ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Т. 2. Теорема Ферма (необходимое условие экстремума).

Монотонность функции. Исследование на экстремум

Т. 1. (О производной монотонной функции)

1) Если функция дифференцируема на и возрастает (убывает) на , то .

2) Если функция дифференцируема на , непрерывна на и , то возрастает (убывает) на .

Д-во. 1) – возрастает на , возьмем , . при и при в обоих случаях .

2) на . Возьмем . По теореме Лагранжа о конечных приращениях имеем: : . Т.к. возрастает на .

Геом. смысл теоремы: Если возрастает на , то касательная к графику функции в любой точке отрезка образует с Ox острый угол: .

Т. 2. Теорема Ферма (необходимое условие экстремума).

Если: 1) определена и дифференцируема на ; 2) имеет в точке экстремум, то .

Д-во. Пусть – точка локального максимума. Тогда : . Пусть . Тогда или .

а) Если , то при некотором , т.е. функция возрастает в некоторой окрестности точки (можно считать, в ). Тогда для и .

б) Если , то при некотором , т.е. функция убывает в некоторой окрестности точки (можно считать, в ). Тогда для и .

Следовательно, не является точкой локального максимума. Противоречие.

Вывод: в точках, в которых , может быть экстремум (а может и не быть!).

Зам. 1: Из того, что , еще не следует, что – точка локального экстремума.

Зам. 2: Функция может иметь экстремум в т. , в которых не существует или равна .

ПР. . В точке функция не дифференцируема, но имеет минимум.

ПР. . В точке , но экстремума в ней нет.

Опр. Точки области определения функции , в которых или терпит разрыв, называются критическими точками 1-го порядка этой функции.

Очевидно, что не во всякой критической точке 1-го порядка функция имеет экстремум. Однако, если в некоторой точке функция имеет экстремум, то это обязательно критическая точка.

Т.3. (Первое достаточное условие существования экстремума)Пусть : 1) непрерывна в точке и некоторой ее окрестности ; 2) дифференцируема в за исключением, быть может, точки ; 3) при переходе через точку меняет знак. Тогда - точка локального экстремума .

Д-во. Обозначим ;

Аналогично можно доказать, что если и , то – точка локального минимума .

Замечание. Если при переходе слева направо через точку меняет знак с + на –, то – точка локального максимума; с – на +, то – точка локального минимума.

Правило отыскания локальных экстремумов функции

1.Найти область определения функции .

2.Найти критические точки 1-го порядка.

3.Нанести на числовую ось и критические точки 1-го порядка. Определить знаки на интервалах, на которые критические точки разбили .

4.Выделить критические точки, при переходе через которые меняет знак.

5.Вычислить значения в точках экстремума.

ПР. – критическая точка 1-го порядка, но . Следовательно, экстремума нет.

ПР. не существует – критическая точка 1-го порядка; – точка минимума.

ПР. . Найти экстремумы.

Т.4. (Второе достаточное условие существования экстремума) Если функция в некоторой окрестности имеет непрерывные 1-ю и 2-ю производные и , , то в точке имеет экстремум, причем максимум, если , и минимум, если .

Д-во. Пусть . Следовательно, в силу непрерывности убывает в некоторой окрестности точки . Но . Следовательно, в этой окрестности при и при . Значит,, – точка локального максимума. ( доказать самостоятельно!).

Замечание. Если не существует, то тоже не существует и вопрос о существовании экстремума решается по первому достаточному условию.

ПР. . . при . , .

Замечание.. Второе достаточное условие можно обобщить:

пусть = =…= .

Если n-четное, то экстремум есть; если n- нечетное, то экстремума нет. При этом, если , то min; если – max.

§2. Направление выпуклости. Точки перегиба.

Опр. Непрерывная кривая называется выпуклой вверх (выпуклой) на , если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Опр. Непрерывная кривая называется выпуклой вниз (вогнутой) на , если все ее точки лежат выше любой ее касательной на этом интервале.

Т.5. (Достаточное условие выпуклости графика функции) Если функция имеет и , то график функции является выпуклой вверх (вниз) кривой на .

Геометрическое пояснение: возрастает, значит, увеличивается.

убывает, значит, уменьшается.

Правило для запоминания:

Д-во:По определению выпуклой вверх кривой все ее точки на должны лежать ниже любой касательной в этих точках, т.е. ордината любой точки графика меньше ординаты касательной при одном и том же x.

;
Для разности

запишем теорему Лагранжа: точка с:
. По еореме Лагранжа т. : .

а) , но .

б) , но .

Аналогично доказывается достаточное условие выпуклости вниз. (сами!)

ПР. . Следовательно, кривая выпукла вверх.

Опр. Точка кривой, при переходе через которую кривая меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба.

Касательная в точке перегиба пересекает график!!! (+ рис.)

Т. 6. (Необходимое условие перегиба) Если определена и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки и – точка перегиба, то . (+ рис.)

Замечание 1: Из того, что , еще не следует, что – точка перегиба.

Замечание 2: В точке перегиба может не существовать или быть равной (см. рис.).

Опр.Точки области определения функции , в которых либо терпит разрыв, называются критическими точками 2-го порядка.

Т. 7. (Достаточное условие перегиба) Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности и дважды дифференцируема в ней за исключением, быть может, точки . Если при переходе через точку меняет знак, то – абсцисса точки перегиба графика функции .

ПР. 1. , , .

ПР.2. ; ; .

ПР.3. ; ; .

Асимптоты.

Опр. Прямая наз-ся асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в стремится к 0, т.е. .

Замечание.Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если или , т.е. точка является точкой разрыва 2-го рода функции .

ПР.

Пусть прямая является наклонной асимптотой графика функции , когда . Найдем и .

. , (1)

Найдем :
(2)

Если хотя бы один из пределов (1) или (2) не существует или бесконечен, то наклонной асимптоты при нет.

При и находятся аналогично.

ПР. . Найти асимптоты графика.

– вертикальная , а – наклонная асимптота.

§4. Общая схема исследования ф-ции и построения графика.

1.Исследование вида зависимости :

1) область определения;

2) точки разрыва;

3) четность и нечетность;

4) точки пересечения с осями координат;

5) периодичность;

6) исследование поведения функции на концах области определения;

7) асимптоты:

а) вертикальные;

б) наклонные.

2.Исследование по первой производной:

1) критические точки 1-го порядка;

2) участки монотонности;

3) точки локальных экстремумов.

3.Исследование по второй производной:

1) критические точки 2-го порядка;

2) участки выпуклости и вогнутости;

3) точки перегиба.

4.Построение графика с учетом результатов, полученных в пунктах 1-3.

Пр. 1)

1.1) ;

2) непрерывна;

3) – функция общего вида;

4) ;

5) непериодическая

6) ,

7) а) функция непрерывна Þ вертикальных асимптот нет;

б) .

1) критические точки 1-го порядка: ;
2)

– – –

0 1 x

3) экстремумов нет.

a)критические точки 2-го порядка:

+ – +

b) 0 1 x

c) точки перегиба:

ПР. 2. .

1.1) ;

2) непрерывна;

3) функция общего вида;

4) ;

5) непериодическая;

6) , ;

7) а) функция непрерывна Þ вертикальных асимптот нет;

б) - наклонная асимптота.

1) критические точки 1-го порядка: ;

– + – –

0 4/3 2 x

3) .

1) критические точки 2-го порядка:

– – +

2) 0 2 x

3) точка перегиба: .

ПР.3.

; ; – ас-ты, – min, – перегиб.

Пр. 4.

1.1) ;

2) – т. разрыва 2-го рода;

3) нечетная;

4) ;

5) непериодическая;

6) , ;

7) а) – вертикальные асимптоты, , , , ;

б) - наклонная асимтота.

1) ;

+ – – – – +

2) -2 0 2 x

;

3) – точки максимума и минимума; .

– + – +

2) -2 0 2 x

3) точка перегиба: .

Глобальный экстремум

Если непрерывна на , то своего наибольшего (наименьшего) значения она может достигать либо в точке локального экстремума, принадлежащей , либо на конце отрезка.

Правило: чтобы найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке (области определения), надо:

1) найти все точки локальных экстремумов на (или критические точки первого порядка), вычислить в них ;

2) вычислить и (значения на концах области определения);

3) из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пр. Найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке . Ответ: .