ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

ВЫВОД УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ СТРУЙКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРАВЛИКИ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Переходя к изучению вопросов движения жидкости, нужно заметить, что на первых порах мы будем рассматривать движение так называемой идеальной жидкости, т. е. такой воображаемой жидкости, которая совершенно лишена вязкости, и лишь потом перейдем к изучению реальных потоков. В такой невязкой жидкости, так же как и в неподвижных реальных жидкостях, возможен лишь один вид напряжений — нормальное напряжение сжатия, т. е. гидромеханическое давление, или просто давление.

Давление в движущейся идеальной жидкости обладает теми же свойствами, что и в неподвижной жидкости, т. е. на внешней поверхности жидкости оно направлено по внутренней нормали, а в любой точке внутри жидкости—по всем направлениям одинаково.

Течение жидкости может быть установившимся (стационарным) или неустановившимся (нестационарным).

Установившееся течение—это течение неизменное по времени, при котором гидромеханическое давление и скорость являются функциями лишь координат, но не зависят от времени. Давление и скорость могут изменяться при перемещении частиц жидкости из одного положения в другое, но в данной неподвижной относительно русла точке величины давления и скорости при установившемся движении не меняются по времени.

Математически это можно записать так:

где индексы у скорости означают проекции этой скорости на соответствующие оси, жестко связанные с руслом.

В частном случае установившеесятечение может быть равномерным, когда скорость каждой частицы не меняется с изменением ее координат.

В общем случае неустановившегося течения давление и скорость зависят как от координат, так и от времени, т. е.

Примерами неустановившегося течения жидкости могут служить постепенное опорожнение сосуда через отверстие в дне или движение жидкости во всасывающей или напорной трубе простого поршневого насоса, поршень которого совершает возвратно-поступательное движение.

Примеры установившегося течения: истечение жидкости из сосуда, в котором поддерживается постоянный уровень; движение жидкости в замкнутом трубопроводе, создаваемое работой центробежного насоса с постоянным числом оборотов.

Исследование установившихся течений гораздо проще, чем неустановившихся. В дальнейшем мы будем рассматривать главным образом установившиеся течения и лишь некоторые частные случаи неустановившегося течения.

Траектории частиц жидкости при установившемся течении являются неизменными по времени кривыми.

При неустановившемся течении траектории различных частиц, проходящих через данную точку пространства, будут иметь разную форму. Поэтому для рассмотрения картины течения, образующейся в каждый данный момент времени, вводится понятие линии тока.

Линией тока называется такая линия в движущейся жидкости, касательные к которой в любой ее точке совпадают с направлением векторов скорости частиц, расположенных на этой линии в данный момент времени (рис. 22).

Очевидно, что в условиях установившегося течения линия тока совпадает с траекторией и не изменяет своей формы с течением времени.

Если в движущейся жидкости взять элементарный замкнутый контур и через все его точки провести линии тока, то образуется трубчатая поверхность, называемая трубкой тока. Часть потока, заключенная внутри трубки тока, называется струйкой (рис. 23).

При стремлении поперечных размеров струйки к нулю струйка в пределе обращается в линию тока.

В любой точке боковой поверхности струйки, т. е. трубки тока, векторы скорости направлены по касательным, а нормальные к этой поверхности составляющие скорости отсутствуют, следовательно, ни одна частица жидкости ни в одной точке трубки тока не может проникнуть внутрь струйки или выйти наружу. Трубка тока, таким образом, является как бы непроницаемой стенкой, а элементарная струйка представляет собой самостоятельный элементарный поток.

Потоки конечных размеров мы будем на первых порах рассматривать как совокупность элементарных струек, т. е. течение будем предполагать струйным. Вследствие различия скоростей соседние струйки будут скользить одна по другой, не перемешиваясь друг с другом.

Живым сечением или просто сечением потока называется в общем случае поверхность в пределах потока, проведенная нормально к линиям тока. Обычно в потоках рассматривают такие участки, в которых струйки можно считать параллельными и, следовательно, живые сечения — плоскими.

Различают течения жидкости напорные и безнапорные. Напорными называют течения в закрытых руслах без свободной поверхности, а безнапорными — течения со свободной поверхностью. При напорных течениях давление вдоль потока обычно переменное при безнапорном—постоянное (чаще всего атмосферное). Примерами напорного течения могут служить течения в трубопроводах с повышенным (или пониженным) давлением, течения в гидромашинах и других гидроагрегатах. Безнапорными являются течения в реках, открытых каналах и лотках. В данном курсе мы будем рассматривать почти исключительно течения напорные.

РАСХОД. УРАВНЕНИЕ РАСХОДА

Расходом называется количество жидкости, протекающее через живое сечение потока (струйки) в единицу времени. Это количество можно измерять в единицах объема, в весовых единицах или в единицах массы, в связи с чем различают расходы объемный Q, весовой G и массовый М.

Для элементарной струйки, имеющей бесконечно малые площади сечений, можно считать скорость одинаковой во всех точках каждого сечения. Следовательно, для элементарной струйки объемный расход будет равен

где dS—площадь сечения струйки, весовой расход

и массовый расход

Для потока конечных размеров в общем случае скорость имеет различное значение в разных точках сечения; поэтому расход должен подсчитываться как сумма элементарных расходов струек, т. е.

Обычно в рассмотрение вводится средняя по сечению скорость, равная

отсюда

Основываясь на законе сохранения вещества, на предположении о сплошности (неразрывности) течения и на указанном выше свойстве трубки тока, заключающемся в ее «непроницаемости», можно для установившегося течения несжимаемой жидкости утверждать, что расход во всех сечениях элементарной струйки (см. рис. 23) один и тот же, т. е.

Это уравнение называется уравнением расхода для элементарной струйки.

Аналогичное уравнение можно составить и для потока конечных размеров, ограниченного непроницаемыми стенками, только вместо истинных скоростей следует ввести средние скорости, тогда

Из последнего уравнения следует, что средние скорости в потоке несжимаемой жидкости обратно пропорциональны площадям сечений, т. е.

Очевидно, что уравнение расхода является частным случаем общего закона сохранения вещества, а также условием сплошности (неразрывности) течения.

ВЫВОД УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ СТРУЙКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Будем рассматривать установившееся течение идеальной жидкости, находящейся под воздействием лишь одной массовой силы — силы тяжести, и выведем для этого случая основное уравнение, связывающее между собой давление в жидкости и скорость ее движения.

Возьмем одну из струек, составляющих поток, и выделим сечениями 1 и 2 участок этой струйки произвольной длины (рис. 24). Пусть площадь первого сечения равна dS₁, скорость в нем V₁, давление р₁, а высота расположения центра тяжести сечения, отсчитанная от произвольной горизонтальной плоскости Z₁. Во втором сечении аналогично.

За бесконечно малый отрезок времени dt выделенный нами участок струйки под воздействием внешних сил переместится в положение 1’—2'.

Применим к этому участку струйки теорему механики о том, что работа сил, приложенных к телу, равна приращению кинетической энергии этого тела. Такими силами в данном случае являются силы давления, действующие нормально к поверхности рассматриваемого участка струйки, и лишь одна из массовых сил — сила тяжести.

Подсчитаем работу сил давления, силы тяжести и изменение кинетической энергии участка струйки за сремя dt.

Работа силы давления в первом сечении будет положительна, так как направление силы совпадает с направлением перемещения, и выразится как произведение силы (p₁dS₁) на путь (V₁dt}, т. е.

Работа силы давления во втором сечении будет иметь знак минус, так как направление силы прямо противоположно направлению перемещения, и определится выражением

Силы давления, действующие по боковой поверхности отрезка струйки, работы не произведут ввиду того, что они нормальны к этой поверхности, а следовательно, нормальны и к перемещениям.

Итак, работа сил давления будет равна

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии положения участка струйки. Веса отрезков 1—1’ и 2—2' равны между собой, т. е.

Поэтому работа силы тяжести выразится

Приращение кинетической энергии будет равно

Сложив работу сил давления с работой силы тяжести и приравняв эту сумму к приращению кинетической энергии, получим

Разделим все члены уравнения на вес. После соответствующих сокращений получим

Сгруппируем члены, относящиеся к первому сечению, в левой части уравнения, а относящиеся ко второму сечению—в правой части уравнения:

где соответствующие составляющие - нивелирная высота или геометрический напор; пьезометрическая высота или пьезометрический напор; скоростная высота или скоростной напор.

Полученное уравнение называется уравнением Бернулли для струйки идеальной несжимаемой жидкости.

Трехчлен вида

называется полным напором.

Уравнение Бернулли (4.12) записано для двух произвольно взятых сечений струйки, первого и второго, и выражает равенство полных напоров Н в этих сечениях. Так как эти сечения взяты совершенно произвольно, то, следовательно, и для любого другого сечения этой же струйки полный напор будет иметь то же значение, т. е.

Итак,для идеальной движущейся жидкости сумма трех высот: нивелирной, пьезометрической и скоростной есть величина, постоянная вдоль струйки.

Из уравнения Бернулли и уравнения расхода следует, что, если площадь поперечного сечения струйки уменьшается, т. е. струйка сужается, то скорость течения жидкости увеличивается, а давление уменьшается, и наоборот, если струйка расширяется, то скорость уменьшается, а давление возрастает.

Рассмотрим физический или, точнее, энергетический смысл уравнения Бернулли. Условимся называть удельной энергией жидкости энергию, отнесенную к единице веса, т. е.

Удельная энергия имеет линейную размерность, так же как и члены уравнения Бернулли. Нетрудно показать, что члены уравнения Бернулли являются различными формами удельной механической энергии жидкости, а именно:

z —удельная энергия положения,

p/g —удельная энергия давления движущейся жидкости,

z+ p/g — Удельная потенциальная энергия жидкости;

u²/2g – Удельная кинетическая энергия жидкости;

Н – полная удельная энергия движущейся жидкости.

Таким образом, энергетический смысл уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости заключается в постоянстве вдоль струйки полной удельной энергии жидкости. Уравнение Бернулли, следовательно, выражает собой закон сохранения механической энергии в идеальной жидкости.

В процессе движения идеальной жидкости одна форма энергии может превращаться в другую форму, но полная удельная энергия при этом, как следует из уравнения Бернулли, остается без изменения.

Уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости может быть также легко получено путем интегрирования дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости.

ВЫВОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

В потоке идеальной жидкости возьмем произвольную точку М с координатами х, у, z (рис. 27) и выделим у этой точки элемент жидкости в форме прямоугольного параллелепипеда так, чтобы. точка М была бы одной из его вершин. Ребра этого параллелепипеда пусть будут параллельны координатным осям и соответственно равны dx, dy и dz (эти произвольные элементарные отрезки не следует отождествлять с проекциями элементарного перемещения dx, dy и dz).

Составим уравнения движения выделенного элемента жидкости. Будем считать, что внутри этого объема на жидкость действует результирующая массовая сила, составляющие которой, отнесенные к единице массы, равны X, Y и Z. Тогда массовые силы, действующие на выделенный объем в направлении координатных осей, будут равны этим составляющим, умноженным на массу выделенного объема.

Разность сил давления, действующих на параллелепипед, например, в направлении оси х, будет равна

Скорость движения жидкости в точке М обозначим через u, а ее компоненты — через u_x, u_y и u_z. Тогда проекции ускорения, с которым движется выделенный объем, будут равны:

а силы, которые необходимо ввести в уравнения движения по принципу Д'Аламбера, определятся как произведения этих ускорений на массу параллелепипеда.

Уравнения движения выделенного объема жидкости в проекциях на координатные оси теперь запишутся в следующем виде

Разделим эти уравнения почленно на массу элемента rdxdydz и перейдем к пределу, т. е. стягивая параллелепипед к исходной точке М. Тогда в пределе получим уравнения движения жидкости, отнесенные к точке М:

Полученная система дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости также носит название уравнений Эйлера.

Уравнения Эйлера в таком виде справедливы как для несжимаемой, так и для сжимаемой жидкости, а также для случая, когда из числа массовых сил действует лишь сила тяжести, и для общего случая относительного движения жидкости. Они справедливы и для неустановившегося движения.

Рассматривая установившееся движение жидкости, умножим каждое из уравнений на соответствующие проекции элементарного перемещения, равные

и сложим уравнения. Будем иметь

Учитывая, что выражение в скобках является полным дифференциалом давления, а также, что

уравнение (4. 15') можно переписать в следующем виде

пли

где U—уже силовая функция.

Интегрирование этого уравнения выполним для основного частного случая установившегося движения идеальной жидкости, когда на жидкость действует лишь одна массовая сила — сила тяжести.

Для этого случая, при направлении оси г вертикально вверх

Подставляя эти значения в уравнение, получим

или

Так как в случае несжимаемой жидкости v=const, то предыдущее уравнение можно переписать в следующем виде:

Это уравнение означает, что приращение суммы трех членов, заключенных в скобку, при перемещении частицы жидкости вдоль линии тока (траектории) равно нулю. Отсюда заключаем, что указанный трехчлен есть величина постоянная вдоль линии тока, а, следовательно, и вдоль элементарной струйки, т. е.

Таким образом, мы пришли к уравнению Бернулли для струйки идеальной жидкости.