ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Типы, виды и классы математических моделей, применяемых в землеустройстве

Лекция 3

КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПРИМЕНЯЕМЫХ В ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВЕ

3.1 Типы, виды и классы математических моделей, применяемых в землеустройстве

3.2 Требования, предъявляемые при использовании математических моделей

Типы, виды и классы математических моделей, применяемых в землеустройстве

В настоящее время для решения землеустроительных задач различных классов используются разнообразные виды экономико-математических' моделей, позволяющих давать" анализ' использования земельных ресурсов, выявлять, определенные тенденции и находить оптимальные, варианты устройства территории. Классификация моделей, применяемых в землеустройстве, всегда базировалась на аналогичных классификациях, используемых в аграрной экономике. .

Так, например, Р. Г. Кравченко разделял' экономико-математические модели на три группы (Кравченко Р. Г., Попов И..Г., Толпекин С.3. Экономико-математические методы в организации и планировании сельскохозяйственного производства. — Изд. 2-е. - М.: Колос, 1973):

- корреляционные модели и производственные функции, позволяющие отразить степень влияния различных факторов на результаты производства, обосновать нормативы; сделать прогнозы состояния и динамики процессов воспроизводства;

- балансовые модели, обеспечивающие обоснование пропорций воспроизводства, его факторов и результатов;

- модели оптимизации, дающие возможность выбора, наилучших вариантов развития экономических систем на основе использования аппарата математического программирования.

Более детальную классификацию моделей дает М. Е. Браславец (Браславец М. Е. Экономико-математические методы в организации и планировании сельскохозяйственного производства. — М.: Экономика, 1971; Браславец М. Е., Кравченко Р. Г. Математическое моделирование экономических процессов в сельском хозяйстве. — М.: Колос, 1972). Он выделял две большие группы экономических моделей (корреляционное уравнение, отражающее связь зависимого и нескольких независимых факторов) и| экономико-математические (таблица чисел, связанных в единую систему функциональных уравнений различного типа). Последние М. Е. Браславец делил на детерминистические и стохастические.

К детерминистическим относились модели, в которых результат полностью и однозначно определялся набором независимых переменных. Эти модели строились на основе правил линейной алгебры и представляли собой системы уравнений, совместно решаемых для получения искомых результатов. В свою очередь, они подразделялись на балансовые (обычно имеющие форму шахматного баланса и записываемые в виде квадратных матриц) и оптимизационные, предназначенные для отыскания оптимальных решений методами математического программирования.

К стохастическим относились модели, описывающие случайные процессы, подчиняющиеся законам теории вероятностей. Это были модели, основанные на выравнивании статистических рядов, а также позволяющие анализировать эмпирические закономерности, не выражающиеся строго функциональными зависимостями.

Приведенная группировка в основном отражает состав моделей, применяемых и в землеустройстве. Главный ее недостаток — отсутствие единого классификационного признака, который позволил бы произвести четкое деление. Например, оптимизационные модели могут быть не только детерминистическими, но и стохастическими (в этом случае оптимальное решение находится методами стохастического программирования). Большинство экономико-статистических моделей также может иметь стохастический характер, то есть описывать влияние случайных факторов.

Для классификации математических моделей, применяемых в землеустройстве, целесообразно использовать пять основных классификационных признаков

Таблица 1. Классификация математических моделей, применяемых в землеустройстве

Классификационный признак	Виды моделей
Виды проектной документации	Графические Экономические
Степень определенности информации	Детерминистические Стохастические
Вид (форма) землеустройства или землеустроительного действия	Межотраслевые Межхозяйственного землеустройства Внутрихозяйственного землеустройства Рабочего проектирования
Математические методы, лежащие в основе модели	Аналитические (дифференциального исчисления Экономико-статистические (математической статистики) Оптимизационные (математического программирования) Балансовые (межотраслевого баланса)Сетевого планирования и управления

[1] Землеустроительное проектирование. — М.: Колос, 1997, -г- С. 47—48. Здесь выделено 37 классов таких проектов.

По первому признаку модели делятся на два типа: графические и экономические, что обусловлено рядом причин. Прежде землеустроительные решения всегда выражаются в виде определенной пространственной организации территории (система севооборотов, полей, рабочих участков, дорог, лесополос, границ и т. д.). Далее, с ней тесно связаны система расселения и организация производства. Таким образом, любое землеустроительное решение можно, с одной стороны, «посмотреть» (на плане, на местности, в проекте), с другой — просчитать через показатели эффективности производства и оценить, насколько оно выгодно.

Землеустроительная документация всегда делилась на две части – графическую и текстовую, причем основу последней составляли расчеты. С развитием информатики и средств вычислительной техники появилась возможность иметь, самостоятельные математические модели для графической и расчетной частей, что и определяет необходимость соответствующего деления. Графические модели могут считаться экономико-математическими лишь условно, так как они лишь характеризуют в цифровом виде условия производства (например, дают цифровую модель местности). Тем не менее они тесно связана с моделями организации производства и территории, которые и являются собственно экономическими.

Графические и математические модели характеризуют различные элементы проекта землеустройства* или их совокупности, которые показываются на проектном плане; к ним относятся площадные, линейные и точечный объекты.

Площадные объекты — это отдельные землевладения и землепользования, севообороты, их поля и рабочие участки, загоны очередного стравливания, гуртовые (отарные) участки, пастбище- и сенокосообороты, бригадные участки и т.д. Они характе ризуются площадью, координатами поворотных точек и центра тяжести, что позволяет определять местоположение этих участков, их форму и другие параметры.

Линейные объекты представляют собой линейные элементы организации территории. К ним относятся полевые и магистральные дороги, лесополосы, инженерные коммуникации (газопроводы, ЛЭП и др.), отдельные границы участков, зон и т.д. Эти объекты могут размещаться на местности в виде прямых и ломаных линий, а также в виде кривых. Они характеризуются протяженностью, шириной, координатами начальных, конечных и промежуточных точек.

Точечные объекты позволяют определять на местности местоположение отдельных инженерных сооружений (таких, например, как колодцы, родники, буровые вышки и т. д.). Их размещение характеризуется местоположением.

Графические модели следует отличать от геометрических, так как первые имеют только математический характер и обязательно цифровой или числовой вид. Вторые могут давать характеристику графической части проекта и в традиционной форме (например, в виде чертежа, оформленного вручную).

Экономические модели, применяемые в землеустройстве, представляют собой выраженные в математической форме различные расчеты по проектам землеустройства. К ним относятся модели агроэкономического обоснования проектов внутрихозяйственного, землеустройства, технико-экономических обоснований (ТЭО) проектов межхозяйственного землеустройства, сметно-финансовые расчеты рабочих проектов и др.

B зависимости от степени используемой в математических моделях, они делятся на два вида: детерминированные и стохастические.

Детерминированные модели основаны либо на абсолютно точной информации, либо" на сведениях, которые условно считаются: точными. Полученные с использованием этих моделей данные находятся в функциональной связи с набором независимых беременных, то есть решения задач полностью и однозначно определяются этим набором переменных.

Стохастические модели основаны на информации, имеющей стохастический (вероятностный) характер. Например, при плавании урожайности сельскохозяйственных культур (результат) невозможно знать заранее будущие погодные условия. Эти условия задаются в моделях с определенной степенью •Вероятности. Соответственно полученные результаты также будут устанавливаться с определенной степенью вероятности.

Исходя из вида (формы) землеустройства или осуществляемого землеустроительного действия народнохозяйственного значения землеустроительных проблем и охвата объектов землеустроительного проектирования, математические модели подразделяются на ^межотраслевые, межхозяйственного землеустройства, внутрихозяйственного землеустройства и рабочего проектирования.

Межотраслевые модели обеспечивают решение задач по прогнозированию и оптимальному планированию использования земельных ресурсов и их охране по стране в целом, на уровне субъекта Федерации, местной администрации и т. п.

Модели данного класса позволяют оптимизировать распределение земель по категориям земельного фонда страны (земли сельскохозяйственного назначения; промышленности, транспорта, связи, обороны и иного специального назначения; лесного фонда; запаса и др.), решать задачи по развитию агропромышленного производства в регионах, по планированию и осуществлению природоохранных мероприятий и т. д.

Основным видом землеустроительных работ, включающим модели этого класса, является разработка генеральных схем использования и охраны земель страны (субъекта Федерации) и схем и землеустройства административных районов и других территорий, находящихся в ведении местных администраций.

Модели межхозяйственного землеустройства позволяют решать задачи по перераспределению земель между хозяйствами; по образованию или упорядочению землевладений и землепользовании сельскохозяйственного и несельскохозяйственного назначения; по установлению границ административно-территориальных образований, черты населенных пунктов и т. п. К данному классу относятся задачи по определению оптимальных размеров землепользований и рациональному размещению производства на территории, по наиболее целесообразной ликвидации недостатков в использовании земельных ресурсов и др.

Модели внутрихозяйственного землеустройства предназначены для решения вопросов наиболее полного, рационального и эффективного использования земель и организации производства в конкретных сельскохозяйственных предприятиях. Основные задачи данного класса — установление оптимального сочетания отраслей, состава и площадей угодий; определение видов, количества и площадей севооборотов и их размещение; рациональная организация кормопроизводства; планирование грузоперевозок; планирование комплекса мелиоративных работ; оптимальная трансформация угодий; оптимизация размеров производственных подразделений и др.

Модели рабочего проектирования обеспечивают решение различных задач, связанных с землеустройством конкретных земельных участков и инвестициями в эти земли (создание орошаемых культурных пастбищ, выполаживание оврагов, трансформация и мелиорация земельных участков, строительство прудов, дорог и дорожных сооружений, закладка многолетних насаждений и т. п.).

Сложность математических моделей каждого класса зависит от числа учитываемых факторов и характера взаимосвязи между ними, от наличия, точности и достоверности исходной информации и от особенностей изучаемого процесса или явления. Кроме того, она определяется и конструктивными особенностями модели (количеством переменных, их степенью, количеством условий, видом целевой функции и др.).

В практической работе большое значение имеет классификация экономико-математических моделей в зависимости от лежащих в их основе математических методов. По этому признаку все модели можно разделить на аналитические, экономико-статисти- ческие, оптимизационные (нередко именно их называют экономико-математическими, так как в общей системе моделей они занимают главное место), балансовые, сетевого планирования и др.

Для использования моделей указанных типов необходимо хорошо знать соответствующие методы (математической статистики, математического программирования и т.д.). Вместе с тем ряд землеустроительных задач требует разработки нестандартного математического аппарата, особых методов моделирования.

Аналитические модели в землеустройстве основаны на применении 1^сеичеокош-матсматического аппарата (алгебра, дифференциальное и интегральное исчисление, геометрия, тригонометрия, математический анализ); при этом требуются доказательство различных теорем и вывод необходимых формул.

Как правило, аналитические модели имеют вид формул и отражают функциональные зависимости. Каждому определенному значению фактора (независимой переменной) или множества факторов соответствует строго определенное значение результата. Типичным примером аналитической модели является формула для расчета условной длины поля (рабочего участка) L:

где Р— площадь поля, м²; Н— высота (геометрическая) на фигуре поля, Mj с +d— сумма длин линий, не параллельных основному направлению обработки поля (рабочего участка), м.

С помощью аналитических моделей в землеустройстве рассчитывают, как правило, технические показатели проектов: средние расстояния, рабочие уклоны, коэффициенты компактности землепользовании и др.

Экономические модели базируются на использовании теории вероятносте^ТГ методов математической статистики (корреляционного, регрессионного, дисперсионного анализа, теории выборок и т.д.). Главное место среди них занимают производственные функции, представляющие собой уравнения статистической (усредненной) связи зависимой переменной (результата) и факторов-аргументов. С помощью этих моделей при землеустройстве рассчитывают прогнозируемую урожайность культур, продуктивность животных, а также некоторые параметры организации территории (распаханность, облесенность, освоенность). Они полезны также при анализе уровня использования земли; с их помощью подготавливается необходимая информация для применения оптимизационных методов, производится обоснование землеустроительных проектных решений.

Экономико-статистические модели могут быть функциональными и корреляционными. Первые, по сути, идентичны аналитическим моделям, но основаны на статистической информации. А поскольку строго функциональные связи (когда значению факторов в уравнении соответствует точно определенное значение результата) в экономике встречаются очень редко, эти модели практически не используются в землеустройстве. Вторые (корреляционные) модели базируются на статистических (верных лишь в среднем) связях между факторами. Они могут обладать разной степенью достоверности, так как описывают случайные процессы. Уровень достоверности модели оценивается специальным показателем (так называемым коэффициентом корреляции).

Оптимизационные модели основаны главным образом на методах математического программирования, позволяющих находить экстремальные (минимальные или максимальные) значения целевой функции по искомому перечню переменных при заданных условиях.

Например, в процессе решения задачи необходимо найти такие размеры сельскохозяйственного предприятия (общая земельная площадь, состав земельных угодий и отраслей — искомые переменные), которые, исходя из его специализации, фондоосна- щенности и трудообеспеченности (задаваемые условия), давали бы максимальную прибыль (максимальное значение целевой функции).

Оптимизационные модели в землеустройстве делятся на две разновидности: комбинированные и дифференцированные. При комбинированном моделировании все вопросы землеустроительного проекта решаются комплексно в их взаимообусловленности и взаимозависимости. Такой подход в принципе правильнее, однако он приводит к громоздким задачам, решение которых затруднительно. Суть дифференцированного моделирования заключается в последовательном решении нескольких задач по проекту (например, по его составным частям). Модели получаются значительно меньшего объема, и их решение существенно облегчается. Применение именно дифференцированного моделирования в землеустройстве объясняется сложностью объектов и многообразием решаемых вопросов.

Дифференцированное моделирование в известном смысле представляет собой аппроксимацию комбинированной модели.

Говоря об информационных системах, У. Эшби писал: «Когда системы становятся сложными, то их теория практически заключается в том, чтобы найти пути их упрощения» (Эшби У. Системы информации. — Вопросы философии. — 1964. — № 3).

Аппроксимация осуществляется различными способами: либо модель рассматривает часть сложной системы, абстрагируясь от всех других ее сторон (частная аппроксимация), либо она упрощается, чтобы быть в дальнейшем запрограммированной с последующим наращиванием информации (полная аппроксимация). Этот способ предполагает последовательное накопление в серии аппроксимирующих (частных) моделей информации обо всей моделируемой системе с неуклонным продвижением от бедных информацией моделей малого числа измерений ко все более информационно емким моделям. Так поступают и при последовательной проверке алгоритма модели.

Например, при организации угодий и севооборотов (одна из составных частей проекта внутрихозяйственного землеустройства) моделируются и решаются следующие задачи: установление состава угодий и их площади; планирование трансформации, улучшения и размещения угодий; установление типов, видов, числа севооборотов и внесевооборотных участков, их размещение.

При решении отдельных вопросов организации угодий и севооборотов с использованием моделей будет иметь место дифференцированное моделирование, при совместном — комплексное. Однако следует иметь в виду, что при дифференцированном моделировании каждой составной части проекта необходимо учитывать взаимосвязь всех проектировочных решений по организации угодий и севооборотов, что предполагает совместное применение как моделирования, так и традиционных методов.

Аппроксимация моделей связана с таким их важным свойством, как унификация. На базе унифицированных моделей (упрощенных и пригодных для решения широкого круга землеустроительных задач) возможно широкое применение автоматизированных компьютерных технологий.

Оптимизационные модели применяются, как правило, для разработки наилучших (с точки зрения выбранного критерия) проектных землеустроительных решений. Основу их составляют оптимальные варианты организации производства и территории сельскохозяйственных предприятий, а также наиболее эффективные варианты развития землевладения и землепользования (оптимальная специализация хозяйств, необходимые размеры перераспределения земель, оптимальные размеры и т.д.).

Балансовые модели обеспечивают обоснование и определение наилучших пропорций территориальной организации производства с учетом его факторов и результатов. Они имеют форму матриц, систем таблиц и т. п. В землеустроительных расчетах могут использоваться при обосновании проектных решений (балансы кормов, труда, расчеты населения на перспективу, баланс трансформации и перераспределения земель и т.д.).

Модели сетевого планирования и управления, базирующиеся на одноименных математических методах, применяются при планировании и организации землеустроительных работ, при разработке планов перехода к новому составу угодий и новым севооборотам, при составлении планов реализации проекта землеустройства и авторского надзора.

В настоящее время модели данного класса находятся в стадии практической разработки; часть из них будет рассмотрена ниже.

3.2 Требования, предъявляемые при использовании экономико-математических методов и моделей

Практика показывает, что экономико-математические методы в землеустройстве оказываются полезными лишь в том случае, когда выдержаны определенные требования к их применению.

1. Прежде всего не следует забывать, что в основе экономико- математического моделирования лежат количественные методы анализа. Это предполагает детальное изучение объекта проектирования, выявление различных зависимостей и взаимосвязей, их математическое описание в виде набора переменных величин, уравнений, неравенств и т. д. Вместе с тем никакие математические методы не позволят принять приемлемое решение, если не будут в должной мере учтены выводы, полученные в ходе качественного анализа.

В основе такого анализа лежит здравый смысл, а также знание экономических законов, понятий и категорий, благодаря чему исключаются логические ошибки и заведомо неприемлемые решения. В конце концов математический аппарат — это лишь вспомогательное средство, орудие количественного анализа, а также техника, позволяющая более обоснованно, быстро и точно находить нужные решения, в основе которых всегда лежат качественные закономерности, изучаемые землеустроительной наукой.

2. Разрабатываемые модели должны учитывать экономические, технологические, землеустроительные, технические и другие условия, в которых находится землеустраиваемый объект.

К экономическим УОДйВИДМ относятся: размеры и сочетание отраслей, виды ресурсов, гарантированные объемы производства, условия реализации и распределения продукции. К технологическим — агротехнические особенности возделывания сельскохозяйственных культур, ветеринарные и зоотехнические требования к выращиванию животных и т. д.

Землеустроительные условия характеризуют особенности организации территории и производства (размещение населенных пунктов, земельных массивов производственных подразделений, производственных центров, организация угодий и устройство территории севооборотов, качество земель и т. д.); они составляют основу любой модели, которую предполагается использовать при землеустроительном проектировании.

Технические условия — это наличие у разработчика средств вычислительной техники и программного обеспечения, что диктует требования по выбору типа моделей, размерности задач, степени детализации решений. Другими словами, экономико-математические модели должны быть приведены к виду, позволяющему их решать на имеющейся вычислительной технике.

Учет всех перечисленных условий позволит построить эконо- мико-математическую модель, наилучшим образом соответствующую изучаемому объекту, и избежать в последующем ее трудоемкой доработки и многочисленных корректировок полученных решений.

3. Возможности моделирования прямо связаны с качеством исходной информации. Никакое решение не будет приемлемым, даже если оно и получено с использованием самых современных методов, если в его основе лежат недостоверные, неполные или несвоевременно полученные данные. Поэтому необходимо учитывать, какие показатели реально могут быть получены на основе имеющихся статистических, экспериментальных и нормативных материалов. Кроме того, должно быть обеспечено соответствие между этой информацией и точностью применяемых математических методов в процессе реализации модели.

4. Использование экономико-математических методов и моделей не является самоцелью. Поэтому не нужно вводить ничего лишнего в условия задачи, заранее навязывать то или иное решение, пытаться «помочь» машине в выборе оптимума. Нельзя также абсолютизировать полученные на компьютере результаты; их следует тщательно проанализировать, проверить и только потом использовать для дальнейших действий.

Необходимо иметь в виду, что полученное математическими методами оптимальное решение (математический оптимум) необязательно согласуется с экономической целесообразностью (экономическим оптимумом). Это часто бывает в тех случаях, когда модель не вполне адекватна изучаемому объекту. Тогда, оценивая решение логическим, экспертным или специальным математическим путем, а также осуществляя определенные корректировки, математический и экономический оптимумы приводят в соответствие.

Это достигается двумя основными способами — корректировкой самой модели с последующим решением новой задачи или же путем непосредственной корректировки решения без изменения модели. В первом случае изучают составленную модель, выявляют неучтенные факторы и вводят в модель соответствующие ограничения. Во втором случае результаты подправляют вручную и проводится их повторный анализ. Применение того или иного способа зависит от степени соответствия разработанной модели условиям рационального использования земель.

5. Экономико-математические модели не должны быть очень громоздкими, так как любое усложнение модели может привести к обратному эффекту — не к повышению точности решения, а к ее снижению из-за случайных или систематических ошибок, неизбежных при работе с приближенными числами. Кроме того, громоздкую модель очень трудно исправлять и модифицировать.

Поэтому по возможности модели должны быть максимально упрощены, укрупнены и унифицированы. Необходимо, однако, иметь достаточное количество переменных и ограничений, которое позволяет получить приемлемое решение.

6. Одно из главных требований к моделированию — применение комплекса моделей, охватывающих все стороны проекта землеустройства, их логическая, информационная, технологическая и экономико-математическая увязка. Как правило, аналитические и экономико-статистические методы используются совместно или предшествуют оптимизационному моделированию, что объясняется рядом причин.

Во-первых, необходимы обработка имеющейся информации, ее анализ и оценка (для этого используют методы аналитических группировок, дисперсионный и факторный анализ, составляют ряды динамики, рассчитывают различные статистические величины—дисперсии, коэффициенты вариации и т.д., вычисляют технические показатели, используемые при составлении проекта, — рабочие уклоны, уклоны местности, определяют допустимые размеры межполосных участков и т.д.).

Во-вторых, необходима подготовка исходной информации непосредственно для целей проектирования и прогнозирования коэффициентов использования различных ресурсов, составления основной матрицы экономико-математической модели. Здесь также используют различные виды статистического анализа, строят производственные функции.

В-третьих, наличие в сельском хозяйстве непредсказуемых факторов, его зависимость от природно-климатических условий требуют оценки вероятности получения различных результатов. Знание выявленных таким путем закономерностей позволяет предвидеть, как различные случайные факторы будут сказываться при использовании модели.

На основании вышеизложенного можно кратко сформулировать основные требования, предъявляемые к использованию математических методов и моделей в землеустройстве:

– сочетание при моделировании количественного и качественного анализа с приоритетом последнего;

– учет экономических, технологических, землеустроительных, технических и других условий;

– использование надежной информационной базы, соответствующей целям решаемых задач и задаваемой точности вычислений;

– приведение в соответствие математического и экономического оптимумов путем анализа' и корректировки моделей и результатов решений, полученных математическими методами;

– максимально возможное упрощение моделей, их унификация для более быстрого и экономичного решения землеустроительных задач при необходимой точности;

– комплексное применение математических методов и моделей различных типов в проектах землеустройства.

В любом случае при использовании в проектах экономико-математических методов и моделей следует руководствоваться общими принципами, землеустройства и создавать организационно-территориальные условия, способствующие рациональному и эффективному использованию земель, повышению плодородия почвы и высокопроизводительному использованию техники с целью получения максимального количества продукции с каждого гектара земельных угодий при оптимальных затратах труда и средств.