ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Струм, напруга, енергія та потужність в електричному колі

12 3

Електричний струм, як фізичне явище, являє собою впорядкований рух електричних зарядів. Під терміном "струм" також розуміють інтенсивність або силу струму, вимірювану кількістю електричного заряду q, що пройшов через поперечний переріз провідника в одиницю часу: i = dq/dt. Отже, струм представляє швидкість зміни заряду в часі. Струм виміряється в амперах (А). Знак струму залежить від напрямку руху зарядів одного знака, а саме, умовно прийнятого позитивного заряду. Обраний позитивний напрямок струму на схемах позначається стрілкою.

Проходження електричного струму в ланцюзі пов'язане з перетворенням або споживанням енергії. Для визначення енергії, затрачуваної на переміщення заряду між двома розглянутими точками провідника, вводиться нова величина - напруга.

Напругою називають кількість енергії, затрачуваної на переміщення одиниці заряду з однієї точки в іншу: u = dw/dt, w - енергія. Напруга виміряється у вольтах (В).

Напруга величина відносна і завжди визначається між двома точками. Напруга між двома точками a і b на схемі позначається через U_ab. Напруга U_ab – позитивна, якщо точка а має більш високий потенціал щодо точки b, і буде негативним, якщо точка а має більше низький потенціал, щодо точки b. При цьому справедливе співвідношення U_ab = -U_ba. Напруга між двома точками а і b визначається як різниця потенціалів у точках а і b:
U_ab = φ_а – φ_b
Потенціал φ - це напруга в точці відносно загальної опорної точки, потенціал, якої умовно приймають рівним 0. У схемах умовною позначкою опорної точки є знак заземлення. Опорною точкою або вузлом можна вибрати будь-яку точку схеми, однак на практиці, опорною точкою (вузлом) вибирають точку, до якої підключається найбільша кількість гілок.

Коли говорять "напруга в точці", мають на увазі, що напруга визначається між цією точкою і опорною точкою (землею). Так, якщо за опорну точку обраний вузол b (φ_b = U_b = 0), то напруга в точці а дорівнює

U_a = U_ab = φ_а – φ_b = U_a – U_b = U_a – 0.
Для однозначного визначення знака напруги між двома виводами розглянутої ділянки кола одному з виводів умовно приписують позитивну полярність, що відзначають або стрілкою, спрямованої від виводу, або знаками “+”, “-” . Потенціал виводу зі знаком “+”, з якого виходить стрілка, вище потенціалу другого виводу.

Перед початком аналізу схеми повинні бути зазначені обрані позитивні полярності напруг - тільки при такій умові можливо однозначне визначення напруг. Хоча умовно позитивну полярність напруги можна вибирати довільно, зручніше вибирати її погодженою з обраним позитивним напрямком струму, коли стрілки для струму і напруги збігаються або знак “+” полярності напруги перебуває у хвості стрілки, що позначає позитивний напрямок струму.

З визначення напруги можна одержати вираз для енергії, витраченої на переміщення заряду q на ділянці кола з напругою U до моменту часу t:

Диференціювання цієї рівності за часом дає вираз швидкості зміни енергії в часі, тобто потужності, що виражається у ватах:

Знак потужності визначається знаками напруги і струму. При збігу знаків напруги і струму потужність позитивна, що відповідає споживанню енергії в розглянутій ділянці кола. При розбіжності знаків напруги і струму потужність негативна, що означає віддачу її з ділянки кола (така ділянка є джерелом енергії).

1.2. Елементи електронних схем
Електронні пристрої являють собою з'єднання різних елементів. Прикладами таких елементів служать резистори, конденсатори, котушки індуктивності, діоди, транзистори та багато інших. Всі ці елементи характеризуються певною залежністю між струмом і напругою. Ця залежність часто може бути представлена вольт-амперною характеристикою u(i) (або i(u)), тобто залежністю напруги від струму, який протікає через елемент. Однак у загальному випадку аргументом напруги може служити не тільки струм, але також і інтеграл від струму за часом, похідні за часом та ін.

Резистори.Резистори являють собою один з найпоширеніших елементів електронних схем. Виготовляються резистори із провідного матеріалу (графіту, тонкої металевої або графітової плівки або проводу), який має невисоку провідність.

Напруга на резисторі прямо пропорційна величині струму (рис.1.1)

U = R·I.
Коефіцієнт пропорційності між напругою і струмом являє собою опір резистора R=U/I. Опір R виміряється в омах. Ця формула виражає закон Ома. Резистори характеризуються також припустимим відхиленням величини опору від номінальних величин у відсотках, номінальним значенням потужності розсіювання, температурним коефіцієнтом опору (ТКО), що характеризує зміну опору резистора при зміні температури та ін. Більш докладно ознайомитися з резисторами можна в додатку А.

При послідовному з'єднанні резисторів загальний опір дорівнює сумі опорів резисторів: R = R₁+R₂+R₃…...

При паралельному з'єднанні резисторів загальний опір обчислюється формулою
1/R = 1/R₁+1/R₂+1/R₃…...
При паралельному з'єднанні резисторів одержуємо опір менший найменшого опору із з'єднаних резисторів.

Потужність, що розсіюється резистором або будь-яким іншим елементом, визначається як P = U · I. Користуючись законом Ома, потужність, яка розсіюється резистором можна записати у вигляді:

P = I²·R або P = U² / R.
Конденсатори.Конденсатори, як і резистори, широко використовуються в електронних пристроях. В ідеальному випадку залежність струму конденсатора від напруги на ньому описується виразом

I = C(dU/dt).

Таким чином, струм конденсатора пропорційний не просто напрузі, а швидкості зміни напруги. Коефіцієнт пропорційності С - це ємність конденсатора, що виміряється у фарадах (Ф). Ємність завбільшки 1 Ф дуже велика, тому на практиці мають справи з мікрофарадами (мкФ), нанофарадами (нф), пікофарадами (пФ). Ємність С визначає здатність конденсатора накопичувати заряд. Це видно з наступної властивості конденсатора:
Q = C·U.
Це означає, що конденсатор, що має ємність С фарад, до якого прикладена напруга U вольт, накопичує заряд Q кулон. Очевидно, що чим більше ємність конденсатора, тим більший заряд він може накопичити при однаковій напрузі.

Електричні характеристики конденсаторів залежать від типу діелектрика між його обкладками. Велике поширення одержали наступні типи конденсаторів:

·
керамічні, склоемальовані, слюдяні із твердим неорганічним діелектриком;

·
паперові, металопаперові, фторопластові із твердим органічним діелектриком;

·
електролітичні, оксидно-напівпровідникові, оксидно-металеві з оксидним діелектриком.

Основними параметрами конденсатора є:

1.
Номінальне значення ємності.

2.
Допустиме відхилення дійсної ємності від номінального значення (в %).

3.
Струм витоку - струм між обкладками конденсатора при постійній напрузі ( в основному для оксидних конденсаторів).

4.
Опір ізоляції або постійна часу саморозряду.

5.
Температурний коефіцієнт ємності ТКЄ, що показує зміну величини ємності залежно від температури.

6.
Номінальна напруга.

Більш докладніше з характеристиками конденсаторів можна познайомитися в додатку Б.

Ємність паралельно з'єднаних конденсаторів дорівнює сумі ємностей, тобто

С = С₁+ С₂ + С₃+ … ...
Для послідовного з'єднання ємностей маємо такий же вираз, що й для паралельного з'єднання резисторів:

1/C = 1/C₁+1/C₂+1/C₃ + … ...

Індуктивності.Хорошим приближенням індуктивного елемента або просто індуктивності є котушка індуктивності. В ідеальному індуктивному елементі напруга на індуктивності прямо пропорційно швидкості зміни струму

U = L(dI/dt),

де L - коефіцієнт пропорційності між напругою і швидкістю зміни струму, який називається коефіцієнтом самоіндукції або індуктивністю. Індуктивність виміряється в генрі (Гн). Зверніть увагу, що індуктивністю називають елемент і коефіцієнт самоіндукції.

Індуктивність (елемент) має властивості, протилежні властивостям конденсатора. Так постійна напруга, прикладена до індуктивності, викликає наростання струму, що протікає через нього, причому зміна струму відбувається за лінійним законом. Якщо ж пропустити постійний струм через конденсатор, то це призведе до наростання напруги за лінійним законом.

Котушки індуктивності, як правило, мають циліндричну або спіральну форму витків і виконуються як одношаровими, так і багатошаровими. Для збільшення значень індуктивності застосовують магнітопроводи. Матеріалом магнітопроводу найчастіше служить залізо або ферит. Магнітопровід може бути виготовлений у вигляді стрижня, тора, або броньового сердечники. Зміна індуктивності котушки здійснюється за допомогою зміни параметрів магнітопроводу шляхом переміщення рухомого сердечника.

Індуктивності, головним чином, використовуються у вибіркових колах, фільтрах електричних сигналів. Один з різновидів котушок індуктивностей зветься дросель. Їхнє основне призначення - забезпечити великий опір для змінних струмів і малий для постійних або низькочастотних струмів.

1.3. Динамічний опір
Б агато елементів електроніки мають нелінійні вольт-амперні характеристики. У цьому випадку струм не пропорційний напрузі. І тут нема рації говорити про опір, тому що відношення U/I не є постійною величиною, незалежною від U, а навпаки залежить від U. Для таких елементів з нелінійною вольт-амперною характеристикою, вводять поняття динамічного або диференціального опору. Нехай нелінійна вольт-амперна характеристика задана кривою, показаною на рис.1.2. Виберемо на цій кривій деяку точку А. Ця точка визначається постійними значеннями напруги U_А і струму I_А. Проведемо дотичну до точки А. При малих відхиленнях струмів і напруг щодо точки А дотична добре апроксимує криву вольт-амперної характеристики. Значить, в межах точки А нелінійну криву вольт-амперної характеристики можна замінити лінійною характеристикою, тобто дотичною. У якості змінних тут розглядаються зміни (збільшення) струмів і напруг щодо точки А. Це рівнозначно перенесенню початку координат у точку А. Тоді для змін напруг і струмів можна ввести поняття динамічного або диференціального опору як відношення збільшення (зміни) напруги до збільшення (зміни) струму

r = ∆U/∆I.

Динамічний опір ще називають опором змінному струму. Динамічний опір, як і звичайний опір, виміряється в омах.

Особливість динамічного опору полягає в тому, що він визначається для збільшення напруг і струмів в межах деякої точки вольт-амперної характеристики. Ця точка на вольт-амперній характеристиці визначає режим роботи елемента при постійному струмі, тобто постійних значеннях напруги U_А і струму I_А. Динамічний опір залежить від обраної точки на вольт-амперній характеристиці, тому що нахил дотичної в кожній точці кривої різний.

Дуже часто для побудови лінійних електронних пристроїв використовуються нелінійні елементи (елементи з нелінійної вольт-амперною характеристикою). У цьому випадку нелінійну характеристику в межах деякої точки заміняють лінійною - дотичною до цієї точки. У якості змінних розглядаються не повні значення струмів і напруг, а їх зміни в межах цієї точки. Чим менше відхилення струмів і напруг щодо їх постійних значень, тим більше дотична наближається до кривої вольт-амперної характеристики. Залежність зміни струму від напруги в цьому випадку можна вважати лінійної і визначається динамічним опором r:

∆U =∆I× r; ∆I = ∆U/r.

1.4. Джерела струму і напруги
Під джерелом розуміють елемент, що живить коло електромагнітною енергією. Ця енергія споживається пасивними елементами кола - запасається в індуктивностях і ємностях і витрачається в активному опорі. Прикладами реальних джерел електромагнітної енергії можуть служити генератори постійних, синусоїдальних і імпульсних сигналів різноманітної форми, сигнали, одержувані від різних датчиків, антен радіоприймальних пристроїв, джерела живлення, сигнали, що надходять із виходів електронних пристроїв і т.д.

Для аналізу кіл зручно вводити ідеалізовані джерела двох видів: джерело напруги і джерело струму, які враховують головні властивості реальних джерел. При відповідному доповненні ідеалізованих джерел пасивними елементами можна передати всі властивості реальних джерел стосовно їхніх зовнішніх виводів.

Д
а) б)

Рис.1.3 Ідеальне джерело напруги

жерелонапруги. Під джерелом напруги розуміють такий елемент із двома виводами (полюсами), напруга між якими задана у вигляді деякої функції часу незалежно від струму, що віддається в зовнішнє коло. Незалежність напруги від струму відповідає вольт-амперній характеристиці, представленій на рис.1.3а. Таке ідеалізоване джерело здатне віддавати необмежену потужність. Найбільш часто застосовуються умовні графічні зображення джерела напруги, які показані на рис.1.3б, де прийнята позитивна полярність напруги джерела вказується або стрілкою всередині кружечка, або знаками “+”, “-”.

І

Рис.1.4 Реальне джерело напруги

Реальні джерела сигналу мають внутрішні опори. До джерела напруги внутрішній опір підключається послідовно. На рис.1.4 показані вольт-амперна характеристика і схема реального джерела напруги. Для реального джерела вихідна напруга дорівнює

U_н = U₀ – U_R_вн = U₀ – I_н R_вн.

З формули видно, що вихідна напруга реального джерела струму залежить від струму навантаження I_н. Чим більше струм навантаження, тим більше падає напруга на внутрішньому опорі джерела, і менша частина напруги U₀ надходить на навантаження (на вихід). З іншого боку, чим більше внутрішній опір R_вн при незмінному струмі навантаження, тим більше падає на ньому напруга, що веде до зменшення напруги на виході джерела. Стосовно до електронних схем внутрішній опір джерела часто називають вихідним опором.

У випадку ідеального джерела напруги, його внутрішній опір дорівнює 0 і напруга на навантаженні не залежить від струму навантаження. При цьому струм навантаження може зростати нескінченно, якщо опір навантаження буде прагнути до 0. У дійсності неможливо побудувати ідеальне джерело напруги у всьому діапазоні зміни вихідного струму. Однак, у багатьох випадках, для обмеженого діапазону зміни вихідного струму деякі джерела можна розглядати як ідеальні. Наприклад, джерело живлення в діапазоні робочих струмів має дуже малий внутрішній опір, яким можна зневажити, у порівнянні з опором навантаження. Або інший приклад, вихідний опір операційного підсилювача, охопленого негативним зворотним зв'язком, може досягати декількох сотих часток Ома. Таким внутрішнім опором можна зневажити і розглядати вихід операційного підсилювача як ідеальне джерело напруги в діапазоні припустимих вихідних струмів.

Д
Рис.1.5 Ідеальне джерело струму
жерело струму. Під ідеальним джерелом струму розуміють такий елемент кола, через виводи якого протікає струм із заданим законом зміни в часі незалежно від напруги між виводами. Вольт-амперна характеристика і умовні графічні зображення ідеального джерела струму показані на рис.1.5. Незалежність струму від напруги означає, що внутрішня провідність джерела, куди може відгалужуватися струм, дорівнює 0, а внутрішній опір дорівнює нескінченності. Вольт-амперна характеристика і схема реального джерела струму показані на рис.1.6. При збільшенні напруги на навантаженні за рахунок збільшення опору навантаження збільшується внутрішній струм джерела струму. При цьому менша частина струму I₀ надходить у навантаження. Вихідний струм I_н буде дорівнювати

I _н = I₀ – I_вн = I₀ – U_н / R_вн.

З
Рис.1.6. Реальне джерело струму
формули видно, що чим більше внутрішній опір джерела струму, тим менше внутрішній струм I_вн і більша частина струму I₀ віддається в навантаження. У межі при R_вн = ∞ весь струм I₀ віддається в навантаження, і струм навантаження не буде залежати від напруги на навантаженні. У цьому випадку маємо справу з ідеальним джерелом струму. Отже, в ідеальному джерелі струму внутрішній опір дорівнює нескінченності. В ідеальному джерелі струму при нескінченній величині опору навантаження (обрив кола навантаження) на його виводах буде напруга нескінченної величини. Це звичайно ідеалізація - не можна побудувати джерело струму, в якого величина внутрішнього опору рівна нескінченності. Однак на практиці використовуються джерела струму, побудовані на транзисторах, із внутрішнім опором, що досягає величин багатьох мОм, що працюють в обмеженому діапазоні вихідних напруг. Такі джерела струму широко використовуються в схемах диференціальних і операційних підсилювачів, при побудові цифро-аналогових перетворювачів, при передачі сигналів по струмовій петлі та ін.

Реальні джерела напруги і токи еквівалентні. Це означає, що відносно своїх виводів схеми поводяться однаковим чином, тобто при аналізі схеми одне і теж джерело можна розглядати як реальне джерело напруги або реальне джерело струму. Умови еквівалентності можна одержати з виразу для напруги реального джерела напруги

U_н = U₀ – I_н R_вн.
Розділимо праву й ліву частини рівняння на R_вн, одержимо:
U_н /R_вн = U₀ /R_вн – I_н .
Введемо позначення U₀ /R_вн = I₀ = const; U₀ /R_вн = I_вн і запишемо рівняння в наступному вигляді

I_вн = I₀ - I_н або I₀ = I_вн + I_н.

Причому на опорах R_вн і R_н падає таж сама напруга U_н, тобто вони з'єднані паралельно
I₀ = U_н /R_вн + U_н /R_н .
Звідси приходимо до схеми реального джерела струму, показаного на рис.1.6.

Раз схеми реальних джерел напруги і струму еквівалентні, то виникає питання, коли використовувати при аналізі схеми те або інше джерело? Відповідь проста. Використовуйте той тип джерела, при якому простіше аналізувати роботу схеми. На практиці часто використовують такий спосіб. Якщо внутрішній опір джерела набагато менше опору навантаження, то таке джерело доцільно розглядати як джерело напруги. І в першому наближенні величиною внутрішнього опору можна зневажити. Якщо внутрішній опір набагато більше опору навантаження, то таке джерело розглядають як джерело струму. І при первісному аналізі вважають його ідеальним. При більш детальному аналізі схеми враховують неідеальність джерела струму.

1.5. Подільник напруги
Схема подільника напруги показана на рис.1.7,а. Подільник напруги дуже часто зустрічається в різних схемах. Знайдемо U_вих схеми:
U_вих = I ·R₂ = Uвх₂ / (R₁+R₂).

Рис.1.7. Подільник напруги

Схема так названа, тому що вхідна напруга ділиться між напругами на резисторах пропорційно їхнім величинам. Дійсно, так як через резистори протікає один і той же струм, одержимо

I = U_R1/R₁= U_R2/R₂, тобто U_R1/U_R2 = U₁/U₂.

Подільник напруги часто використовується для одержання напруги потрібної величини із більшої напруги. Нехай U_вх = 15В, R₁ = 2 кОм, а R₂ = 1 кОм. Знайдемо вихідну напругу U_вих. Підставляючи у формулу для вихідної напруги подільника значення вхідної напруги і резисторів одержимо результат U_вих = 5В. У такий спосіб ми з напруги 15В одержали напругу на виході подільника, рівну 5В. Підбираючи величини опорів можна одержати на виході будь-яку напругу нижче 15В. Вихід подільника напруги можна використовувати як джерело напруги. Але, що відбудеться з вихідною напругою, якщо до виходу підключити опір навантаження, наприклад 1 кОм? З огляду на те, що паралельно опору R₂ підключено опір навантаження R_н такої ж величини, то еквівалентний опір буде дорівнювати 0,5 кОм. Скориставшись формулою для вихідної напруги подільника одержимо U_вих = 3В. Напруга зменшилась. Виходить, подільник напруги ми не можемо використовувати як ідеальне джерело струму, тому що величина вихідної напруги залежить від вихідного струму. Отже, подільник напруги варто розглядати як реальне джерело напруги. Правочинність заміни схеми подільника напруги схемою реального джерела напруги дає теорема про еквівалентний генератор.
1.6. Теорема про еквівалентний генератор
Відповідно до теореми про еквівалентний генератор будь-яку лінійну схему щодо двох її виводів можна замінити еквівалентним генератором, величина джерела напруги якого дорівнює напрузі холостого ходу на виводах виділеної гілки, а внутрішній опір дорівнює вхідному опору двополюсника.

Еквівалентний генератор –це не що інше, як реальне джерело напруги. Внутрішній опір генератора також розраховується по формулі

R_вн = U_хх/I_кз,
д е U_хх - напруга холостого ходу на виводах схеми (напруга на виході без навантаження), I_кз – струм короткого замикання виводів схеми.

Для схеми, що складається з резисторів, джерел напруги і струмів внутрішній опір знаходять як опір між виводами схеми при рівності нулю напруг і струмів всіх джерел, тобто в схемі джерела напруги замикаються, а джерела струму розмикаються.

Замінимо схему подільника напруги, представлену на рис.1.7,а еквівалентним генератором і визначимо напругу на виході схеми з навантаженням (рис.1.8).

U_екв = U₀ = UвхR₂ / (R₁+R₂) =15В× 1 кОм /(2кОм +1кОм) = 5В.

Внутрішній опір генератора дорівнює паралельному з'єднанню R₁ і R₂
R_вн = R1×R2 / (R₁+R₂) = 0,667 кОм.

Напруга на виході схеми на рис.1.8 являє собою напругу на виході подільника напруги R_вн R_н і дорівнює U_вих = U₀R_н / (R_вн+R_н) = 5В 1кОм/(0,667кОм + 1 кОм) = 3 В. Ми одержали той же самий результат, що й при розрахунку схеми на рис.1.7,б.

Подання складного кола з незмінними параметрами у вигляді еквівалентного генератора (реальним джерелом напруги) часто дозволяє спростити аналіз схеми.
1.7. Контрольні питання

1.
Дайте визначення електричному струму, напрузі, потужності.

2.
Як позначається напруга на схемах?

3.
Як виміряти напругу? Що мається на увазі, коли говорять "напруга в точці".

4.
Яка залежність струму від напруги резистора, ємності та індуктивності?

5.
Сформулюйте закон Ома.

6.
Чому дорівнює загальний опір при послідовному та паралельному включенні резисторів?

7.
Чому дорівнює загальна ємність при послідовному та паралельному включенні конденсаторів?

8.
Приведіть основні параметри резистора, конденсатора.

9.
Як визначити потужність, що розсіюється на конденсаторі?

10.
Що таке динамічній опір. Чим він відрізняється від звичайного?

11.
Дайте визначення ідеальним джерелам струму і напруги.

12.
Приведіть схеми реальних джерел струму і напруги. Чому рівні значення струму і напруги на виході реальних джерел струму і напруги?

13.
Як перейти від реального джерела напруги до реального джерела струму?

14.
Нарисуйте схему подільника напруг. Чому дорівнює напруга на виході подільника напруг?

15.
Сформулюйте теорему про еквівалентний генератор. Як перетворити схему на основі теореми про еквівалентний перетворювач?

2. СИГНАЛИ. ПАСИВНІ ФІЛЬТРИ

Сигнали

В електроніці під сигналом розуміють залежність напруги або струму від часу. Таким чином, сигнал - це функція від часу. При аналізі електронних пристроїв розглядають проходження тестових сигналів з входу на вихід. При цьому можуть використовуватися різні типи тестових сигналів: скачок напруги, імпульсний сигнал, послідовність імпульсів, експонентний, синусоїдальний і ін. Для дослідження лінійних пристроїв, до яких відносяться підсилювачі електричних сигналів, зручно використовувати синусоїдальний вхідний тестовий сигнал. Синусоїдальний сигнал на відміну від інших сигналів володіє такою властивістю, що при проходженні через лінійне коло не змінює свій вид, залишається синусоїдою. Змінюється тільки амплітуда й початкова фаза сигналу.

Рис.2.1 - Синусоїдальний сигнал
Розглянемо більш докладно синусоїдальний сигнал і проходження його через лінійне електричне коло. Математичне вираження синусоїдального сигналу має вигляд

u = A sin (2πft +φ),

де A - амплітуда сигналу, у цьому випадку виміряється у вольтах, f - частота сигналу, виміряється в герцах і φ - початкова фаза, виміряється в радіанах. На рис.2.1 показана синусоїдальна напруга. Параметри цього сигналу наступні. Амплітуда А = 2 В, частота - це величина зворотна періоду коливань і дорівнює f = 1 / T = 1/1,003 Мс ≈ 1 кГц.

Частота показує, яка кількість періодів коливань утримується в 1 секунді. Можна також використовувати поняття кругової частоти, що дорівнює ω = 2πf. Вираз для синусоїдального сигналу запишеться в більш компактній формі

u = A sin (ωt +φ).
Кругова частота показує, яка кількість періодів коливань утримується в числі 2π і виміряється в радіанах в 1 секунду. В нашому випадку кругова частота дорівнює ω = 2πf = 6,28·10^-3 радіан в секунду. Начальна фаза φ = ωt_ф = 2πft_ф, де t_ф вимірюється від 0 до точки перетину синусоїдою значення 0. Величина t_ф = 0,123 мС і показана на слайдері лівого вертикального курсора. Начальна фаза або просто фаза буде дорівнювати:

φ = ωt_ф = 2πft_ф = 6,28·1000 Гц·0,123 мС = 0,77 рад/с.

Іноді використовують поняття розмах сигналу або подвійна амплітуда (значення від піка до піка сигналу), що дорівнює подвоєній амплітуді. Вживають також поняття ефективне значення . Саме ефективне значення синусоїдальної напруги або струму виміряється відповідно вольтметром і амперметром.

Кола синусоїдального струму та напруги зручно розраховувати за допомогою комплексних величин. Для цього напруга Ucos (ωt +φ) заміняється величиною Ue^jφ, що називається комплексною амплітудою. Комплексна амплітуда містить повну інформацію про синусоїдальний сигнал: значення амплітуди і фази. При проходженні синусоїдального сигналу через лінійний ланцюг частота сигналу не міняється і вважається відомою.

В комплексній області можна ввести поняття комплексного опору

,

де . Завдяки комплексному опору конденсатор і індуктивність можна розглядати як комплексні опори. Для конденсатора комплексний опір дорівнює:

Z_c = 1 / jωC = -j1 / ωC = -jX_c

де Х_с – ємнісний опір.

Для індуктивності комплексний опір дорівнює Z_L = jωL = jX_L (Х_L – індуктивний опір). Ємнісний і індуктивний опори залежать від частоти сигналу. Це пояснює залежність параметрів електронних пристроїв від частоти вхідного сигналу.

Введення поняття комплексного опору дозволяє використовувати закони і методи розрахунку електричних кіл постійного струму для аналізу ланцюгів синусоїдального струму, що містять реактивні елементи: індуктивності і ємності. При розрахунку використовуються комплексні величини.

2.2. Частотні характеристики.
П
Лінійне

коло
ри проходженні синусоїдального сигналу через лінійний ланцюг змінюються амплітуда і фаза сигналу. Причому ці зміни залежать від частоти вхідного сигналу. На рис.2.2 показано як синусоїдальний сигнал проходить через лінійне коло. Властивість лінійного кола перетворювати вхідний синусоїдальний сигнал залежно від частоти описується частотними характеристиками.

Розрізняють дві частотні характеристики:

- амплітудно-частотна характеристика (АЧХ);

- фазо-частотна характеристика (ФЧХ).

Амплітудно-частотна характеристика визначається як відношення амплітуди вихідного сигналу до амплітуди вихідного сигналу

А(ω) =А_вих/ A_вх.

АЧХ по суті являє собою залежність коефіцієнта підсилення (передачі) ланцюга залежно від частоти вхідного сигналу

Фазо-частотна характеристика дорівнює різниці фази вихідного і вхідного сигналів

φ(ω) = φ_вих – φ_вх.

Знаючи частотні характеристики, ми завжди можемо відповістити на запитання - чому дорівнює вихідний сигнал, якщо відомий вхідний синусоїдальний сигнал? Невідомими величинами вихідного сигналу є амплітуда і фаза, які можна знайти з виразів

А_вих = A_вх·А(ω) и φ_вих = φ(ω) + φ_вх.

Для знаходження частотних характеристик використовують метод комплексних амплітуд.

Перейдемо до комплексних амплітуд. Нехай на вході діє сигнал , а на виході . Знайдемо комплексний коефіцієнт передачі (посилення) кола як відношення комплексних амплітуд вихідного і вхідного сигналів

З отриманого виразу видно, що комплексний коефіцієнт передачі містить повну інформацію про частотні властивості кола. Модуль комплексного коефіцієнта передачі являє собою амплітудно-частотну функцію (характеристику), а аргумент - фазо-частотну функцію (характеристику). Комплексний коефіцієнт передачі знаходять методом комплексних амплітуд, що добре відомий з курсу ТОЕ.

2.3. Найпростіші електричні фільтри

Електричні фільтри - це пристрої, які пропускають на вихід сигнали одних частот і не пропускають сигнали інших частот. По виду АЧХ фільтри розділяються на фільтри нижніх частот (НЧ), верхніх частот (ВЧ), смугові фільтри (СЧ) і ін.

Ф
Рис.2.3 - Фільтр нижніх частот
ільтри нижніх частот (НЧ).Фільтр нижніх частот без зміни передає сигнал нижніх частот, включаючи і нульову частоту (постійний сигнал), а на високих частотах забезпечує загасання сигналів. На рис.2.3,а зображена схема простого фільтра НЧ. Опір ємності С залежить від частоти вхідного сигналу та дорівнює Х_С = 1 / ωC . Ємність С разом з резистором R утворюють подільник напруги. Для частоти ω = 0 опір ємності дорівнює нескінченності. І весь сигнал із входу схеми надходить на вихід. Зі збільшенням частоти опір ємності зменшується, і все більша його частина буде замикатися на землю. І в межі, коли ω = ∞, опір ємності буде дорівнювати 0, напруга на виході також буде дорівнювати 0. Таким чином, схема має властивості фільтра НЧ.

Для розрахунку частотної характеристики схеми скористаємося методом комплексних амплітуд. За схемою рис.2.3,б, використовуючи формулу для подільника напруги, знайдемо вихідний сигнал

Звідси знайдемо комплексний коефіцієнт передачі

де Т = RC - постійна часу RC - кола.

АЧХ являє собою модуль комплексного коефіцієнта передачі

,

а ФЧХ аргумент комплексного коефіцієнта передачі .

На рис.2.4 показані частотні характеристики фільтра НЧ для R = 1 кОм, і С = 1 мкФ.

Рис.2.4 - Частотні характеристики фільтра НЧ

На АЧХ фільтра можна виділити три області частот: смугу пропущення, перехідну область і смугу придушення сигналу. У смузі пропущення допускається зниження коефіцієнта передачі в раз. На АЧХ рис.2.4 таке зменшення коефіцієнта передачі відбувається на частоті 158,489 ≈ 159 Гц. Частота, на якій коефіцієнт передачі зменшується в раз, називається частотою зрізу. Частота зрізу розділяє область пропущення фільтра від перехідної області. Смуга пропущення фільтра НЧ лежить від 0 Гц до частоти зрізу f_c. Частота зрізу RC - фільтра НЧ дорівнює f_c = 1/2πRC або кругова частота зрізу ω_с = 1/RC = 1 / T. У цьому легко переконатися, якщо у формулі АЧХ фільтра замість ω підставити ω_с = 1/RC, то одержимо . Це означає, що на частоті ω_с = 1/RC, коефіцієнт передачі зменшився в раз.

Частота, що розділяє перехідну область фільтра від смуги придушення сигналу, не нормується. Вона визначається залежно від вимог, пропонованих до АЧХ фільтра в конкретному застосуванні. Для порівняння різних фільтрів ця частота іноді визначається на рівні 0,01 від коефіцієнта передачі на нульовій частоті.

Звичайно АЧХ необхідно аналізувати в широкому діапазоні частот. Наприклад, для операційного підсилювача широкого застосування від одиниць Гц до десятків мГц. У цьому випадку зручно вісь частот представляти в логарифмічному масштабі lgf або lgω, як показано на графіку рис.2.4. Коефіцієнт передачі при цьому виміряється у звичайному лінійному масштабі. Однак, якщо коефіцієнт передачі (посилення) змінюється в дуже широких межах, як наприклад, в операційному підсилювачі, то його зручно виражати в логарифмічному масштабі:

L(ω) = 20lg A.

Одиниці виміру - децибели (дБ), десята частина бела. Залежність коефіцієнта підсилення від частоти вхідного сигналу в логарифмічному масштабі називається логарифмічною амплітудно-частотною характеристикою (ЛАЧХ).

Що собою представляє одиниця виміру бел і чому коефіцієнт перед логарифмом дорівнює 20, а не 10 як варто було б очікувати. Одиниця виміру 1 бел відповідає відношенню потужностей в 10 разів:

1 Б = P₂ / P₁ = 10.

Тому що 1 Б - це дуже велика величина, то на практиці використовують більш дрібні величини децибели (в одному белі вміщується 10 дБ). Тому в коефіцієнті підсилення по потужності коефіцієнт пропорційності дорівнює 10:

L_p = 10 lg P₂ / P₁.

Але у нас коефіцієнт підсилення, це відношення амплітуд струмів або напруг. А для струмів і напруг потужність пропорційна квадрату струмів або напруг

P = UI = U²/R = I²R.

При відношенні амплітуд в 10 разів потужність збільшується в 100 разів, тобто на 2 бела або на 20 децибел:

U₂/U₁ = 10, P₂/P₁ = (U₂/U₁)² = (10)² = 100.
Тому у формулі для логарифмічного коефіцієнта підсилення з'явився множник 20 , а не 10.

Рис.2.5 - Логарифмічні частотні характеристики RC

Логарифмічні одиниці зручні ще тим, що якщо відомі коефіцієнти підсилення окремих каскадів або вузлів підсилювача і загальний коефіцієнт підсилення дорівнює добутку цих коефіцієнтів, то в логарифмічному масштабі коефіцієнт підсилення знаходять як алгебраїчну суму логарифмічних коефіцієнтів підсилення окремих каскадів.

На рис.2.5 представлена ЛАЧХ RC фільтра НЧ.

Частота зрізу фільтра визначається на рівні -3 дБ від максимального значення коефіцієнта підсилення в смузі пропущення. Це видно з показань слайдера правого курсору. Величина – 3 дБ у логарифмічному масштабі відповідає коефіцієнту підсилення в лінійному масштабі, тобто L = 20lg 0,707 = -3 дБ. З ЛАЧХ добре видно як придушується сигнал на високих частотах. Так на частоті 10 кГц логарифмічний коефіцієнт підсилення майже дорівнює - 40 дБ, що відповідає значенню 0,01 у лінійному масштабі. Спробуйте визначити коефіцієнт підсилення на цій частоті по АЧХ на рис.2.4.

Фазочастотні характеристики в обох випадках будуються в лінійному масштабі. З фазочастотних характеристик видно, що найбільша зміна фази відбувається на частоті зрізу фільтра.

Фільтри верхніх частот (ВЧ).Фільтр верхніх частот без зміни передає сигнал верхніх частот, а на низьких частотах забезпечує загасання сигналів. Схема простого RC фільтра верхніх частот представлена на рис.2.6. Аналогічно, як і для фільтра нижніх частот знайдемо вихідний сигнал

.

З
Рис.2.6 - Фільтр верхніх частот

відси знайдемо комплексний коефіцієнт передачі

,

де Т = RC - постійна часу RC - кола.

АЧХ являє собою модуль комплексного коефіцієнта передачі ,

а
Рис.2.7 - Частотні характеристики фільтра верхніх частот

ФЧХ аргумент комплексного коефіцієнта передачі .

На рис.2.7. показані частотні характеристики фільтра ВЧ ( R = 1 кОм, і С = 1 мкФ) у логарифмічному масштабі.

Частота зрізу фільтра ВЧ визначається так само як і для фільтра НЧ і дорівнює с = 1/RC= = 1 / T або f_act.= 1/2πRC = 1/(6,28 · 1 кОм · 1 мкФ) = 159 Гц. На графіку АЧХ частота зрізу визначається на рівні - 3 дБ від максимального значення коефіцієнта підсилення. Положення лівого курсору визначає частоту зрізу, тому що різниця між показаннями коефіцієнта підсилення правого і лівого курсорів дорівнює 3,019 ≈ 3 дБ.

Смуговий фільтр.З'єднуючи послідовно фільтр верхніх і низьких частот з амплітудно-частотними характеристиками, які перекриваються, можна одержати смуговий фільтр. Смуговий фільтр пропускає сигнал у деякій смузі частот і придушує сигнал на низьких і високих частотах. На рис 2.8. показано схему смугового фільтра.

Знайдемо комплексний коефіцієнт підсилення схеми.

Введемо позначення ωRC = Ω. Розкриваючи дужки, одержимо

Комплексний коефіцієнт підсилення дорівнює

Рис.2.8 - Смуговий фільтр
.

АЧХ являє собою модуль комплексного коефіцієнта передачі ,

ФЧХ визначається з виразом .

Максимальний коефіцієнт при Ω = 1. Отже, резонансна частота f₀ = 1/2πRC. Коефіцієнт підсилення на резонансній частоті дорівнює A(f₀) = 1/3, а фазовий зсув дорівнює 0.

На рис 2.9 наведені частотні характеристики смугового фільтра при R=1 кОм і С = 1 мкФ.

Рис.2.9 - Частотні характеристики смугового фільтра

Резонансна частота фільтра дорівнює 159,591 Гц. АЧХ смугового фільтра має дві частоти зрізу, які розташовуються ліворуч і праворуч від резонансної частоти f₀, і також визначаються на рівні – 3 дБ щодо максимального значення коефіцієнта підсилення.

2.4. Контрольні питання

1.
Що таке електричний фільтр?

2.
Що таке комплексний коефіцієнт підсилення і як його одержати

3.
Намалюйте схему найпростішого фільтра нижніх частот.

4.
Як визначити частоту зрізу фільтра?

5.
Намалюйте АЧХ фільтра ВЧ.

6.
Намалюйте схему найпростішого фільтра верхніх частот.

7.
Як визначити частоту зрізу фільтра?

8.
Намалюйте АЧХ фільтра ВЧ.

9.
Приведіть формули для визначення частоти зрізу фільтрів НЧ і ВЧ.

10.
Нарисуйте схему найпростішого смугового фільтра.

11.
Як визначити частоту зрізу смугового фільтра?

12.
Намалюйте АЧХ смугового фільтра. Чому дорівнює коефіцієнт передачі смугового фільтра на частоті f₀?

13.
Приведіть формули для визначення центральної частоти смугового фільтра.

14.
Що таке добротність смугового фільтра і як її визначити?

15.
Що таке смуга пропущення, перехідна область і смуга придушення фільтра?

16.
Як виражається амплітудно-частотна характеристика в логарифмічному масштабі?

17.
Намалюйте ЛАЧХ фільтрів НЧ, ВЧ і смугового фільтра.

18.
Як визначити частоту зрізу фільтрів по АЧХ у логарифмічному масштабі?

3. НАПІВПРОВІДНИКОВІ ДІОДИ

12 3