ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Вычисление кратных интегралов.

Лекция 13

Понятие кратного интеграла и его свойства.

Вычисление кратных интегралов.

Понятие кратного интеграла и его свойства.

Понятие кратного интеграла напрямую связано с понятием функции нескольких переменных. В рамках нашего курса рассмотрим двойные и тройные интегралы.

Двойной интеграл определяется равенством:

Теорема (достаточное условие интегрируемости функции):

Если функция непрерывна в замкнутой области , то она интегрируема в этой области.

Замечания:

1. Далее будем рассматривать только функции, непрерывные области интегрирования, хотя двойной интеграл может существовать не только для непрерывных функций.

2. Для интегрируемой в области функции предел интегральных сумм существует и не зависит от способа разбиения. Таким образом, мы можем разбивать область на площадки прямыми, параллельными координатным осям, при этом

Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интеграла. Тройной интеграл определяется равенством:

Здесь -

Теорема (существования):

Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области , то предел интегральных сумм существует и не зависит от способа разбиения области на части.

Свойства кратных интегралов:

1. Константа выносится вперед интеграла.

2. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов.

3. Разбиение области на части соответствует сумме интегралов.

5. Если

Аналогично если

6. Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой , то

где и - соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области .

Аналогично

где и - соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области .

7. Теорема (о среднем).Если подынтегральная функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой , то в этой области такая точка , что

Величину

называют средним значением функции в области .

Для тройного интеграла

Вычисление кратных интегралов.

Пусть требуется вычислить двойной интеграл, функция непрерывна в области D. Область D представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми и и кривыми и .

Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторного интеграла

, (1)

который вычисляется путем последовательного интегрирования.

Сначала интегрируют внутренний интеграл, по переменной , считая переменную константой, а затем интегрируют по переменной полученное выражение. Вычислять можно и в другом порядке:

(2)

Следует помнить, что внешние пределы интегрирования всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные.

Пример:

1) Вычислить по области

2) Поменять пределы интегрирования

3) Найти области ограниченной линиями

Замечание:Вычисление тройного интеграла проводят по аналогии с вычислением двойного интеграла. Однако вычислять предстоит последовательно три интеграла

Двойной интеграл в полярных координатах.

Пусть требуется вычислить двойной интеграл по обл. , которая задана в полярной системе координат уравнениями:

, , причём ; на ; .

Тогда двойной интеграл перепишется в виде:

(3)

Замечание:

1. Переход к полярным координатам полезен, когда подынтегральная функция имеет вид ; область есть круг, кольцо или часть таковых.

2.На практике переход к полярным координатам осуществляется путем замены

уравнения линий, ограничивающих область , также преобразуются к полярным координатам. Преобразование области в область не выполняют, а, совместив декартову и полярную системы координат, находят нужные пределы интегрирования по и (исследуя закон изменения и точки ( , ) при ее отождествлении с точкой области )

Пример:Вычислить двойной интеграл , если область D ограниченна линиями , , y=x, y=0.