ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Урахування ступеня схильності до ризику. Функція корисності.

Ризиком можна управляти, тобто використовувати різні заходи, що дозволяють певною мірою прогнозувати ризикової події і вживати заходів щодо зниження ступеня ризику. Спрощеною моделлю реальної конфліктної ситуації є гра. З метою врахування ступеня схильності або неприйнятності до традиційно ризику використовується інструментарій теорії корисності.

Лотереєю називають випадкову величину:

, де ,

де х₁, х₂, …, х_k – виграші,

р_i – частка білетів з виграшами х_i.

Участь у лотереї – це випадковий вибір одного лотерейного білета.

Детермінованим грошовим еквівалентом лотереї ξ (ДГЕ) – називається грошова сума х, яка для особи, що приймає рішення (ОПР) еквівалентна (рівноцінна) її участі в лотереї. Інакше кажучи, якщо ДГЕ лотереї рівний х, то ОПР байдуже – одержати грошову суму, рівну х, або брати участь у лотереї.

Безумовним грошовим еквівалентом (БГЕ) гри називається максимальна сума грошей, яку особа, яка приймає рішення, готова заплатити за участь у грі (лотереї), або, інакше кажучи, та мінімальна сума грошей, за яку вона готова відмовитися від гри. Кожен індивід має свій БГЕ.

Очікувана грошова оцінка розраховується як математичне очікування - сума добутків розмірів виграшів на ймовірність цих виграшів.

Індивіда, для якого БГЕ збігається з очікуваною грошовою оцінкою (ОГО) гри, тобто із середнім виграшем у грі (лотереї), умовно називають об'єктивістом, індивіда, для якого БГЕ ≠ ОГО суб'єктивістом. При цьому:

- якщо суб'єктивіст схильний до ризику, то його БГЕ > ОГО

- якщо не схильний, то БГЕ < ОГО

Для того, щоб знайти БГЕ довільної лотереї, необхідно вміти знаходити БГЕ простих лотерей, тобто лотерей з двома виграшами:

,

де р – параметр простої лотереї;

А – виграш;

а – програш.

Крива, яка встановлює відповідність між параметрами простих лотерей і БГЕ цих лотерей, називається кривою грошових еквівалентів.

На рис. 2.11 показано побудову кривої грошових еквівалентів.

Рис. 2.11. Крива безумовних грошових еквівалентів

Характерною властивістю для зображеної на рис.2.11 кривої БГЕ є те, що за будь-якого значення параметра р простий лотереї :

.

Маточікування виграшу в простій лотереї дорівнює:

.

- це лінійна функція змінної р, отже, графік такої функції – пряма.

Для побудови індивідуальної функції БГЕ, ОПР пропонується оцінити за певної ймовірності (наприклад, при параметрах – 50%, 25%, 75%), суму, яку вона заплатить за неучасть у грі (лотереї), тобто визначити БГЕ. Будують її за трьома або п'ятьма точками. Чим більше точок, тим точніша крива.

Припустимо, що побудована крива БГЕ простих лотерей з виграшами а й А. Нехай х – це БГЕ простої лотереї з параметром р. Тоді величина u(x) = p називається корисністю грошової суми х.

Якщо будується функція, графіком якої служить крива грошових еквівалентів, то одержують функцію корисності грошового критерію (функція u(x)).

Функція u(x) називається емпіричною функцією корисності грошового критерію (функцією корисності грошей).

Корисність грошової суми x, де збігається з ймовірністю в простій лотереї А (виграшу), участь у якій еквівалентна для того, хто приймає рішення, одержанню грошової суми х.

Основні характеристики функції корисності (рис. 2.12) полягають у тому, що:

1) функція корисності u(x) будується на підставі знаходження БГЕ лотерей, вона носить суб'єктивний характер;

2) областю визначення такої функції є інтервал ;

3) значення функції корисності знаходяться між 0 і 1, причому u(a)=0, u(A)=1.

4) функція корисності грошового критерію є монотонно зростаючою в точному значенні, тобто умова тягне за собою ;

5) якщо ОПР не схильна до ризику, то її функція корисності ввігнута. Вона відмовляється від своєї «надбавки за ризик», бажаючи впевнено одержати суму, що дорівнює БГЕ.

Рис. 2.12. Графічне зображення характеристик функції корисності

Американські вчені Дж. Нейман та О. Моргенштерн довели, що ОПР під час прийняття рішення прагнутиме до максимізації очікуваної корисності.

Функція корисності Неймана-Моргенштерна для ОПР показує корисність, яку вона приписує кожному можливому результату. У кожного ОПР своя функція корисності, яка вказує на те, що вона надає перевагу тим або іншим результатам залежно від її ставлення до ризику.

Дж. Нейман і О. Моргенштерн запропонували таку процедуру побудови індивідуальної функції корисності:

Крок 1: Надаються довільні значення корисностей виграшам для гіршого (а) і кращого результату (А). Причому для кращого результату – більше число. Тоді корисності проміжних результатів перебуватимуть у цьому проміжку [а, А].

Крок 2: Обирається із проміжку [а, А] будь-яка сума v, що відіграватиме роль БГЕ (гарантованої суми).

Крок 3: Гравцеві пропонується на вибір: одержати певну гарантовану грошову суму v, що перебуває між кращим А і гіршим а значеннями, або взяти участь у грі, тобто одержати з ймовірністю р найбільшу грошову суму S і з ймовірністю ( 1-р) найменшу суму а. При цьому, ймовірність потрібно знижувати або підвищувати доти, поки ОПР стане байдужним щодо вибору між одержанням гарантованої суми й грою.

Нехай зазначене значення ймовірності дорівнює p₀, тоді корисність гарантованої суми визначається як середнє значення (маточікування) корисностей найменшої і найбільшої сум:

.

І в такий спосіб визначаються 2-3 проміжні точки.

Приклади функцій корисності залежно від ставлення ОПР до ризику представлено в табл. 2.3.

Таблиця 2.3