ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Лекция 2: сложные проценты

Сложная процентная ставка наращения - это ставка, при которой база начисления является переменной, то есть проценты начисляются на проценты. Формула наращения для сложных процентов имеет вид:

S = P{l + i) (2.1)

где s - наращенная сумма;

' - годовая ставка сложных процентов; 11 - срок ссуды;

С + ^ - множитель наращения.

Формулу наращения для сложных процентов используют и в том случае, когда срок для начисления процентов является дробным числом. Однако существует и специальная формула для этого случая: если срок вклада состоит из целого числа годов а = п и части года h = {rt}, т.е. п = а + b, то наращенная сумма определяется по формуле:

Л' = 7Д1 +/У (1+ /)",

Если разложить в ряд сомножитель (l + O* = 1 + —/+ ^ ^ г +..., получим приближённую формулу:

S = P( + ir( + bi). (22)

Так как при h < I третий член разложения меньше нуля, то (1 + Ы) > (1 + ;)*. Поэтому расчет наращенной суммы по приближённой формуле дает больший результат, чем по исходной формуле.

При Л є[0;l] величина ( + if є[Ці + /], поэтому при малых значениях / коммерческие банки при наличии полных периодов начисления процентов обычно принимают сомножитель (1 + /)'' равным единице, т.е.

Время при наращении по сложной ставке обычно измеряется как ACT/ACT, т.е. точные проценты с точным числом дней ссуды.

Проценты за этот же срок в целом составляют / = S-P = + - lj Часть из них получена за счет начисления процентов на проценты. Она составляет: //; = Р (1 +/)" -(! + «/)]

Как показано выше, рост по сложным процентам представляет собой процесс, соответствующий геометрической прогрессии, первый член которой равен Р, а знаменатель - (1 + ї), Последний член прогрессии равен наращенной сумме в конце срока ссуды. Графическая иллюстрация наращения по сложным процентам представлена на рис. 4.

S 1		S
		I
р

	п

Рис.4. Наращение по сложным процентам

Пример 2.1. Какой величины достигнет долг, равный 1 млн. руб., через 5 лет при росте по сложной ставке 15,5\% годовых?

S = Р(]+і)" = 1000000-(1 + 0,155)5 =2055464,22 руб.

Для того чтобы сопоставить результаты наращения по разным процентным ставкам, достаточно сравнить соответствующие множители наращения. Нетрудно убедиться в том, что при одинаковых уровнях процентных ставок соотношения этих множителей существенно зависят от срока.

В самом деле, при условии, что временная база для начисления процентов одна и та же, находим следующие соотношения (в приведенных ниже формулах подписной индекс s проставлен у ставки простых процентов):

- для срока меньше года простые проценты больше сложных:

(1 + /н,)>(1 + /У

- для срока больше года сложные проценты больше простых:

(1 + я/,)<(1 + /У

- для срока равного году множители наращения равны друг другу. Заметим также, что при п>1 с увеличением срока различие в последствиях

применения простых и сложных процентов усиливается. Графическая иллюстрация соотношения множителей наращения представлена на рис.5.

О 1 n

Рис.5, Соотношение множителей наращения

Формулы, приведённые выше, предполагают, что проценты на проценты начисляются по той же ставке, что и при начислении на основную сумму долга. Усложним условия начисления процентов. Пусть проценты на основной долг начисляются по ставке /, а проценты на проценты - по ставке гфі. В этом случае:

S = Р + Pi[ + (1 + г) + (1 + г)2 +... + (1 + г)"-]] Ряд в квадратных скобках представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем (! + /■). В итоге имеем:

S = Р

(2.3)

Если на каждом этапе t (t=l, 2, ..., к) срока вклада процентная ставка ?, меняется, то величина наращенной суммы может быть определена по формуле:

S = + /)"; (1 + /)"-- ...(I +/)"<■ - !>f[(] + ,• )"<, (2.4)

где /,,/,,...,/,. - последовательные значения ставок процентов, действующих В СООТВеТСТВуЮЩИе ПерИОДЫ l),tlz,...JIk И /7 = /7, +//2 + ... + /7,..

Пример 2.2. В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 20\% годовых плюс маржа 10\%> в первые два года, 8\% - в третий год 5\% - в четвертый год. Вычислить величину множителя наращения за 4 года.

Искомый множитель наращения равен (1+ 0,3)2(]+ 0,28)(1 + 0,25) = 2,704.

В ранее полученных формулах при начислении процентов не принималось во внимание расположение срока начисления процентов относительно календарных периодов. Очевидно, что часто даты начала и окончания ссуды находят в разных периодах, но начисленные за весь срок проценты не могут быть отнесены только к последнему периоду. В бухгалтерском учете, при налогообложении, в анализе финансовой деятельности предприятия возникает задача распределения начисленных процентов по периодам. Алгоритм деления общей массы процентов легко сформулировать на основе графика, построенного для двух смежных календарных периодов (рис. 6).

S1		h
р
п1
	п

Рис.6. Наращение по сложным процентам в смежных периодах

Общий срок ссуды делится на два периода W| и ^. Соответственно:

/ = /' + /2 (2.5)

где /, =l{a + i)n] -l]; 12 =Р(1 + '>,[(1 + /)«2 -і] = 7>[(1 + /)"-(1 + />1. .

Пример 2.3. Ссуда была выдана на два года - с 1 мая 1998 года по 1 мая 2000 года. Размер ссуды 10 млн. руб. Необходимо распределить начисленные проценты (ставка 14\% ACT/ACT) по календарным годам.

За период с 1 мая до конца года (244 дня): 10000-(1,14365 -1) = 915,4

тыс. рублей. За 1999 г.: 10000-1,14365 -0,14 = 1528,2 тыс. рублей. Наконец, с 1

244 121

января до 1 мая 2000 г. (121 день): 10000-1,14'^ -(1,14365 -1) = 552,4тыс. рублей. Итого за весь срок - 2996 тыс. рублей. Такой же результат получается для всего срока в целом: 10000-(1.142 -1) = 2996 тыс. рублей.

Часто в финансовых операциях в качестве периода наращения процентов используется не год, а, например, месяц, квартал или другой период. В этом случае говорят, что проценты начисляются т раз в году. В контрактах обычно фиксируется не ставка за период, а годовая ставка, которая в этом случае называется номинальной. Сложная процентная ставка наращения является частным случаем номинальной при начислении процентов раз в году. Если номинальную ставку обозначить через], то проценты за один период начисляются по ставке j/m, а количество начислений равно тп. Наращенная сумма при использовании номинальной процентной ставки наращения определяется по формуле:

S = P ++(2.6)

Пример 2.4. Изменим одно условие в примере 2.1. Какой величины достигнет долг, равный 1 млн. руб., через 5 лет при росте по сложной ставке 15,5\% годовых, если проценты начисляются не раз в году, а поквартально?

(

£ = 1000000

1 +

0,155 ^

4 j

4.5

= 2139049,01 руб.

Заметим, что чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения (цепной процесс).

Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по ставке j/m.

Если проценты капитализируются m раз в год, каждый раз со ставкой j/m, то, по определению, можно записать следующее равенство для соответствующих множителей наращения:

d + ü)" =

1 +

J_ т (2.7)

где і ,ф - эффективная ставка;

і - номинальная ставка. Отсюда получаем, что связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением:

: V

1 +

Обратная зависимость имеет вид:

I ■ т

-1

(2.8)

(2.9)

Пример 2.5. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты ежеквартально, исходя из номинальной ставки 10\% годовых.

Решение: По формуле, связывающей номинальную и эффективную

о.Г

ставки, находим

ґ п і л4

V 4 j

-1 = 0.1038 т.е. 10,38\%.

В математическом учете решается задача, обратная наращению по сложным процентам. Запишем исходную формулу для наращения сложных процентов S = Р(1 + і)" и решим ее относительно Р:

P = S—^— = Sv' (2.10) (1 + /У

где у" = * = (1 + /') " - учетный или дисконтный множитель. Если проценты начисляются m раз в году, то получим:

P = S-— = Sv'" (2.11)

(-J )"•"

..tun__I__ л , //-iim

где v--—— - Iі + /т) - дисконтный множитель.

(1 + .//)'""

/ т'

Величину Р, полученную дисконтированием S, называют современной или текущей стоимостью или приведенной величиной S. Суммы Р и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме S через п лет равноценен сумме Р, выплачиваемой в настоящий момент.

Пример 2.6. Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 1 млн. руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется ставка сложных процентов - 10\% годовых.

Г = 1000000-(1 +0Д0)"5 =620921 руб. В случае банковского учета предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле

P = S{-d )", (2.12)

где d - сложная годовая учетная ставка. Дисконт в этом случае равен:

p = S-P = S - S( - d у = S[ -(-d )"]. (2.13)

При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта.

Если дисконтирование производится m раз в году, то оно осуществляется по формуле:

^ = Д'(1--Г (2.14) т

где /- номинальная годовая учетная ставка.

Эффективная учетная ставка й>ф характеризует степень дисконтирования за год. Определим ее на основе равенства дисконтных множителей:

(!-</)"= , (2.15)

d = - 1-

откуда получим:

V. т j

(2.16)

В свою очередь: ,/' = т([ - Іі-сі). (2.17)

Эффективная учетная ставка во всех случаях, когда т>1, меньше номинальной.

Пример 2.7. Вексель на сумму 20000 руб., срок платежа по которому наступает через 1,8 года, учтен по сложной процентной ставке 18\% годовых. Определить сумму, полученную владельцем векселя при учете, и дисконт при ежегодном и ежемесячном дисконтировании.

P = S(-dai)" =20000-(1-0,18)'" =13992,49 руб. I) = s-Р = 20000-13992,49 = 6007,51 руб.

У ( П 1 cV'"'18

р = S(--=-)""' = 20000 -1 —— = 14429,52 руб

т V 12 J

f) = S-P = 20000-14429,52 = 5570,48 руб.

Иногда наращенную сумму получают и с помощью сложной учетной

ставки. Из формул (2.12) и (2.14) легко получить формулы наращения:

Р о Р

S =- и S =

(1-е/)" (1_/у

Множитель наращения при использовании сложной ставки d равен (1-</Г.

Если сравнивать различные ставки для наращения и дисконтирования, можно заметить, что даже в одинаковых исходных условиях применение этих ставок приводит к различным результатам. В связи с этим представляет практический интерес сравнение результатов наращения и дисконтирования по различным ставкам. Для этого достаточно сопоставить соответствующие множители наращения. Аналогичный анализ можно провести и с дисконтными множителями. Опустив формальные доказательства, можно записать необходимые соотношения при условии, что размеры ставок одинаковые. Варианты со ставками j и f не рассматриваются, так как для них результат зависит и от значения т.

Множители наращения по сложной ставке соотносятся между собой следующим образом (рис. 7):

(1+/)" <

Рис.7, Соотношение множителей наращения

Аналогичным образом получается соотношение для дисконтных множителей:

(1-е/)" <

(1 + 0"

Если в формуле S = Р f .Л"'"

1+^

, определяющей наращенную сумму при

использовании номинальной процентной ставки наращения, периоды начисления процентов постоянно уменьшать, то количество этих периодов в году будет увеличиваться. В пределе при стремлении длительности периодов к нулю их число стремится к бесконечности т оо. Такое начисление процентов называется непрерывным, а процентная ставка при непрерывном начислении называется силой роста. Сила роста называется постоянной, если она не изменяется во времени. Если сила роста изменяется во времени, то она называется переменной. Формула для наращенной суммы при непрерывном начислении процентов для постоянной силы роста 5 имеет вид:

S = lim Р

( і у" 1+^-

,Мї V т)

= Рер> (2.18)

где е'" - множитель наращения, которые обозначают с'", чтобы отличить непрерывное начисление процентов от дискретного. Тогда формула наращенной суммы при непрерывном начислении процентов по постоянной силе роста сбудет иметь вид:

S = Pe'b (2.19) Таким образом, сила роста S представляет собой номинальную процентную ставку j при т -> да.

Большое значение непрерывное наращение имеет в анализе сложных финансовых проблем, например, при анализе характеристик ценных бумаг.

Пусть переменная сила роста изменяется во времени, то есть ö, = /(/). В этом случае наращенная сумма и современная стоимость опре-

Г! II

деляются соотношениями: S = Ре" , P = Se " . (2.20)

Рассмотрим случаи изменения силы роста по линейному закону и по экспоненте.

При линейном изменении силы роста от времени множитель наращения имеет вид: еЛ =еп =е 2 , (2.21) где ötl - начальное значение силы роста; а - прирост силы роста.

При экспоненциальном изменении силы роста от времени МНОЖИВ/Г f<V'(//

тель наращения имеет вид: еа = е'1 = е(АЛс (2.22)

Таким образом, формулы для наращенной суммы при непрерывном начислении процентов для переменной силы роста 5 можно переписать в

an' , an'

виде: S = Pe^ 2 S = Pe^ r = Se-(ön"+ * F = Se<-w-1».

Пример 2.8. Определить современную стоимость суммы 25000 руб, выплачиваемой через 2,8 года, при линейном изменении силы роста, когда начальное значение силы роста 30 =0.12, а прирост силы роста а = 0.1.

p = Se 2 =25000 -є 2 =12071.84 руб.

Доходность финансовой операции определяется в виде процентной ставки. Например, доходность ссудной операции с использованием простой процентной ставки выражается в виде: S = Р{ + п ■ і)=> і = — ^ -1J. Доходность ссудной операции с использованием сложной процентной ставки:

S = p(i + i)'^i = ^j-)j -і. Доходность ссудной операции с использованием

непрерывной процентной ставки: S = Ре*' 5 = — Inf —

п Р

Введём новые обозначения: C{t) - капитал, составляющий в момент t, p{r) -> p(v)—!—>s(v) -> ,У(й)ден. ед.; если /, >/, то с '(^) - инвестиция, а С(/2) - результат финансовой операции; ( yr - коэффициент увеличения

капитала; (С2 - с) - номинальный доход финансовой операции.

Формулы для вычисления доходности финансовых операций примут вид:

"'^(Н (2-23)

- доходность ссудной операции с использованием простой процентной ставки.

(2.24)

- доходность ссудной операции с использованием сложной процентной ставки.

''^"llJ (2-25)

- доходность ссудной операции с использованием непрерьшной процентной ставки.

Доходности d^d2,d, можно рассчитывать не только для всего отрезка продолжительности финансовой операции [/,, /,], но и для любого другого отрезка, входящего в него. Если длина отрезка [/,, /,] уменьшается до 0, можно получить мгновенную доходность финансовой операции.

Рассмотрим интервал [/, / + Д?] и сделаем предельный переход А/ ->■ о:

d, = Wmd, = lim —

А, >0 Л' >°Д/

С{() ) *>о с(/)Д/ с(/) {2 26)

логарифмическая производная ('(/).

d7 - lim d-, - lim

Л/->(> " Л/->()

C(t)

, г [(jt)+C(t)M + o(M)] , 1 - hm -t—^-4^--—- -1 =

- lim

Л/->(>

, (" О л o(At)

c"(0

-1 = ^ -1

(2.27)

a, = hm с/, = lim — In v , ч = hm — In——-4-^--—- =

дг_>„ - ДГ^ОД/ ('(/)

- lim — In

,v->() Д/

1 +

■ д/ + v y

г 1 - lim —

ЛГ-><> Д/

r(/)A,, о(Д/Л_("(')

■Д/ +

(2.28)

CtO" ' et»)

Итак, для доходностей di и d, мгновенные доходности в момент времени / равны логарифмической производной от капитала c(t). В случае доходности d2 мгновенная доходность в момент времени 1 равна экспоненте логарифмической производной от капитала c(t) за вычетом 1.