ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Проектирование БИХ-фильтра в графической среде FDATool

Цифровой фильтр

Курсовой проект

Пояснительная записка

Руководитель: Рогозин А.Н.

Автор проекта:

студент группы ПС-541

Новиков И.В.

Работа защищена с оценкой

_________________

“___”___________2012г.

Челябинск, 2012г.

Техническое задание

АФ – прототип	ЦФ	Метод синтеза	Частота дискретизации, кГц
Тип фильтра	АЧХ	, дБ	, дБ	, кГц	, кГц
ФНЧ	Ч1	0,7		1,0	7,0	БП

Ч1 – фильтр Чебышева первого рода;

БП – билинейное Z-преобразование;

В курсовом проекте будет произведен синтез БИХ фильтра нижних частот, с заданными параметрами. Расчет фильтра и построение основных характеристик будет проводиться при помощи стандартных средств MatLab, проверка полученных данных – при помощи специализированных функций MatLab (FDA Tool).

Содержание

Техническое задание……………………………………….2

Введение…………………………………………………….4

Проектирование БИХ-фильтра………………………….…7

MatLab программа…………….………………………….…24

Заключение………………………………………..…………27

Список литературы……………………….…………………28

Введение

Требования к фильтрам могут формулироваться как во временной, так и в частотной областях, что определяется назначением фильтра и областью его описания.

Во временной областитребования могут задаваться к импульсной или переходной характеристике при широких допусках к частотным свойствам фильтра.

В частотной области требования могут предъявляться:

· только к АЧХ или к характеристике ослабления (затухания) без каких-либо ограничений на ФЧХ;

· только к ФЧХ, когда важно сохранение фазовых, а потому и временных соотношений между гармоническими составляющими принимаемого сигнала; это – фазовые корректоры;

· одновременно и к АЧХ, и к ФЧХ; например, возможен синтез КИХ-фильтров с заданной АЧХ и линейной ФЧХ.

Рассмотрим задание требований к частотно-избирательным ЦФ. На рис. 1 представлена идеальная АЧХ ФНЧ и, вследствие физической невозможности ее реализации, аппроксимация при заранее определяемых допусках, зависящих от ряда практических ограничений. Эти ограничения связаны, прежде всего, с назначением синтезируемого фильтра. Все ограничения и допуски составляют требования, предъявляемые к фильтру.

Требования к фильтрам включают в себя:

1. Задание частоты дискретизации [Гц] и типа избирательности (НЧ, ВЧ и т. д.).

2. задание требований к АЧХ или к характеристике затухания , представляющей собой логарифмическую АЧХ.

При этом необходимо помнить, что:

· задание требований начинается с установки всех граничных частот фильтра только в основной полосе частот ;

· требования не задаются в переходных полосах избирательных фильтров;

· требования формулируются в виде допустимых отклонений от нормированной АЧХ и отображаются на диаграмме допусков;

· размерность выражается в абсолютных величинах, размерность выражается в дБ; связь между и характеристикой затухания определяется по формуле .

3. Выбор метода аппроксимации АЧХ (или ).

Диаграмма идеальной АЧХ ФНЧ и диаграмма допусков к отклонениям АЧХ в полосах пропускания и задерживания представлены на рис. 1. При постановке задачи синтеза идеальную АЧХ будем обозначать .

Фильтр нижних частот (ФНЧ) имеет три частотных полосы (рис. 1): полосу пропускания (ПП), полосу задерживания (ПЗ), или ослабления, и переходную полосу.

Полоса пропускания (ПП) ограничивается частотой среза ; ширина полосы пропускания ; – максимально допустимое отклонение от 1; – допустимый уровень пульсаций в полосе пропускания.

Важным является то обстоятельство, что в соответствии с методом синтез КИХ-фильтров отклонение АЧХ от 1 (соответст венно, от 0) задается симметрично , а для БИХ-фильтров отклонение задается только в одну сторону так, чтобы АЧХ не превышало единицы. Это означает, что для БИХ-фильтра, синтезируемого с теми же допусками, что и КИХ-фильтр, необходимо задавать в полосе пропускания допустимое отклонение АЧХ (причина, по которой в полосе пропускания требования к БИХ-фильтрам задаются не превышающими единицы, состоит в их синтезе по аналоговым фильтрам-прототипам).

Полоса задерживания (ослабления) (ПЗ) лежит в пределах от граничной частоты до половины частоты дискретизации ; ее ширина ; – максимально допустимое отклонение АЧХ от 0; – минимально необходимое затухание в полосе задерживания.

Переходная полоса располагается между полосами пропускания и задерживания; ее ширина ; поскольку в этой полосе требования не задаются, удовлетворительным окажется любое решение, если оно соответствует требованиям в полосах пропускания и задерживания.

Проектирование БИХ-фильтра

1. Задание на синтез ЦФ следующее:

АФ – прототип	ЦФ	Метод синтеза	Частота дискретизации, кГц
Тип фильтра	АЧХ	, дБ	, дБ	, кГц	, кГц
ФНЧ	Ч1	0,7		1,0	7,0	БП

Ч1 – фильтр Чебышева первого рода;

БП – билинейное Z-преобразование;

2. Определив минимально необходимый порядок фильтра функцией cheb1ord, с помощью функции cheby1 получим коэффициенты и и по ним запишем передаточную характеристику АФ:

Перейдём от цифровых частот к аналоговым по формуле:

- цифровые частоты;

- аналоговые частоты;

- период дискретизации

В нашем случае:

;

С помощью MatLab рассчитаем аналоговый фильтр прототип.

а)Определим минимально необходимый порядок фильтра:

Для этого используем функцию MatLab:

[n, Wo] = cheb1ord(Wp, Ws, Rp, Rs, ‘s’),

в этой функции:

n – минимально необходимый для заданных требований порядок фильтра;

Wo – частота среза фильтра;

Wp - граница полосы пропускания рад/с;

Ws - граница полосы задерживания рад/с;

Rp – допустимый уровень пульсаций в полосе пропускания, дб ;

Rs – допустимый уровень пульсаций в полосе задеживания, дб.

Параметр ‘s’ является признаком аналогового расчета.

В нашем случае:

;

б) Рассчитаем коэффициенты передачи аналогового фильтра:

Для этого используем функцию MatLab:

[b, a] = cheby1(n, Wo, type, ‘s’),

в этой функции:

type – тип фильтра;

Wo – частота среза фильтра;

n – порядок фильтра;

Тогда предаточная функция АФ-прототипа:

Построим частотные характеристики :

Для того чтобы убедиться в удовлетворении начальным требованиям, построим ЛАЧХ:

3. Рассчитаем полюсы АФ-прототипа :

4. По вычисленным с помощью функции tf2zp векторам нулей и полюсов определим векторы коэффициентов числителя b и знаменателя a передаточной функции ЦФ:

Запишем саму передаточную функцию ЦФ :

Тот же результат получается при использовании стандартной функции bilinear. Синтаксис функции:

[bz, az] = bilinear(b,a,Fs,Fp);

Здесь b и a – коэффициенты полиномов числителя и знаменателя функции передачи АФ-прототипа. Параметр Fs задает частоту дискретизации в герцах. Последний входной параметр Fp является необязательным. Если при вызове использован параметр Fp, то он задает частоту (в герцах), на которой комплексные коэффициенты передачи аналоговой и дискретной системе будут совпадать.

Fs = 30000 Гц. Параметр Fp при вызове функции я не использовал.

Построим диаграмму нулей и полюсов :

Преобразуем передаточную функцию:

Разностное уравнение имеет вид:

Обозначим коэффициенты знаменателя передаточной функции как:

Решение разностного уравнения для управляющего сигнала типа единичный скачок представим в виде диаграммы :

Построим импульсную и переходную характеристики фильтра:

Для построения импульсной характеристики фильтра используем функцию MatLab

h = impz(b, a, n);

где:

h – отсчёты импульсной характеристики;

b – вектор коэффициентов числителя передаточной функции цифрового фильтра;

a - вектор коэффициентов знаменателя передаточной функции цифрового фильтра;

n – число отсчётов импульсной характеристики.

Для построения переходной характеристики фильтра подадим на фильтр ряд единичных скачков:

g = filter(b, a, ones(1, n));

где:

g – отсчёты переходной характеристики;

b – вектор коэффициентов числителя передаточной функции цифрового фильтра;

a - вектор коэффициентов знаменателя передаточной функции цифрового фильтра;

n – число отсчётов переходной характеристики характеристики

Построим сигналы на выходе фильтра, подавая на вход сигналы (синусоиды y=10∙Sin(2πf∙t) ) с различными частотами, лежащими в полосе задержки и в полосе пропускания.

Из графиков видно, что сигнал с частотой, лежащей в полосе пропускания не изменяется, после прохождения через фильтра.

Сигнал, с частотой, лежащей в полосе задерживания практически полностью подавляется.

Графики можно сверить с частотными характеристиками и убедиться в их правильности. Так как все полюсы лежат внутри единичной окружности, то фильтр является устойчивым.

Для составления канонической структурной схемы фильтра (рис. 28) запишем уравнения:

;

Запишем коэффициенты числителя и знаменателя передаточной функции:

Каноническая структура схемы имеет вид :

Составим структурную схему фильтра в последовательной форме, для этого представим передаточную функцию в виде произведения передаточных функций не выше второго порядка

параметры каскадного представления задаются в виде матрицы, содержащей вещественные коэффициенты:

Матрицу получим используя функцию MatLab - tf2sos.

Структурная схема имеет вид:

Построим частотные характеристики ЦФ и сравним их с аналогичными характеристиками АФ :

В MatLab для расчета частотных характеристик ЦФ используется функция , где - коэффициенты передаточной функции. Возвращает АФЧХ и вектор ω круговых частот в радианах. Для расчета АП используется функция .

Логарифмическая АЧХ ЦФ имеет вид :

Масштабированная ЛАЧХ:

Из масштабированной ЛАЧХ видно что полосы пропускания и задержки удовлетворяют заданным требованиям.

Построим логарифмические характеристики в функции абсолютной псевдочастоты . Переход к псевдочастоте основан на переходе от - преобразования к - преобразованию с помощью подстановки:

С последующей заменой комплексной переменной на абсолютною псевдочастоту При этом реальная частота и псевдочастота связаны соотношением

Удобство псевдочастоты заключается в том, что, как следует из (8), на частоте где выполняется условие , она приближенно равна угловой частоте. Нетрудно убедится, что при изменении частоты в диапазоне псевдочастота принимает значение бесконечности.

Для перехода от дискретной передаточной функции разомкнутой и мпульсной системы к частотной следует сделать замену

[H_CF W_CF] = freqz(bz,az);

lam = 2*f_d*tan(W_CF*f_d/(4*f_d));

lam_p = 2*f_d*tan(w_p/(2*f_d));

lam_s = 2*f_d*tan(w_s/(2*f_d));

plot(lam,LACH_CF);

Проектирование БИХ-фильтра в графической среде FDATool

Для проверки истинности результатов проведем синтез КИХ-фильтра в графической среде FDATool.

При этом приведем основные характеристики фильтра.

АЧХ фильтра, сходится с рассчитанной ранее

ФЧХ фильтра, так же сходится

Импульсная, переходная характеристики и диаграмму полюсов и нулей так же соответствуют полученным ранее в расчете.

Импульсная характеристика

Переходная характеристика

Диаграмма нулей и полюсов

Фильтры рассчитанные в среде FDAtool и с помощью системы MatLab идентичны.

Matlab-программа синтеза БИХ-фильтра

close all;

clear all;

clc;

f_d = 30000; w_d = 2*pi*f_d; %Частота дискретизации

F_p = 1000; w_p = 2*pi*F_p; %Частота среза

R_p = 0.7; R_s = 55; %Заданные допуски на ЛАЧХ

F_s = 7000; w_s = 2*pi*F_s; %Граничная частота

[N, W_0] = cheb1ord(w_p,w_s,R_p,R_s,'s'); %Расчитываем минемально необходимый порядок и частоту среза фильтра

[b, a] = cheby1(N,R_p,W_0,'s'); %Рассчитаем коэфф. передаточной функции АФ

W = 0:5:w_d/2;

H = freqs(b,a,W); %Вычисление отсчетов комплексной АЧХ

ACH = abs(H); %Вычисление АЧХ

LACH = 20*log10(ACH); %Вычисление логарифмической АЧХ

FCH = unwrap(angle(H))*180/pi; %Вычисление ФЧХ

%Построение частотных характеристик

figure('name','Частотные характеристики');

subplot(2,1,1);

plot(W/(2*pi),ACH);

hold on;

plot([0 W_0/(2*pi) 1.00001*W_0/(2*pi) w_d/(4*pi)], [1 1 0 0], '-.r');

grid on;

legend('ACH AF','ACH IdealF');

title('ACH');

xlabel('f, Hz');

ylabel('Amplitude');

subplot(2,1,2);

plot(W/(2*pi),FCH);

grid on;

title('FCH');

xlabel('f, Hz');

ylabel('Fase(gradus)');

%Построение ЛАЧХ

figure('name','Логарифмическая АЧХ');

plot(W/(2*pi),LACH);

grid on;

title('LACH');

xlabel('f, Hz');

ylabel('Amplitude(dB)');

%Построение диаграммы полюсов

figure('name', 'Диаграмма полюсов АФ');

[z, p, k] = zplane(b,a);

grid on;

xlabel('Real');

ylabel('Imag');

%БП

[z, p, k] = tf2zp(b, a);

z_CF = (2*f_d+z)./(2*f_d-z);

p_CF = (2*f_d+p)./(2*f_d-p);

k_CF = k * prod(2*f_d - z)/prod(2*f_d - p);

Num = length(z) - length(p);

switch (Num > 0)

case 0

z_CF = [z_CF; ones(abs(Num),1)*(-1)];

case 1

p_CF = [p_CF; ones(abs(Num),1)*(-1)];

end

[bz, az]=zp2tf(z_CF, p_CF, k_CF);

[bz1, az1] = bilinear(b,a,f_d);

[zz, pz, kz] = bilinear(z, p, k, f_d);

%Построение диаграммы нулей и полюсов ЦФ

figure('name', 'Диаграмма нулей и полюсов ЦФ');

zplane(bz, az);

grid on;

xlabel('Real');

ylabel('Imag');

%Решение разностного уравнения методом итерационной процедуры

x=ones(1, 100);

h1 = impz(bz,az,100);

x1=zeros(1,length(h1)-20);

x1 = [x,x1];

for n = 1:length(h1)

y(n) = 0;

for m=1:n

y1= x1(m)*h1(n-m+1);

y(n)=y(n)+y1;

end;

figure('name', 'Кривая переходного процесса');

stem(0:length(x)-1, y(1:length(x)));

grid on;

%Построение переходной и импульсной характеристики

figure('name', 'Переходная и импульсная х-ки');

pereh = filter(bz, az, ones(1, length(h1)));

subplot(2,1,1);

stem((0:length(h1)-1), h1);

grid on;

title('Impulsnaja');

xlabel('n');

ylabel('Amplitude');

xlim([0 length(h1)]);

subplot(2,1,2);

stem((0:length(pereh)-1), pereh);

grid on;

title('Perehodnaja');

xlabel('n');

ylabel('Amplitude');

xlim([0 length(h1)]);

%Построение реакции фильтра на различные входные сигналы

figure('name', 'Реакция фильтра на различные входные сигналы');

f1 = 400;

f2 = 2500;

t_sign = 0:1/f_d:0.01;

signal_1 = 10*sin(2*pi*f1*t_sign);

signal_2 = 10*sin(2*pi*f2*t_sign);

vyx1 = filtfilt(bz, az, signal_1);

vyx2 = filtfilt(bz, az, signal_2);

subplot(2,2,1);

plot(t_sign, signal_1, 'r-');

grid on;

title('800 Hz');

subplot(2,2,2);

plot(t_sign, vyx1, 'k-');

grid on;

subplot(2,2,3);

plot(t_sign, signal_2, 'r-');

grid on;

title('2000 Hz');

subplot(2,2,4);

plot(t_sign, vyx2, 'k-');

grid on;

%Построение частотных характеристик ЦФ

figure('name', 'Частотные характеристики фильтра');

[H_CF W_CF] = freqz(bz,az);

ACH_CF = abs(H_CF);

LACH_CF = 20*log10(ACH_CF);

FCH_CF = angle(H_CF);

FCH_CF = unwrap(FCH_CF); %Устранение скачков

subplot(2,1,1);

plot(W_CF*f_d/(2*pi),ACH_CF,'k');

grid on;

hold on;

plot(W/(2*pi),ACH,'-.g')

title('ACH');

xlabel('f, Hz');

ylabel('Amplitude');

legend('ACH CF','ACH AF');

subplot(2,1,2);

plot(W_CF*f_d/(2*pi),FCH_CF*180/pi,'k');

grid on;

hold on;

plot(W/(2*pi),FCH,'-.g')

title('FCH');

xlabel('f, Hz');

ylabel('Fase(gradus)');

legend('FCH CF','FCH AF');

figure('name', 'Логарифмическая АЧХ');

plot(W_CF*f_d/(2*pi),LACH_CF);

hold on;

%построение границы полос пропускания и задержки

plot([F_s, F_s], [-250, -R_s], 'r--');

plot([F_s, max(W_CF*f_d/(2*pi))], [-R_s, -R_s], 'r--');

plot([F_p, F_p], [50, -R_p], 'r--');

plot([0, F_p], [-R_p, -R_p], 'r--');

hold off;

grid on;

xlabel('f, Hz');

ylabel('Amplitude(dB)');

%Построение ЛАЧХ ЦФ в функции абсолютной псевдочастоты

lam = 2*f_d*tan(W_CF*f_d/(4*f_d));

lam_p = 2*f_d*tan(w_p/(2*f_d));

lam_s = 2*f_d*tan(w_s/(2*f_d));

figure('name', 'Логарифмическая АЧХ в функции абсолютной псевдочастоты');

plot(lam,LACH_CF);

hold on;

%построение границы полос пропускания и задержки

plot([lam_s, lam_s], [-215, -R_s], 'r--');

plot([lam_s, max(lam)], [-R_s, -R_s], 'r--');

plot([lam_p, lam_p], [50, -R_p], 'r--');

plot([0, lam_p], [-R_p, -R_p], 'r--');

hold off;

axis([0 lam(length(lam)) LACH_CF(length(LACH_CF)) 50]);

grid on;

xlabel('lam');

ylabel('Amplitude(dB)');

[sos,g] = tf2sos(bz,az)

Заключение

Синтез БИХ-фильтра нижних частот с требуемыми параметрами был проведен успешно. Разработка проводилась без использования стандартных функций для синтеза ЦФ и с их использованием. Результаты получились идентичными. Проверка полученных результатов в графической среде FDATool показала, что расчет фильтра был произведен верно.

Литература

1. Синтез цифровых фильтров: руководство к курсовой работе /Сост. Г.В. Малинин, Н.М. Лазарева; Чуваш. ун-т. Чебоксары, 2006. 68 с.

2. Цифровая обработка сигналов/А. Б. Сергиенко – СПб.: Питер, 2002. – 608 с.

3. Сигналы и их обработка в электронных устройствах: Учебное пособие/Белов Г. А.; Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 1996. 376 с.