.

Температура, К	Теплоемкость, кал/моль К	Абсолютная погрешность
С_р^эксп	С_р^расч
	86,06	108,79	-22,73
	108,95	128,84	-19,89
	129,41	146,65	-17,24
	147,03	162,2	-15,17
	161,96	175,49	-13,53
	174,89	186,54	-11,65
	186,15	195,34	-9,19
	195,89	0,4713	195,4187

Среднеквадратическое отклонение рассчитывается по формуле:

Величина ошибки S =49,94045

показывает, что расчетные значения достаточно хорошо совпадают с экспериментальными, а, следовательно, зависимость теплоемкости бутана от температуры можно описать полиномом второго порядка. Значение коэффициента парной корреляции равно r_xy =0,989608.

1 23