ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Симпсон формуласы (парабола формуласы)

Лекциялар курсы

Шымкент 2009 г.

K85

ӘОЖ 518.517.392+800.92

Құрақбаев Д. С. «Сандық әдістер» пәнінең лекциялар курсы.

–Шымкент: OҚМУ, -2009. –111б.

Берілген оқу - әдістемелік нұсқауда «Сандық әдістер» курсынан типтік есептерді шешуге қажетті теориялық мағлұматтар мен формулалар келтірілген.

Жоғарыда айтылғандарды ескере отырып, оқу - әдістемелік құралды барлық техникалық және технологиялық мамандықтардың күндізгі және сыртқы бөлім студенттерінің қолдануларына болады деп есептеймін.

Пiкiр жазғандар: Н.Е. Ержанов – Қ.А.Яссауи атындағы ХҚТУ

ШБ-нің, «Есептеу техникасы және бағдарламалау»

кафедрасының меңгерушісі, ф-м.ғ.к., доцент

У. М. Ибрагимов - M.Әуезов атындагы ОҚМУ-нің

«Информатика» кафедрасының доцентi .

М.Әуезов атындағы ОҚМУ – нің әдістемелік Кеңесімен қаралып, баспаға ұсынған. Хаттама №2. 30.11.2008ж.

Оңтүстік Қазақстан мемлекеттік

университеті

МАЗМҰНЫ

1 Қателіктер теориясының бастапқы ұғымдары........................ ..............5

1.1 Абсолютті және салыстырмалы қателіктер......…………….………...5

1.2 Қателіктердің негізгі пайда себептері………………….......................6

1.3 Қателіктің жалпы формуласы................................................................7

2 Алгебралық және трансцендент тендеулерді жуықтап шешу

әдістері. Кiрiспе………………………………….………………………8

2.1 Алгебралық және трансцендент тендеулер......…………………… …8

2.2 Түбірлерді бөлектеу...………………………………………………….10

2.3 Аралықты қақ бөлу әдісі....……………………………………………12

2.4 Хордалар әдісі...………………………………………………………..14

2.5 Жанамалар әдісі ..……………………………………………………...17

2.6 Қосалқы әдісі..…………………………………………………………20

2.7 Біртіндеп жақындау әдісі...…………………………………….……..21

3 Сызықты тендеулер жүйелерін шешу әдістерінің жалпы

cипаттамасы…………………………………………………………..22

3.1 Жүйелерді кері матрица көмегімен шешу. Крамер формуласы…....23

3.2 Гаусс әдісі……………………………………………………………...25

3.3 Басты элементтер әдісі……………………………………………….31

3.4 Гаусс әдісін анықтауыштарды есептеуде қолдану…………………32

3.5 Гаусс әдісімен кері матрицаны есептеу……………………………..34

3.6 Квадрат түбірлер әдісі………………………………………………..36

3.7 Итерация әдісі…………………………………………………………37

3.8 Зейдель әдісі …………………………………………………………..38

4 Фукцияларды жуықтату (интерполяциялау). Интерполяциялық

полиномдар…………………………………………………………….…41

4.1 Жуықтату есебінің қойылуы…………………………………………....41

4.2 Орталық айырымдар кестесі. Гаусс, Стирлинг және Бессель

интерполяциялық формулалары…………………………………………45

4.3 Гаусстің интерполяциялық формулалары……………………………..45

4.4 Стирлингтің интерполяциялық формуласы……………………………47

4.5 Бесселдің интерполяциялық формуласы………………………………48

4.6 Лагранждың интерполяциялық формуласы…………………………....49

5 Анықталған интегралдарды жуықтап есептеу

әдістері............................................ ………………………………………..51

Кіріспе…………………………………………………...............................51

5.1 Сандық интегралдаудың қарапайым формулалары…………………....51

5.1.1 Тіктөртбұрыштар формуласы…………………………….....................51

5.1.2 Трапеция формуласы…………………………………………........…..53

5.1.3 Симпсон формуласы (параболалар формуласы)……………..............54

5.2 Интерполяциялық квадратуралар алдын-ала түйіні берілген

квадратуралық формулалар…………………………………………….......57

5.2.1 Лежандр көпмүшелері және Гаусс формуласы……….......................57

5.2.2 А.А.Марковтың квадратуралық формуласы………………...............64

5.3 Тең коэффициентті квадратуралық формулалар…………………..….76

5.3.1 Түйіндерді табу…………………………………...………......….........76

5.3.2 Тұрақты салмақты функциялы интегралдар. Чебышевтің

квадратуралық формуласы….............................................................……78

6 Жай дифференциалдық теңдеулерді жуықтап шешу………………….82

6.1 Коши есебі. Жалпы қарастыру..……………….…………………….....82

6.2 Анықталмаған коэффициенттер әдісі...………………………………..83

6.3 Жай дифференциалдық теңдеулерді Эйлер әдісімен шешу…………..85

6.4 Бірінші ретті жай дифференциалдық тендеулерді

Рунге-Кутта әдісімен шешу…………………………………………….....89

6.5 Жай дифференциалдық теңдеулер үшін шекті-айырымдар есебі.

Есептің қойылу шарты…………………………………………………....89

6.6 Айырымдық тор және торлық функциялар…………………………....90

6.7 Екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді

шешу үшін шекті-айырымдар әдісі……………………………………...91

6.8 Қуалау әдісі……………………………………………………………...93

6.9 Төртінші ретті жай дифференциалдық теңдеулерді

торлар әдісімен шешу…………………………………………………....98

6.9.1 Балка теңдеулерінің жалпы түрлері………………………………....98

6.9.2 Негізі серпілмелі балканың иілуін есептеу……………...………….100

7 Интегралдық тендеулерді шешу.................................................................108

7.1.1 Квадратуралар әдісі..............................................................................109

Әдебиеттер.......................................................................................................111

Лекция 1. Жуықтап есептеу. Сандардың абсолютті және салыстырмалы қателігі. Қателіктің негізгі түбірі. Дұрыс цифрлар саны. Бір және бірнеше айнымалылары функциясының абсолютті және салыстырмалы қателіктері.Қосындының, айырымның, туындының, дербес көрсеткіштің, түбірдің қателіктері.

1 Қателіктер теориясының бастапқы үғымдары.

1.1 Абсолютті және салыстырмалы қателітер.

Санның жуық мәні деп сол санның дәл мәнінен айырмашылығы өте аз шаманы айтады. Практикада санның дәл мәні белгісіз болғандықтан оның жуық мәні пайдаланылады. Мысалы,өте жиі кездесетін санын алайық. Бұл сан иррационал болғандықтан оның мәні белгісіз( = 3.14159….). Сондықтан есептеулерде санының қажетті жуық мәндері пайдаланылады ( = 3.14159….).

Жуық шаманың қателігі деп оның сәйкес деп шамадан айырмасын айтады. Яғни, а және А арқылы жуық және дәл шамаларды белгілесек, онда қателік былайша анықталады:

a = A – a.

Көп жағдайда қателіктің таңбасы белгісіз болады(өйткені дәл шаманың өзі белгісіз). Сондықтан қателіктің абсолютті мәнін біген ыңғайлы.

Анықтама 1.Қателіктің абсолютті мәнін абсолютті қателік деп атайды. Яғни,

= .

Мысалы, = 3.14 санының абсолютті қателігі = = 0.0059…..

Кейде абсолютті қателік белгісіз болғандықтан оның орнына шектелген абсолютті қателік үғымын пайдаланған ыңғайлы.

Анықтама 2.Абсолютті қателіктен кіші емес кез келген шаманы абсолютті қателік деп атайды.

Сонымен, егер _а – шектелген абсолютті қателік болса, онда

= _а.

Бүдан мынадай тұжырым жасауға болады: санның дәл мәні мына шектерде жатады

а- _а А а + _а, бұл формуланы қысқаша былай жазамыз: А=а _а.

Анықтама 3.Абсолютті қателіктің берілген санның дәл мәнінің модуліне қатнасы салыстырмалы қателік деп аталады. Яғни, - салыстырмалы қателік болса, онда = шектелген салыстырмалы _а шектелген абсолютті қателік сияқты анықталады:

_а, a = _а.

Санның дәлмәні А көп жағдайда белгісіз болғандықтан салыстырмалы қателіктері былай да анықтайды:

= , a = _а.

Шектік абсолюттік қателік сияқты, шектик , қателік анықтамасын енгізейік. Анықтамасының салыстырмалы қателігі оның дұрыс цифрлар санымен тығыз байланысты. Берілген а жуық санының дұрыс цифралар саны осы санның бірінші мәні цифрынан абсолют қателіктің бірінші мәнді цифрына дейінгі аралықтағы цифралардың санына тең. Мәселен а = 120.4726 санының абсолют қателігі a =0.0156 болса, онда а санының 4 дұрыс цифры бар (1, 2, 0, 4). Ал қалған цифрлар күмәнді цифрлар деп аталады.

Жуық санның салыстырмалы қателігі осы дұрыс цифрлардың санымен процент арқылы өрнектеледі. Мәселен а – ның құрамында бір ғана дұрыс цифр болса, онда А санының салыстырмалы қателігі сол саның 10% - іие тең екеу болса –1% - іие, ал үшеу болса 0.1% - іие т.с.с.

Доңгелектеу қателіктері. Доңгелектеу амалы деп жуық санның құрамынан бір немесе бірнеше ондық цифрларды алып тастауды айтады. Ол мынадай ерекше байланысты жүзеге асыралады: егер оң жағында алып тасталынғалы тұрған цифр 5 – тен кіші болса, онда сол цифрдың сол жағындағы көрші цифрдың сан мәні сақталады, а кері жағдайда (яғни 5ке – тең, не 5 – тен үлкен) оның мәні бірге арттырылады. Мәселен 5,3726 5,373 5,37 5,4 5,0.

1.2 Қателіктердің негізгі пайда болу себептері

Математикалық есептеулерде кездесетін қателіктерді бірнеше группаға бөлуге болады. Олардың арасындағы ең бастылары мыналар:

1. Математикалық есептің қойылуына байланысты пайда болатын қателіктер. Әдетте табиғи құбылыстарды математикалық әдістермен зерттеуді оңайлату үшін әртүрлі шарттар қабылдауға мәжбүр боламыз. Осыдан келіп қателіктер пайда болады.

2. Шексіз проценттерге байланысты пайда болатың қателіктер (шектер, қатарлар және т.б.). Шексіз процестерді аяғына дейін орындауға болмайтындықтан қатардың белгілі бір мүшесінде тоқтауға тура келеді.

3. Жуық шамалармен амалдар орындағанда пайда болатын қателіктер.

Ары қарай осы үшінші группаға жататын қателіктерді қарастырамыз.

Теорема 1. Бірнеше жуық шамалардың алгебралық қосындысының абсолютті қателігі осы шамалардың абсолютті қателіктерінің қосындысынан аспайды.

Дәлелдеу: х₁, х₂, ..., х_n – жуық шамалар болсын. Осы шамалардың алгебралық қосындысын қарастырайық

U = х₁ х₂ ... х_n,

онда

U = х₁ х₂ ... х_n.

Яғни, + + ... +

Салдар. 2 – ші анықтама бойынша алгебралық қосындысының абсолютті қателігі ретінде мына шаманы алуға болады

_u = + + ... + .

Теорема 2. Жуық шамалардың көбейтіндісінің қатысты қателігі осы шамалардың қатысы қателіктерінің қосындысынан аспайды.

Яғни, U = х₁ . х₂ . ... . х_n, болса, онда U х₁+ х₂+ ... + х_n

Теорема 3. Жуық шамалардың бөліндісінің қатысты қателіктерінің қосындысынан аспайды. Яғни, u = x/y болса, онда u x + y.

Теорема 4. Егер u = x^k болса, онда u = k x болады.

Теорема 5. Егер u = , болса, онда u = , болады.

1.3 Қателіктің жалпы формуласы

Қателіктер теориясының негізгі мақсаты мынада: берілген жуық шамалардың қателіктері белгілі, осы шамалардың функциясының қателігін табу керек.

Функция u = f(x₁, x₂, …., x_n) берілсін, - аргументтер x_i – тің абсолютті қателіктері болсын. Сонда функцияның абсолютті қателігі

Көп жағдайда x_i - өте кіші шамалар. Олардың көбейтінділерін, квадраттарын және одан да жоғары дәрежелерін есепке алмауға болады. Сондықтан шектелген абсолютті қателік ретінде мына шаманы алуға болады:

u =

Шектелген салыстырмалы қателіктің формуласын былайша жазуға болады:

u = %.

Бақлау сұрақтар мен жаттығулар

1. Абсолют және салыстырмалы қателіктер қалай есептеледі?

2. Сенімді цифрлар қалай есептеледі?

3. Қателікті есепке алу нені білдіреді?

4. Қателіктердің пайда болуының негізгі көздерін атаңыз.

Әдебіеттер

Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. С.17-52.

Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. С.9-21

Лекция 2.Алгебралық және трансценденттік теңдеулерді жуықтап шешу.Есептің қойылу шарты. Түбірлерді айыру. Теңдеудің графикалық шешімі. Жартылай 2-ге бөлу әдісі.

2 Алгебралық және трансцендент тендеулерді жуықтап шешу әдістері

Кіріспе

Бұл жұмыста

f(x)=0

түріндегі теңдеулерді шешудің түрліше сандық әдістері қарастырылады, мұндағы f(x)-кез-келген функция. Кейбір жекелеген жағдайларда ғана көрсетілген теңдеудің «дәлң шешімін анықтауға болады, бірақ, бұл кезде алынатын формулалар әдетте өте көлемді болып келеді, сондықтан оларды қолдану едәуір қиындықтар туғызады. Егер алгебралық немесе трансцендентті теңдеулер айтарлықтай күрделі болса, онда олардың дәл шешімдерін табу өте қиынға соғады. Сонымен қатар, кейбір жағдайларда теңдеулердің тек жуық коэффициенттері белгілі болады, және, сәйкесінше, теңдеудің дәл шешімдері туралы мәселенің маңызы жойылады.

Аталған жағдайларға байланысты қарастырылатын теңдеудің түбірлерін жуықтап табудың әдістері және олардың дәлдік дәрежесін бағалау әдістерінің маңыздылығы арта түседі. Төменде алгебралық және трансцендентті теңдеулерді шешуге арналған келесі сандық әдістер баяндалады: түбірлерді ажырату, теңдей екіге бөлу әдісі, хорда әдісі, жанамалар әдісі (Нъютон әдісі), аралас әдіс және итерация әдісі.

Ұсынылып отырған жұмыс студенттердің, технологтардың және ғылыми қызметкерлердің т.б. жұмысын жеңілдету және уақытты тиімді пайдалану үшін қажет. Осы тақырыптарға байланысты берілген

типтік есептерді шығару үшін технологтар, ғылыми қызметкерлер және студенттер, біріншіден осы әдістердің әрқайсысына программа құруы қажет. Екіншіден осы құрылған программаларды компьютерлерге енгізіп, содан кейін жауабын алады. Бұл көп уақытты алады. Осы жерде мына құрылған комплекс программа арқылы студенттер өзінің теңдеуін берілгендерін енгізіп, қалаған әдіс бойынша теңдеудің жауабын ала алады.

Ұсынып отырған жұмыс бірнеше тақырыптарға бөлінген. Әрбір тақырып есеп шығаруға қажетті негізгі программалар мен блок схемалардан, формулалармен теорияларды баяндаудан басаталады. Одан соң программаларды біріктіріп, кез келген теңдей берілген кезде жауап алынатын программа, соңында мысал, программа, блок схема берілген.

Аталған әдістер үшін FoxPro ортасында алгоритмдер және программалар құрылған.

2.1 Алгебралық және трансцендент теңдеулер.

Бір айнымалысы бар кез келген теңдеуді

(1)

түрінде жазуға болады. Мұндағы функциясы аралығында анықталған және үздіксіз.

Анықтама: =0 теңдігі орындалатын x саны осы теңдеудің түбірі немесе шешімі деп аталады.

Анықтама:Егер (1) теңдеудегі функциясы алгебралық болса, яғни

(2)

онда (1) теңдеуді алгебралық теңдеу деп атаймыз.

Мұндағы – кез келген нақты сандар; n – натурал сандар.

Алгебралық теңдеулерге мысалдар келтіреміз:

x²-5x+6=0; =14;

Көрсетілген мысалдарда екінші және үшінші теңдеулерді қарапайым арифметикалық амалдармен теңдеуге келтіруге болады.

Егер (1) теңдеудегі функциясы алгебралық болмаса, онда (1) теңдеуді трансцендент теңдеу дейміз. Көрсеткішті а^х, логарифмдік log_ax, тригонометриялық (sіnх, cosх, tgх т.с.с.) функциялар транcцендент функцияларға жатады. Трансцендент теңдеулерге мысалдар келтіреміз:

x+5 tgx = 0; 2^x-2cosx = 0; lg(x+1) = tg(x);

(1) теңдеудің түбірі нақты комплекс сан болуы мүмкін. Біз жеке қана нақты түбірлерді анықтаймыз.

Теңдеуді жуықтап шешу екі кезеңнен тұрады:

1. =0 теңдеудің нақты түбірлері бар ма, әлде жоқ па, соны анықтау керек. Егер бар болса нешеу екенін, әрқайсысында тек қана бір нақты түбір болатын интервалдарды анықтаймыз.

2. Әр интервалдағы нақты түбірлерді жуықтап шешу әдісімен берілген дәлдікпен есептеп табамыз.

Төменде жоғары алгебра курсыдағы теңдеулердің кейбір қасиеттерін дәлелдеусіз келтіреміз:

1. Кез келген алгебралық теңдеудің кемінде бір нақты немесе комплекс түбірі болады.

2. Кез келген n-дәрежелі алгебралық теңдеудің түбірлерінің саны n- нен артық болмайды.

3. Кез келген нақты коэфицентті алгебралық теңдеу тек қана жұп комплекс түбірге ие болуы мүмкін.

4. Кез келген тақ дәрежелі алгебралық теңдеу кемінде бір нақты түбірге ие болады.

Теңдеулер бірінші және екінші дәрежелі болса (сызықты және квадрат теңдеулер), онда дайын есептеу формулалары бар, олар бізге мектеп программасынан белгілі. Теңдеулер үшінші және төртінші дәрежелі болғанда да дайын формулалар көмегімен есептеуге болады (Кардано формулалары). Бірақ та бұл формулалар күрделі. Алгебралық теңдеулердің бес және одан көп болған кезде оларды аналитикалық жолмен шешу мүмкін емес (Абель формуласы). Мұндай теңдеулерді тек қана дербес жағдайларда шешуге болады. Сондықтан да сандық әдістерде түбірлерді жуықтап табудың бірнеше әдістері қолданылады. Бұл әдістермен кез келген алгабралық немесе трансцендент теңдеулер берілген дәлдікпен шешіледі.

2.2 Түбірлерді бөлектеу.

Түбірлерді бөлектеу дегеніміз теңдеудің тек қана бір ғана түбірі жататын [а,b] интервалын табу. Бұл интервалда f(х) функциясы монотонды және екі ұшында қарама-қарсы таңбалы мәндер қабылдауға тиіс, яғни f(а)f(b)<0 және f(х), f^’(х) – таңбаларын өзгертпейді. Түбірлерді графикалық және аналитикалық әдістермен бөлектеуге болады.

1. Түбірлерді графикалық әдіспен бөлектеу.

1 – тәсіл. Бұл тәсіл өте қарапайым, былай орындалады. Декарттың координата системасында у= f(х) функция графигін саламыз. Графиктің ОХ осімен қиылысқан нүктелер теңдеудің түбірлері болып табылады.

Мысал: х³ – 3х² + 1=0 теңдеудің түбірлері 1- суретте бөлектелген.

y=x³-3x²+1

x	-1
y	-3		-1	-3

[-1;0], [0;1], [2;3]

Сурет 1

2 – тәсіл. f(х)=0 теңдеуді f₁(х)= f₂(х) түріне келтіреміз. Декарттың координата системасында у= f₁(х) және у= f₂(х) функцияларының графиктерін саламыз. Егер осы қисық сызықтар қиылысатын болса, онда қиылысу нүктелерінен ОХ осіне перпендикуляр жүргіземіз. Перпендикуляр сызықтың ОХ осімен қиылысу нүктесі теңдеудің түбірі болады. 2- суретте жоғарыдағы мысал осы тәсілмен шешіп көрсетілген.

Сурет 2

Теңдеулердің түбірін жуықтап табудың ең қарапайым әдісі ретінде графикалық әдіс есептеледі. Бұл әдіспен теңдеулердің түбірлерін жоғары дәлдікпен табу үшін графиктерді мүмкіншілігі барынша анық және үлкен масштабпен сызу керек. Сонда да графикалық әдіспен түбірлерді жоғары дәлдікпен табу қиын. Өйткені сызбада теңдеудің түбірлерін тек қана шекараланған аралықта іздейміз, яғни қалағанымызша үлкен аралық ала алмаймыз және теңдеудің неше түбірі бар деген сұраққа жауап бере алмаймыз. Сондықтан да түбірлерді жоғары дәлдікпен табу үшін, басқа жуықтау әдістерін қолданамыз. Ал графикалық әдісті түбірлерді бөлектеуде пайдаланамыз.

2. Түбірлерді аналитикалық әдіспен бөлектеу:

=0 теңдеудің түбірлерін аналитикалық әдіспен бөлектеу үшін математикалық анализдің кейбір теоремаларын дәлелдеусіз келтіреміз.

Теорема 1: Егер функциясы аралығында үздіксіз және шеткі нүктелерінде қарама-қарсы таңбалы мәндерге ие болса, онда аралығында f(х) функциясының кемінде бір түбірі жатады.

Теорема 2: Егер функция [а,b] аралығында үздіксіз және монотон болса, аралықтың шеткі нүктелерінде қарама-қарсы таңбалы мәндерге ие болса, онда аралығында =0 теңдеудің тек қана бір түбірі жатады.

Теорема 3: Егер функция аралығында үздіксіз, осы аралықтың шеткі нүктелерінде қарма-қарсы таңбалы мәндерге ие болса және -тың таңбасы өзгермесе, онда аралығында =0 теңдеуінің тек қана бір түбірі жатады.

Теорема 4: Егер функциясы берілген аралықта анықталған және үздіксіз болса, онық монотон функция болуы үшін, осы аралықта ³0 немесе шарттарының бірінің орындалуы қажетті және жеткілікті.

Анықтама: у= функциясы берілген аралықта монотонды деп аталады, егер осы арлыққа тиісті кез-келген х₁<х₂ үшін (монотон өсуші) немесе (монотон кемуші) шарттары орындалса.

Осы айтылғандардан пайдаланып у=х³–3х²+1=0 теңдеуінің түбірлерін бөлектейміз. Ол үшін функцияның туындысын 0-ге теңеп, критикалық нүктелерін табамыз.

Енді әрбір аралықтар үшін у= функцияны және оның туындысын зерттейміз.

X	-	-1
	-	-	+	-	-	+	+
	+	+		-		+	+

]- ;0[ функциясы өседі;

]0;2[ функциясы кемиді ;

]2; [ функциясы өседі.

[-1;0]; [0;1] ; [2;3] аралықтарында у = f(х) функциясының түбірлері жатады.

Түбірлерді есептеу.

теңдеуінің нақты түбірін және жуық түбірін деп белгілейік. Ал e – берілген өте кіші сан болсын.

Анықтама: Егер e шарты орындалса, онда саны теңдеудің e дәлдікпен анықталған жуық түбірі деп аталады. Алғашқы жуықтауларды есептейік. Жуықтап есептеу қадамдарын итерация деп атаймыз.

Анықтама: Әрбір итерациядан кейін есептелген түбір нақты түбірге жуықтайтын болса, онда итерациялық процесс ықшамдалатын, ал жуықтамаса ықшамдалмайтын процесс деп аталады.

Әрбір итерациядан кейін мына шарт тексерілуі тиіс:

(3)

мұндағы х^(і+1) - (і+1) – итерацияда есептелген түбір,

х^(і) - і- итерацияда есептелген түбір.

Бұл шарт итерация процесстің аяқталу шарты деп аталады.

2.3 Аралықты қақ бөлу әдісі.

теңдеудің аралығында бөлектенген болсын, яғни бұл аралықта функциясы үздіксіз және шарт орындалады. d=b-а аралықтың ұзындығы. Теңдеудің түбірін e дәлдікпен табайық. Түбір болғандықтан -ны түбірдің кемімен алынған жуық мәні, ал b-ны түбірдің артықымен алынған жуық мәні дейміз. Теңдеудің түбірі ретінде -мен b-ның арасында жатқан кез-келген санын аламыз. Егер болса, теңдеудің түбірі ретінде а мен b-ны түбірдің артығымен алынған жуық мәні дейміз. Теңдеудің түбірі ретінде a-мен b-ның арасында жатған кез келген ₀ (а £ ₀ £ b) санын аламыз. Егер , болса аралығын қақ бөліп, с= нүктені табайық. Онда берілген аралығымыз ұзындығы -ге тең болатын екі аралыққа бөлінеді. Осы екі аралықтың қайсысында функциясы шеткі нүктелерінде таңбасын өзгертсе, яғни шарты орындалса‚ сол аралықты таңдап аламыз. Егер кесінді ұзындығы болса, онда түбір ретінде немесе аламыз. Ал шарт орындалмаса жоғарыдағы іс-әрекеттерді қайталаймыз. Сонымен аралықты қақ бөлуді (n – бөлулер саны) шарт орындалғанша жалғастырамыз.

Мысал: теңдеуінің аралықтағы түбірін дәлдікпен табайық.

Есептеуді бастаймыз

аралығын таңдап аламыз.

аралығын қарастырамыз.

аралықты аламыз.

Сонымен шарт орындалды. Түбір ретінде аралығында жататын кез-келген санын алуға болады.

Сондықтан мен -ның арифметикалық ортасын аламыз.

Бақлау сұрақтар мен жаттығулар

1. Теңдеу түбірлерін бөлу әдістері?

2. Қақ бөлу әдісінің жинақталу шарты?

3. Түбірлерді бөлуге арналған алгоритмді құру әдістері?

4. Қақ бөлуге арналған алгоритмді құру әдістері?

Әдебіеттер

Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. С.112-119.

Мысовских И.П. Ликции по методам вычислений. С.7 - 71

Лекция 3.Алгебралық және трансценденттік теңдеулерді жуықтап шешу.Есептің қойылу шарты. Түбірлерді айыру. Хорда, жанама, жай итерация және комбинацияланған әдіс

2.4 Хордалар әдісі

Трансцендент және алгебралық теңдеулерді шешуде хордалар әдісі көп қолданылады. Сонымен теңдеуінің түбірі аралығында бөлектенген болсын‚ яғни бұл аралықта функциясы үздіксіз және аралықтың шеткі нүктелерінде қарама-қарсы таңбаларға ие . Теңдеудің түбірін дәлдікпен табайық. Хордалар әдісін қолдануды екі жағдай үшін қарастырамыз.

1 - жағдай: функциясының бірінші және екінші туындыларының таңбалары бірдей‚ яғни болсын. Онда:

өрнектері орынды. Осылардың біреуін а) нұсқасын көріп шығайық.

B(b,f(b))

теңдеудің бастапқы түбірі деп функциясы графигінің ОХ өсімен қиылысу нүктесі х₀ –ді аламыз. Графиктің А және В нүктелерінен түзу сызық (хорда) жүргіземіз. Аналитикалық геометрия курсынан белгілі‚ А және В нүктелерінен өтетін түзу сызық теңдеуі

(4)

формуласымен өрнектеледі.

Жүргізілген хорданың ОХ өсінің қиылысу нүктесі х₁ –ді жуық түбір деп аламыз және оның координатасын анықтаймыз. (4) теңдеуге х=x₁ және y=0 мәндерін қойып‚ х₁ –ді есептейміз‚ яғни

(5)

Егер табылған түбір х₁ (3) – шартты қанағаттандырса‚ онда х₁ –ді - дәлдікпен табылған жуық түбір деп атаймыз. Ал қанақаттандырмаса келесі жуық түбірді аралығында іздейміз. Жоғарыдағы іс-әрекеттерді осы аралықта қайталап‚ - түбірдің координатасын анықтаймыз.

(6)

Егер - түбір де бізді қанағаттандырмаса‚ яғни берілген дәлдік үшін шарт орындалмаса‚ келесі - түбірді есептейміз т.с.с.

(7)

формуламен‚ шарт орындалғанша жалғастырамыз. Осы көрсетілген формула (7) өрнектері үшін де орынды ( b - вариант).

2 - жағдай: функциясының бірінші және екінші туындыларының таңбалары қарама-қарсы‚ яғни .

Онда

өрнектері орынды. Осылардың біреуін көріп шығайық.

теңдеуінің бастапқы түбірі х₀ – деп функциясы графигінің ОХ өсімен қиылысу нүктесін аламыз. А және В нүктелерінен жүргізілген түзу сызық (хорда) теңдеуін жазамыз.

(8)

Хорданың ОХ өсімен қиылысу нүктесі х₁ –ді берілген теңдеудің жуық түбірі деп қабылдаймыз және оның координаталарын анықтаймыз. Ол үшін (8) теңдеуге y=0 және x=x₁ мәндерін қойып‚ х₁ –ді есептеу формуласын табамыз.

(9)

Табылған шешімді жуық түбір деп аламыз. Ал егер х₁ – түбір (3) –шартты қанағаттандырмаса‚ жоғарыдағы іс-әрекеттерді аралық үшін қайталап‚ х₂-ті табамыз.

(10)

Ізделіп жатқан түбір енді аралықта жатады. Егер табылған түбір шартты қанағаттандырмаса‚ есептеуді жалғастырамыз.

Осылайша итерацияны

(11)

формуласымен есептеуді‚ шарт орындалғанша жалғастырамыз. Осы айтылғандар өрнектері үшін де орынды.

Сонымен трансцендент және алгебралық теңдеулерді хорда әдісімен шешу формуласы функциясының бірінші және екінші туындысының таңбаларына байланысты. Егер болса‚ онда жуық түбір (7) формуламен‚ ал болса‚ онда (11) формуламен есептеледі.

Мысал: теңдеуінің аралықтағы түбірін дәлдікпен табайық.

Түбірді

формуламен есептейміз.

Есептеуді төртінші итерацияда тоқтатамыз. жоғарыдағы теңдеудің дәлдікпен табылған түбірі болады.

2.5 Жанамалар әдісі.

Жанамалар әдісін кейде Ньютон әдісі деп те айтуға болады. Сонымен, теңдеуінің түбірі аралығында бөлектенген болсын, яғни осы аралықта функциясы үздіксіз және шарт орындалады. Теңдеудің түбірі - дәлдікпен табайық. Бұл әдісті де екі жағдайда көріп шығамыз.

1-жағдай. функциясының бірінші және екінші туындыларының таңбасы бірдей, яғни . Онда төмендегі өрнектер орынды:

а)

б)

Осылардың біреуін көріп шығайық.

7-ñóðåò

=0 теңдеуінің бастапқы жуық түбірі деп функциясы графигіндегі В нүктесінен өткізілген жанаманың ОХ өсімен қиылысу нүктесіндегі -аламыз. Графиктегі B нүктесінен жүргізілген жанама теңдеуін анықтаймыз

(12)

Осы өрнекте y=0, мәндерін қойып, - ді табамыз.

(13)

Егер табылған түбір (3) шартты қанақаттандырмаса, келесі түбірді аралығында іздейміз. Жоғарыдағы іс-әрекеттерді қайталап -түбірді табамыз

(14)

Егер -түбір де шартты орындамаса, онда келесі -түбірді аралығында іздейміз.

Жалпы алғанда

(15)

формуламен, шарт орындалғанша есептейміз. Сонда ғана табылған түбірді - дәлдікпен табылған теңдеуінің түбірі деп аламыз.

2-жағдай. функциясының бірінші және екінші туындыларының таңбалары қарама-қарсы, яғни . Онда төмендегі шарттар орынды:

а)

б)

Осы өрнектердің біреуін көріп шығайық.

функциясы графигіне А нүктеде жанама жүргіземіз. Жанаманың теңдеуі:

(16)

Осы теңдеуге мәндерін қойып

(17)

өрнегін аламыз.

Егер (3) шарт орындалмаса, аралықтан -ні іздейміз.

(18)

Жалпы алғанда, есептеуді

(19)

формуласымен, шарт орындалғанша жалғастырамыз. Егер (15) және (19) формулаларды салыстырсақ, олар бір-бірінен тек қана бастапқы түбірді таңдауда ғана өзгеше. Сондықтан бастапқы түбірді таңдауда төмендегі ережеге көңіл бөлген жөн, яғни аралықтың шетіндегі нүктеде фу