ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Тема: Классическое определение вероятности

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Тема: Основные понятия теории вероятностей

1. Какие из следующих событий достоверные:

А — «два попадания при трех выстрелах»,

В — «появление не более 18 очков при бросании трех игральных костей»,

D — «наугад выбранное трехзначное число не больше 1000»,

Е — «наугад выбранное число, составленное из цифр 1, 2, 3 без повторений, меньше 400»?

2. Какие из следующих событий невозможные:

А — «опаздывание ленинградского экспресса в субботние дни»,

В — «появление 17 очков при бросании 3 игральных костей»,

С — «появление слова «мама» при случайном наборе букв а, а, м, м»,

D — «появление составленного из цифр 1, 2, 3, 7, 8 и кратного 9 числа при случайном однократном наборе указанных цифр»,

Е — «появление составленного из цифр 1, 2, 3, 7, 8 и кратного 3 числа при произвольном однократном наборе указанных цифр»?

3. Укажите достоверные и невозможные события:

А — «появление не более 12 очков при однократном бросании двух игральных костей»,

В — «появление сразу 3 лайнеров над аэропортом»,

С — «попадание в мишень при 3 выстрелах»,

D — «появление в окошке счетчика трехзначного числа, составленного из цифр 1, 2, 3 и кратного 5».

4. В кружке юных математиков 25 членов. Необходимо избрать председателя кружка, его заместителя, редактора стенгазеты и секретаря. Сколькими способами можно образовать эту руководящую четверку, если одно лицо может занимать только один пост?

5. Школьная комсомольская организация, в которой насчитывается 150 членов, выбирает 6 делегатов на районную конференцию. Сколькими способами может быть избрана эта шестерка?

6. Сколько разных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

7. В колоде 32 карты. Раздаются 3 карты. Сколько может быть случаев появления одного туза среди розданных карт?

8. В пионерском отряде 4 звена по 8 пионеров. Выбираются 4 делегата на дружинный сбор. Что можно сказать о числе случаев избрания в делегаты хотя бы одного представителя первого отряда?

9. Сколько можно составить трехзначных чисел из цифр 1, 2, 3, 4 и 5, если цифры могут повторяться?

10. В розыгрыше первенства страны по футболу приняло участие 16 команд. Сколькими способами могут быть распределены золотые и серебряные медали?

11. В кафе предлагают 5 первых блюд, 6 вторых и 4 третьих. Сколькими способами можно составить обед?

12. В классе изучают 10 предметов. В понедельник 6 уроков (все уроки разные). Сколькими способами можно составить расписание на понедельник?

13. Необходимо укомплектовать экипаж космического корабля в составе: командир корабля, I его помощник, II его помощник, 2 бортинженера, 1 врач. Командующая тройка может быть отобрана из 25 готовящихся к полёту лётчиков; 2 бортинженера – из 20 специалистов, в совершенстве знающих устройство космического корабля; врач – из числа 8 медиков. Сколькими способами можно укомплектовать экипаж корабля?

14. Из 30 последовательных натуральных чисел: 1, 2, 3, … 30 выбирают 3 числа так, чтобы их сумма была чётной. Сколько способов такого выбора?

15. На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько разных стартовых пятёрок может образовать тренер?

16. Боря идет на день рождения к одноклассникам, близнецам Алеше и Яше. Он хочет подарить каждому из них по мячу. В магазине остались для продажи 3 мяча разных цветов: белый, черный и пятнистый. Сколькими способами, купив 2 мяча, Боря может сделать подарки братьям? Отв.6 способов.

Ашот (А), Марат (М) и Сергей (С) могут занять 1-е, 2-е и 3-е призовые места в соревнованиях. Перечислить все возможные последовательности из имен мальчиков, где порядковый номер в последовательности соответствует занятому мальчиком месту в соревнованиях. Отв. 6 вариантов.

17. Имеется 6 видов овощей. Решено приготовить салат из 3 видов. Сколько различных (по сочетанию видов овощей) вариантов салатов можно приготовить? Отв. 120 или 20.

18. Сколько существует способов занять 1-е, 2-е и 3-е места на чемпионате по футболу, в котором участвуют: 1) 10 команд: 2) 11 команд? Отв. 1) 720, 2) 990.

19. Завуч составляет расписание уроков. В пятницу в 7А классе должно быть 5 уроков, причем обязательно один сдвоенный урок- алгебра. Сколько различных вариантов расписания уроков может составить завуч на пятницу, если 3 оставшихся урока он комбинирует из литературы, истории и физики? Отв. 24 варианта.

20. В контрольной работе будет пять задач- по одной из каждой пройденной темы. Задачи будут взяты из общего списка по 10 задач в каждой теме, а всего было пройдено 5 тем. При подготовке к контрольной Вова решил только по 8 задач в каждой теме. Найдите:

а) общее число всех возможных вариантов контрольной работы:

б) число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все пять задач;

в) число тех вариантов, в которых Вова не сможет решить ни одной задачи;

г) число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все задачи, кроме первой.

Отв. а)100000, б)32768, в)32, г)8192.

21. Учащиеся 9 класса решили обменяться фотографиями. Сколько фотографий для этого потребуется, если в классе 24 учащихся?

Отв. 525 фотографий.

Тема: Классическое определение вероятности

1. Телефонный номер состоит из 6 цифр. Какова вероятность, что в нем: а) все цифры различны; б) все цифры нечетные; в) все цифры различны и четные?

2. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков четная, причем на грани одной из костей появится шестерка.

3. Бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что выпадет: а) одинаковое число очков; б) различное; в) сумма выпавших очков не менее 9.

4. Какова вероятность того, что в выбранном наудачу трехзначном числе цифры: а)одинаковые; б) различные.

5. В лифт восьмиэтажного дома на первом этаже входят 5 человек. Независимо от других каждый может выйти с равными шансами на любом этаже, начиная со второго. Какова вероятность, что а) все выйдут на четвертом этаже; б) все пятеро выйдут на одном и том же этаже; в) все пятеро выйдут на разных этажах; г) все выйдут на девятом этаже?

6. Из колоды, насчитывающей 36 карт, наугад извлекают 4 карты. Какова вероятность следующих событий: A={среди них окажется туз пик}; B={среди них окажется ровно один туз}; C={среди них окажутся ровно две бубновые карты}; D={среди них окажется хотя бы одна бубновая карта}, E={2 туза, 1 дама}, F={все карты одной и той же масти}, G={хотя бы 1 туз}, K={король и дама червовой масти}, M={один король и одна дама}, L={карты красной масти}?

7. Имеется пять билетов стоимостью по рублю, три билета по три рубля и два билета по пять рублей. Наугад берутся три билета. Определить вероятность того, что: а) все три билета стоят всего семь рублей; б) все три билета стоимостью по одному рублю.

8. На столе 10 дисков, на пяти дисках записана музыка, на трех игры и на двух компьютерные программы. Наугад выбирают три диска. Какова вероятность событий А={в выборке окажутся только музыкальные диски}, B={на одном из дисков будет игра} и С={среди них будет 2 диска с программами}.

9. В ящике имеется 5 красных шаров и 3 синих, шары отличаются только цветом. Наудачу достают два шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся: а) одного цвета, б) разного.

10. В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады разыгрывается 4 билета в театр. Какова вероятность событий А={среди обладателей билетов окажется одна женщина}, B={билеты получают одинаковое число мужчин и женщин} и С={в театр пойдут только мужчины}?

11. Отдел рекламы решил поместить объявления в газетах. Денежных средств хватает только на 15 объявлений (в городе всего 25 газет). Сколько существует способов случайного отбора газет для помещения объявлений? Какова вероятность того, что в число отобранных попадут 15 газет, имеющих наибольший тираж?

12. Студент пришел на экзамен, зная 20 из 25 вопросов. Экзаменатор задал ему 3 вопроса. Найти вероятность событий А={студент знает ответы на все вопросы} и B={студент ответил на два вопроса}.

13. В шахматном турнире участвуют 20 человек, которые по жребию распределяются в 2 группы по 10 человек. Найти вероятность того, что а) двое наиболее сильных игрока будут играть в разных группах, б) четверо наиболее сильных попадут по два в разные группы.

14. Пятитомное сочинение расположено на полке в случайном порядке. Найти вероятности событий А={тома стоят в должном порядке (упорядочены либо в порядке возрастания, либо в порядке убывания)} и В={первый и последний тома окажутся стоящими рядом}.

15. 12 студентов, среди которых Иванов и Петров, случайным образом занимают очередь за учебниками в библиотеку. Какова вероятность, что между Ивановым и Петровым в образовавшейся очереди окажутся ровно 5 человек?

16. В зрительном зале кинотеатра 500 мест. Какова вероятность, что при произвольном размещении в зале 490 зрителей пустыми останутся 10 первых мест второго ряда?

17. Группа, состоящая из 10 девушек и 10 юношей, делится произвольным образом на две равные по количеству подгруппы. Найти вероятность того, то в каждой подгруппе окажется поровну юношей и девушек.

18. Группа, состоящая из 12 юношей и 3 девушек, делится произвольным образом на три равные по количеству подгруппы. Какова вероятность, что все девушки окажутся в разных подгруппах?

19. В купейный вагон (9 купе по 4 места) семи пассажирам продано семь билетов. Найти вероятность того, что занятыми оказались только два купе.

20. По k ячейкам случайно распределяются k предметов. Найти вероятность, что все предметы попадут в одну ячейку.

21. В чулане находятся 4 пары ботинок, все пары разных фасонов. Наудачу в темноте выбирают три ботинка. Какова вероятность, что среди выбранных ботинок отсутствуют парные?

Действия над событиями

1. Бросают две игральные кости. Событие ={сумма выпавших очков нечетная}, ={хотя бы на одной кости выпала единица}. Описать события , , .

2. Из колоды в 36 карт достали одну карту. Событие ={извлеченная карта-дама}, ={извлеченная карта- пиковой масти}, ={извлеченная карта-туз}. Что означает следующие события , , , .

3. Из таблицы случайных чисел наугад взяли одно число. Событие ={выбранное число делится на 5}, ={выбранное число оканчивается на 0}. Что означают события , , .

4. Из множества супружеских пар наугад выбирают одну. Событие ={мужу больше 30 лет}, ={муж старше жены}, С={жене больше 30 лет}. Выяснить смысл событий , .

5. Опыт состоит в бросании двух монет. Рассматриваются следующие события: А={орел на первой монете}, B={решка на первой монете}, C={орел на второй монете}, D={решка на второй монете}, E={хотя бы один орел}, F={хотя бы одна решка} G={один орел и одна решка}, H={ни одного орла}, K={два орла}. Определить, каким событиям этого списка равносильны следующие события: 1) А+С; 2) EF; 3) G+K; 4) BD.

6. Производится наблюдение за группой, состоящей из четырех однородных объектов. Каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен или не обнаружен. Рассматриваются события: А={обнаружен один объект}, B={обнаружен хотя бы один объект}, C={обнаружено не менее двух объектов}, D={обнаружено два объекта}, E={обнаружено три объекта}, F={обнаружены все четыре объекта}, G={хотя бы один объект не обнаружен}, H={не менее трех объектов не обнаружено}, K={не обнаружено не более двух объектов}, L={хотя бы два объекта не обнаружены}. Указать, в чем состоят события: 1) A+B+D; 2) HL; 3) D+E+F; 4) BC. Выразить E, K, L, C в алгебре событий через элементарные (предварительно ввести эти события самостоятельно).

7. Относительно группы событий ответить на следующие вопросы: образуют ли они полную группу событий, являются ли несовместными, являются ли равновозможными. а) Испытание- бросание двух игральных костей, события: A={на обеих костях шестерки}, B={ни на одной кости нет шестерки}, C={на одной из костей выпала шестерка, на другой нет}, б) Испытание- передача в одинаковых условиях трех сообщений равной длины: A={искажено первое сообщение}, B={искажено второе сообщение}, C={искажено третье сообщение}.