ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Алгоритм вычисления собственных векторов линейного оператора

1) Зафиксировать произвольный базис линейного пространства и найти матрицу оператора в этом базисе;

2) Составить и решить (в множестве действительных или комплексных чисел) характеристическое уравнение (3). Его действительные корни и есть собственные значения оператора;

3) При каждом найденном собственном значении однородная система (3) будет иметь ненулевые решения. Выделив фундаментальную систему линейно независимых решений, получим либо единственный собственный вектор , либо систему r линейно независимых собственных векторов оператора, соответствующих собственному значению .

Пример 2. Задана матрица

некоторого линейного оператора в базисе пространства . Найти собственные значения и соответствующие собственные векторы оператора.

Решение.Матрица линейного оператора в базисе пространства уже задана. Для нахождения собственных значений составляем характеристическое уравнение (3):

Вычислим определитель:

Итак, получаем следующее характеристическое уравнение оператора

Его корни – собственные значения (решаем квадратное уравнение):

Алгебраическая кратность каждого собственного значения равна одному, так как каждый корень характеристического уравнения повторяется единожды.

Соответствующая однородная система (2) имеет вид

(5)

Полагая в системе (5) , получим однородную систему

(удаляем из однородной системы второе уравнение, так как оно равносильно первому уравнению), общее решение которой имеет вид

Находим соответствующую фундаментальную систему решений (положим число любым ненулевым числом, для удобства возьмем )

Аналогично положим в системе (5) . Получим однородную систему

(удаляем из однородной системы первое уравнение, так как оно равносильно второму уравнению), общее решение которой имеет вид

В заключение, выполним проверку. Убедимся в справедливости равенств

, .

Имеем

Пример 3. Задана матрица

Разложим определитель по первой строке:

Итак, получаем следующее характеристическое уравнение оператора

Его корни – собственные значения:

записанные с учетом алгебраических кратностей. Алгебраическая кратность собственного числа равна двум, так как данный корень повторяется дважды. Алгебраическая кратность собственного числа равна одному, так как данный корень повторяется однократно.

Соответствующая однородная система (2) имеет вид

(6)

Полагая в системе (6) , получим однородную систему

Решим полученную однородную систему при помощи метода Гаусса. Составляем основную матрицу этой системы и при помощи элементарных преобразований приводим ее к ступенчатому виду

Ранг полученной матрицы равен 1, в качестве базисной переменной удобно взять переменную , а в качестве свободных – переменные . Выражая через , получим общее решение

Находим соответствующую фундаментальную систему решений. Положим сначала , получим соответственно и вектор-столбец

Положим затем , получим соответственно и вектор-столбец

Вектор-столбцы есть координатные вектор-столбцы собственных векторов , отвечающих собственному числу .

Аналогично, положив в системе (6) , получим однородную систему

Ранг полученной ступенчатой матрицы равен 2, в качестве базисных переменных удобно взять переменные , а в качестве свободной – переменную . Выражая через , получим общее решение

Положив в общем решении , получим координатный вектор-столбец

собственного вектора .

В заключение, выполним проверку. Убедимся в справедливости равенства

Имеем

Проверка равенств , проводится аналогично.