ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Алгебраїчні критерії стійкості

Поняття стійкості системи

Під стійкістю системи розуміється здатність її повертатися до стану сталої рівноваги після зняття збурення, що порушило цю рівновагу. Нестійка система безперервно віддаляється від рівноважного стану або здійснює навколо нього коливання із зростаючою амплітудою.

Стійкість лінійної системи визначається не характером збурення, а структурою самої системи (рис.61). Говорять, що система стійка "в малому", якщо визначений факт наявності стійкості, але не визначені її межі. Система стійка "у великому", коли визначені межі стійкості і те, що реальні відхилення не виходять за ці межі.

Відповідно до класичного методу розвязок диференціального рівняння записується у вигляді:

Х_вих(t)= Х_{вих вим}(t)+ Х_{вих п} (t).

Тут Х_{вих п} (t) - загальне рішення однорідного диференціального рівняння, тобто рівняння з нульовою правою частиною:

a_n х_вих ⁽ⁿ⁾+ a_n-1 х_вих ^(n-1) + ... + а₁ х_вих + а₍₀₎ х_вих = 0.

Фізично це означає, що всі зовнішні дії зняті і система абсолютно вільна, її рухи визначаються лише власною структурою. Тому розв'язок даного рівняння Х_{вих п} (t) називається (перехідною) вільною складовою загального розв'язку. Х_{вих вим}(t)– частковий розв'язок неоднорідного диференціального рівняння, під яким розуміється рівняння з ненульовою правою частиною. Фізично це означає, що до системи прикладено зовнішню дію u(t). Тому друга складова загального розв'язку називається вимушеною. Вона визначає вимушений усталений режим роботи системи після закінчення перехідного процесу.

Можна провести аналогію між САУ і пружиною, коливання якої описуються диференціальним рівнянням аналогічним (рис.62). Відтягнемо пружину, а потім відпустимо. Пружина коливатиметься відповідно до вільної складової розв'язку рівняння, тобто характер коливань визначатиметься тільки структурою самої пружини. Якщо у момент часу t= 0підвісити до пружини вантаж, то на вільні коливання накладеться зовнішня сила Р. Після загасання коливань, що описуються тільки вільною складовою загального розв'язку, система перейде в новий сталий режим, що характеризується вимушеною складовою Х_{вих вим} = Х_вих(t ). Якщо зовнішня дія сама змінюється за синусоїдальним законом P = P_osin(wt + j), то після загасання перехідного процесу система здійснюватиме вимушені коливання з тією ж частотою, що і зовнішня дія, тобто Х_{вих вим}(t) = Х_{вих вим} _max sin(wt + j).

Кожна складова загального розв'язку рівняння динаміки шукається окремо. Вимушена складова шукається на основі рішення рівняння статики для даної системи для часу t . Вільна (перехідна) складова є сумою з n окремих складових: де s_iкорені характеристичного рівняння D(s)= a_n s ⁽ⁿ⁾+ a_n_-1 s ^(n-1) + ... + s₁ х_вих + s₀ = 0. Корені можуть бути або дійсними s_i = a_i, або попарно комплексно зв'язаними s_i = a_i ± jw_i. Постійні c_iвизначаються виходячи з початкових і кінцевих умов, підставляючи в загальне рішення значення u, уі їх похідні в моменти часу t = 0і t .

Кожному від'ємному дійсному кореню відповідає експоненціально затухаюча в часі складова Х_вих.п(t)_i, кожному позитивному - що експоненціально розходиться, кожному нульовому кореню відповідає
Х_{вих п} (t)_i = const(рис.63). Пара комплексно зв'язаних коренів з від'ємною дійсною частиною визначає затухаючі коливання з частотою w_i, при додатній дійсній частині - коливання, що розходяться, при нульовій - незгасаючі (рис.64).

Оскільки після зняття збурення Х_{вих вим}(t) = 0, то стійкість системи визначається тільки характером вільної складової Х_{вих п}(t). Тому умова стійкості систем за Ляпуновим формулюється так: у стійкій системі вільна складова розв'язку рівняння динаміки, записаному у відхиленнях, повинна прямувати до нуля, тобто загасати.

Виходячи з розташування на комплексній площині корені з від'ємною дійсною частиною називаються лівими, з додатними - правими (рис.65).

Тому умову стійкості лінійної САУ можна сформулювати таким чином: для того, щоб система була стійка, необхідно і достатньо, щоб всі корені її характеристичного рівняння було лівими. Якщо хоч би один корінь правий, то система нестійка. Якщо один з коренів рівний нулю (у системах, де a₀ = 0), а решта лівих, то система знаходиться на межі аперіодичної стійкості. Якщо рівні нулю дійсні частини однієї або декількох пар комплексно зв'язаних коренів, то система знаходиться на межі коливальної стійкості.

Правила, що дозволяють судити про знаки коренів характеристичного рівняння без його рішення, називаються критеріями стійкості. Їх можна розділити на алгебраїчні (засновані на складанні по даному характеристичному рівнянню за певними правилами виразів алгебри, по яких можна судити про стійкість САУ) і частотні (засновані на дослідженні частотних характеристик).

Алгебраїчні критерії стійкості

Необхідна умова стійкості

Характеристичне рівняння системи за допомогою теореми Вієта може бути записано у вигляді

D(s)= a_nsⁿ + a_n-₁s^n-1 + a_n-₂s^n-2 + ... + a₀ = а_n(s-s₁)(s-s₂) ...(s-s_n)= 0

де s₁, s₂, ..., s_n- корені цього рівняння. Якщо система стійка, означає все корені ліві, тобто дійсні частини всіх коренів від'ємні, що можна записати як a_i = -|a_i| < 0. Підставимо їх в рівняння:

a_n (s + |a₁|) (s + |a₂| - j ₂) (s + |a₂| + j ₂) ... = 0.

Перемножуючи комплексно зв'язані вирази, одержимо:

a_n (s + |a₁|) ((s + |a₂|)² + ( ₂)²) ... = 0.

Після розкриття дужок отримаємо вираз

a_n sⁿ + a_n-1 s^n-1 + a_n-2 s^n-2 + ... + a₀ = 0.

Оскільки в дужках немає жодного від'ємного числа, то жоден з коефіцієнтів a₀,a₁,...,a_n не буде від'ємним. Тому необхідною умовою стійкості САУ є додатність всіх коефіцієнтів характеристичного рівняння: a_n > 0,
a_n_-1 > 0, ..., a₀ > 0. Надалі розглядатимемо тільки рівняння, де a_n > 0. Інакше рівняння домножуєтся на -1.

Розглянута умова є необхідною, але не достатньою умовою. Необхідні і достатні умови дають алгебраїчні критерії Рауса і Гурвіця.

Критерій Рауса

Раус запропонував критерій стійкості САУ у вигляді алгоритму, по якому заповнюється спеціальна таблиця з використанням коефіцієнтів характеристичного рівняння.

Для дослідження потрібно мати характеристичне рівняння замкнутої системи.Нехай характеристичне рівняння має вигляд:

a_nsⁿ+ a_n_-1sⁿ^-1+ a_n_-2sⁿ^-2+ …a₁s+a₀ = 0

Складаємо таблицю Рауса.

Якщо нема наступних коефіцієнтів, то заповнюємо визначник нулями.

, , .

Кількість рядків таблиці n+1, де n-показник степеня характеристичного рівняння. Критерій Рауса полягає в наступному:

для стійкості системи потрібно, щоб кожний перший елемент першого стовпчика таблиці був більшим від 0, тобто додатним. Якщо це не виконується, то система нестійка, а кількість правих коренів рівна числу змін знаку в першому стовпці.

Приклад:

a₃s³+a₂s²+a₁s+a₀=0

Для системи 3-го порядку: для стійкості крім необхідної умови потрібно, щоб різниця добутків середніх і крайніх членів була більшою від нуля.

Перевага - критерій простий у використанні незалежно від порядку характеристичного рівняння. Його недолік - мала наочність, важко судити про ступінь стійкості системи, на скільки далеко знаходиться вона від границі стійкості.

Критерій Гурвіця

Гурвіц запропонував інший критерій стійкості. З коефіцієнтів характеристичного рівняння будується визначник Гурвіця згідно алгоритму:

1) по головній діагоналі зліва направо виставляються всі коефіцієнти характеристичного рівняння починаючи від другого коефіцієнту a_n_-1 до a₀;

2) від кожного елементу діагоналі вгору і вниз добудовуються стовпці визначника так, щоб індекси збільшувалися зверху вниз;

3) при відсутності коефіцієнта (на місце коефіцієнтів з індексами менше нуля або більше за n) ставляться нулі.

Критерій Гурвіця:

а) необхідна умова стійкості: всі коефіцієнти характеристичного рівняння замкненої системи повинні бути більшими від нуля (додатними);

б) достатня умова стійкості: для того, щоб САК була стійка, необхідно і достатньо, щоб всі n діагональні мінори визначника Гурвіця були додатними.

;

; …..

Розглянемо приклади застосування критерію Гурвіця:

1) n = 1 => рівняння динаміки: a₁s + a₀ = 0. Визначник Гурвіця:
D= D₁ = a₁ > 0при a₀ > 0, тобто умова стійкості:a₀ > 0; a₁ > 0;

2)n = 2 => рівняння динаміки: a₂s² + a₁s + a₀ = 0. Визначники Гурвіця:
D₁ = a₁ > 0, . Враховуючи це, умова стійкості: a₂ > 0, a₁ > 0, a₀ > 0;

3) n = 3 => рівняння динаміки: a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ = 0. Визначники Гурвіця: D₁ = a₁ > 0 D₂ = a₂a₁ - a₀a₃ > 0; D₃ = a₀D₂ > 0, умова стійкості: a₀ > 0; a₁ > 0; a₂ > 0; a₃ > 0; a₁a₂ - a₀a₃ > 0;

Таким чином при n 2додатність коефіцієнтів характеристичного рівняння є необхідною і достатньою умовою стійкості САУ. При n > 2з'являються додаткові умови.

Критерій Гурвіця застосовують при n 4. При великих порядках зростає число визначників і процес стає трудомістким. Є ряд модифікацій даного критерію, які розширюють його можливості.

Критерію Гурвіця часто використовують для визначення впливу одного з параметрів САУ на її стійкість. Так рівність нулю головного визначника D_n = a₀ _n-1 = 0говорить про те, що система знаходиться на межі стійкості. При цьому або a₀ = 0- при виконанні решти умов система знаходиться на межі аперіодичної стійкості, або передостанній мінор _n-1 = 0- при додатності всіх решти мінорів система знаходиться на межі коливальної стійкості. Параметри САУ визначають значення коефіцієнтів рівняння динаміки, отже зміна будь-якого параметра впливає на значення визначника _n-1. Досліджуючи цей вплив можна знайти, при якому значенні K_i визначник _n-1 стане рівний нулю, а потім - від'ємним (рис.67). Це і буде граничне значення досліджуваного параметра, після якого система стає нестійкою.