ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Задачи на нахождения экстремума функции

Определение экстремума

Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x₁< x₂ выполняется неравенство (f(x₁) < f (x₂) (f(x₁) > f(x₂)).

Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ^'(x) > 0

(f ^' (x) < 0).

Точка x_о называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки x_о, для всех точек которой верно неравенство f(x) ≤ f(x_о) (f(x) ≥ f(x_о)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.

Точки экстремума

Необходимые условия экстремума. Если точка x_о является точкой экстремума функцииf(x), то либо f ^'(x_о) = 0, либо f (x_о) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

Первое достаточное условие. Пусть x_о - критическая точка. Если f ^' (x) при переходе через точку x_о меняет знак плюс на минус, то в точке x_офункция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x_оэкстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную
f ^' (x) в окрестности точки x_о и вторую производную в самой точке x_о. Если f ^' (x_о) = 0, >0 ( <0), то точка x_о является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].

Пример 3.22.Найти экстремумы функции f(x) = 2x³ - 15x²+ 36x - 14.

Решение. Так как f ^'(x) = 6x² - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), то критические точки функции x₁ = 2 и x₂ = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x₁ = 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x₂ = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x₂ = 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках
x₁ = 2 и x₂ = 3, найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) = 13.

Задачи на нахождения экстремума функции

Пример 3.23.Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?

Решение. Обозначим стороны площадки через x и y. Площадь площадки равна S = xy. Пусть y - это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2x + y = a. Поэтому y = a - 2x и S = x(a - 2x), где
0 ≤ x ≤ a/2 (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). S ^' = a - 4x, a - 4x = 0 при x = a/4, откуда
y = a - 2×a/4 =a/2. Поскольку x = a/4 - единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При xa/4 S ^' > 0, а при x >a/4 S ^'< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a² /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на [0, a/2] и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Пример 3.24.Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V=16p ≈ 50 м³. Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Решение. Площадь полной поверхности цилиндра равна S = 2pR(R+Н). Мы знаем объем цилиндра V = pR²Н Þ Н = V/pR² =16p/ pR² = 16/ R². Значит, S(R) = 2p(R²+16/R). Находим производную этой функции:
S ' (R) = 2p(2R- 16/R²) = 4p (R- 8/R²). S ^'(R) = 0 при R³ = 8, следовательно,
R = 2, Н = 16/4 = 4.

Пример 3.22.Найти экстремумы функции f(x) = 2x³ - 15x²+ 36x - 14.

Асимптоти графіка функції

При вивчені поведінки функції, якщо або поблизу точок розриву другого роду, часто трапляється так, що графік функції як завгодно близько наближається до тієї чи іншої прямої. Ці прямі називаються асимптотами.

Означення 1. Пряма називається вертикальною асимптотою графіка функції , якщо хоча б одна з односторонніх границь або дорівнює або . Наприклад, пряма є вертикальною асимптотою графіка функції тому, що , .

Означення 2. Пряма називається похилою асимптотою графіка при або , якщо або .

Теорема 1. (Знаходження похилої асимптоти). Для того щоб пряма була похилою асимптотою графіка функції при необхідно і достатньо, щоб існувала скінченні границі , .