ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

ДЕФОРМАЦИЯ МЕН ОРЫН АУЫСТЫРУ

Қандай дене болмасын сыртқы күш әсерінен өздерінің өлшемдері мен формаларын өзгертеді, деформацияланады.

Дененің сызықты өлшемдерінің өзгеруі сызықтық деформация, ал бұрыштық өлшемдерінің өзгеруі бұрыштық деформация делінеді.

Деформация нәтижесінде дененің сызықтық өлшемінің өcyi – созылу (ұзару), ал кемуі – сығылу (қысқару) деп аталады.

Деформация материалдың атомдарының ара қашықтықтарының өзгеруі мен атом блоктарының орын ауыстыруы салдарынан туады. Оның табиғатын толық зерттеп білу үшін, жазық дененің кез келген нүктесінің жанынан өзара перпендикуляр АВ, СA түзулерін алайық (I. 3, а-сурет).

Дене деформацияланғанда АС түзу сызығы шамасына ұзарады (I. 3, б-сурет). Оның орташа сызықтық салыстырмалы деформациясы келесі формуламен анықталады.

(1.01)

1.3-сурет

Бұл қатынастың бөліміндегі АС кесіндісінің ұзындығы нөлге ұмтылғандағы шегі, А нүктесіндегі толық салыстырмалы деформацияны аныктайды

. (1.02)

Енді бұрыштық деформацияны қарастырайық. Деформацияға дейінгі ВАС тікбұрышы мен деформациядан кейінгі В'А'С сүйір бұрышының арасындағы айырма берілген нүктенің бұрыштық деформациясын сипаттайды.

Сонымен күш түскен дененің кез келген нүктедегі деформациясы сызықтық салыстырмалы және бұрыштық деформациялармен сипатталады. Денеде пайда болған сызықтық және бұрыштық деформациялар сырттан әсер етуші күш жойылғанда толық жойылуы немесе жойылмауы да мұмкін. Сыртқы күш әсері жойылғанда, денедегі деформация да жойылса, ондай деформацияны серпімді деп, ал деформация толық жойылмай қалса, онда қалдық деформацияны пластикалық деформация деп атайды. Егер дененің бекіту шарттары мен нүктелеріндегі деформацияның шамасы белгілі болса, онда кез келген нүктенің деформациядан кейінгі орнын, яғни орын ауыстыру шамасын анықтауға болады. Машина бөлшектері серпімді деформацияланғанда ғана, олардың жұмыс істеу қабілеті қамтамасыз етіледі. Сондықтан, нүктелердің ең үлкен орын ауыстыру шамасы белгілі бip мүмкіндік шамадан аспауы керек. Мұндай шарт теңсіздік ретінде көрсетіліп, қатаңдық шарты деп аталады.

7 – сұрақ

Ішкі күштер дененің бір бөлігімен екінші бөлігіне көлденең қима арқылы үздіксіз жайыла таралып беріледі Олардың әсер ету заңдылығын білу үшін қима бетінде жатқан нүктесін қарастырайық (1.5, а-сурет). Нүктені қоршаған шексіз кіші ауданды , ал ол ауданға сәйкес келетін ішкі күшті деп белгілейік. Ішкі күш ның шексіз кіші аудан ке қатынасы

1.5-сурет

нүктесіндегі ішкі күштің орташа шамасын – орташа кернеуді аңықтайды.

. (1.04)

Шексіз кіші аудан нөлге ұмтылғандағы көрсетілген қатынастың шегі В нүктесіндегі толық кернеу деп аталады:

. (1.05)

Толық кернеудің көлденең қима жазықтығына перпендикуляр OZ өсте, түсіріген проекциясы тік кернеудеп аталып, OZ әрпімен белгіленеді, ал қима бетіне түcipiлгeн проекциясы жанама кернеудеп

1.6-сурет

аталып, әрпімен белгіленеді (1.5, б-сурет).

Суреттен, толық кернеу ,екендігін көреміз.

8 – сұрақ

ПАРАЛЛЕЛЬ ӨСТЕРГЕ ҚАРАҒАНДА ИНЕРЦИЯ МОМЕНТЕРІНІҢ АРАСЫНДАҒЫ ТӘУЕЛДІЛІК

Қиманың өзара перпендикуляр X, У центрлік өстеріне қарағандағы

4.4-сурет

инерция моменттері белгілі дейік. Енді осы өстерге параллель жаңа өстеріне қарағандағы инерция моменттерінің шамаларын анықтайық (5.4-сурет). Бөлініп алынған тің ХОУ жүйесіндегі координаттары х, у, ал жүйесіндегі координаттары = x+a, =y+b болсын.

Фигураның және өстеріне қарағандағы инерция моменттері төмендегі интегралдар мен анықталады

Бұл өрнектердегі интегралдары, центрлік Х, У

өстеріне қарағандағы статикалық моменттер болғандықтан нөлге тең, олай болса:

. (5.06)

Сонымен, фигураның кез келген центрлік өсіне параллель өске қарағандағы өстік инерция моменті, центрлік өстік инерция моментіне, фигураның ауданын осы өстердің ара қашықтығының квадратына көбейтіп қосқанға тең. Центрлік өске қарағандағы өстік инерция моменті, осы өске параллель, кез келген өске қарағандағы өстік инерция моменттерінен кіші.

Фигураның өзара перпендикуляр центрлік өстеріне параллель өстерге қарағандағы центрден тепкіш инерция моменті, фигура ауданының осы өстердің ара қашықтықтарына көбейтіп қосқанға тең (5.4-сурет).

Жалпы жағдайда, күрделі фигуралардың инерция моменттері келесі формулалармен анықталады

(5.07)

15 – сұрақ

БҰРЫЛҒАН ӨСТЕРГЕ ҚАРАҒАНДАҒЫ ИНЕРЦИЯ МОМЕНТТЕРІНІҢАРАСЫНДАҒЫ БАЙЛАНЫС

Қиманың ауырлық центрі арқылы өтетін өзара, перпендикуляр X, У өстеріне қарағандағы инерция моментері белгілі болсын (5.5-сурет).

Енді қиманың осы өстерге бұрышын жасайтын центрлік өстеріне қарағандағы инерция моменттерін табайық (өстердің сағат тіліне қарсы бағытта бұрылуы оң деп қабылданған).

4.5-сурет

Ол үшін -тің берілген ХО жүйеciндeгi координаттары мен жаңа Х₁ОУ₁ жүйесіндегі координаттарының арасындағы өзара байланысты анықтайық

Олай болса

(5.08)

(5.09)

(5.10)

Алынған 5.08 және 5.09 өрнектерін қоссақ екенін көреміз.

Яғни, өзара перпендикуляр өстерге қарағандағы инерция моменттерінің қосындысы, осы өстерді кез келген біp бұрышқа бұрғаннан өзгермей, тұрақты болып қалады.

Енді, өстік инерция моменттерінің айырмасын қарастырсақ

өзара перпендикуляр өстерге қарағандағы өстік инерция моменттерінің айырмасы, осы өстерге қарағандағы центрден тепкіш инерция моментінің шамасына тең екенін көреміз.

11 – сұрақ

ИНЕРЦИЯНЫҢ БАС ӨCTEPI, БАС MOMEHTTEPI

Алдыңғы параграфта алынған 5.08, 5.09, 5.10 формулаларына қарап инерция моменттерінің тек бұрышына (5.5-сурет) тәуелді екенін байқауға болады. Олай болса, өстің инерция моменттерінің экстремальді, мәндеріне сәйкес бұрышының мәнін анықтауға болады. Ол үшін 5.08 немесе 5.09 өрнегінен біp рет туынды алып, оны нөлге теңестірсек болғаны.

осыдан

(5.11)

Алынған формула бойынша бұрышының екі мәні бар: біpі ao екіншісі 90°; демек инерция моменттерінің мәні экстремальды өзара перпендикуляр екі-ақ өс бар. Бұл өстер бас өстер деп аталады, оларға қарағандағы өстік инерция моменттері бас инерция моменттері деп аталады. Бас өстерге қарағандағы центрден тепкіш инерция моменті нөлге тең.

Енді 5.08 және 5.09 өрнектеріндегі -нің орнына қойып, бас инерция моменттерің анықтаймыз (5.5-сурет).

Өрнектерді тригонометриялық функциялардан босатып басты инерция моментерінің формулаларын келесі түрге келтіруге болады

. (5.12)

Өстік инерция моменті мен қима ауданының арасындағы байланыс арқылы табылатын шаманы

қиманың инерция радиусы деп атайды.

Жарты өстері бас инерция радиустеріне тең ( ), бас өстерге тұрғызылған эллипс – инерция эллипсі деп аталады, келесі теңдеумен өрнектеледі

Инерция эллипсінен кез келген центрлік өске карағандағы инерция моментін табуға болады. Мысалы, X_i өсіне қарағандағы инерция моментін табу үшін, осы өске параллель эллипске жанама жүргізіледі. Эллипс центрінен жанамаға түсірілген перпендикулярдың (СА) ұзындығы инерция радиусының (i_x) шамасына тең (5. 9-сурет). Инерция радиусы арқылы, инерция моментін келесі формуламен анықтауға болады

16 – сұрақ

ТАРАЛҒАН КҮШТІҢ ҚАРҚЫНДЫЛЫҒЫ, ЖАНАМА КҮШ, ИЮ МОМЕНТІ АРАЛАРЫНДЫҒЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ БАЙЛАНЫС

Бip қалыпты таралған күштің қарқындылығы, жанама күш, ию моменті аралағындағы дифференциалдық байланыстарды анықтау үшін 6.4-суреттегі арқалықты қарастырайық. Сол жақтағы А тірегінен z қашықтығында жатқан көлденең қимада пайда болатын жанама күштің өрнегі

, (6.02)

ал қашықтығында жатқан көлденең қимадағы жанама күштің өрнегі

(6.03)

Соңғы 6.03 теңдеуінен 6.02 теңдеуін алып

немесе (6.04)

екенін көреміз.

Демек, кез келген қимадағы жанама күштің өрнегінен z бойынша алынған бірінші туынды, сол аралықтағы әсер етуші бip қалыпты таралған күштің қарқындылығына тең.

Абсциссасы -ке тең көлденең қимадағы ию моменті

(6.05)

ал абсциссасы z+dz-ке тең көлденең қимадағы ию моментінің өрнегі

5.5-сурет

(6.06)

Соңғы (6.06) теңдігінен (6.05) теңдігін алып

(6.07)

екенін көреміз.

Демек, кез келген көлденең қимадағы ию моментінің өрнегінен z бойынша алынған бірінші туынды, осы қимадағы жанама күшке тең. Олай болса

(6.08)

Көлденең қимадағы ию моментінің өрнегінен z бойынша алынған екінші туынды осы аралықта әсер етуші бip қалыпты , таралған күштің қарқындылығына тең.

Алынған 6.04, 6.07, 6.08 теңдіктер жанама күш, ию моменті, таралған күштің қарқындылығы аралағындағы дифференциалдық байланыстар деп аталады.

. ЖАНАМА КҮШ ПЕН ИЮ MOMEHTІ

Қос терікті иілген арқалықтың көлденең қималарындағы ішкі күштерді анықтайық . Кез келген т-т қимасындағы ішкі күштерді табу үшін, қию әдесі бойынша, сол қима арқылы арқалықты екіге бөліп, біp бөлігін алып тастаймыз. Алып тасталынған бөліктің қалған бөлікке әсерін көлденең күш пен ию моментімен алмастырамыз. Қалған бөлік сыртқы күштер мен ішкі күштердің әсерінен тепе-теңдік күйде болуы тиіс.

Статиканың бірінші теңдеуі

осыдан

яғни кез келген т-т қимасындағы көлденең күш Q(z), сол қиманың біp жағында әсер етуші сыртқы күштердің У өсіне түсірілген проекцияларының алгебралық қосындысына тең. Статиканың екінші тендеуі

осыдан

Яғни, кез келген т-т қимасындағы ию моменті М( ) сол қиманың біp жағында жатқан сыртқы күштердің С нүктесіне қарағандағы моменттерінің алгебралық қосындысына тең (С нүктесі т-т қимасының ауырлық центрі).

6.2-сурет

Бір қалыпты таралған күштерді өсіне проекциялау үшін немесе С нүктесіне қарағандағы моментін анықтау үшін оларды биіктігі q-ға, ұзындығы -ке тең тік төртбұрыштың ауырлық центрі арқылы өтетін қорытынды R_q = Qz күшімен алмастырады.

Көлденең күш пен ию моментінің таңбалары туралы келесі ережелер қабылданады. Көлденең т-т қимасының сол жағында әсер eтiп тұрған сыртқы күштердің қорытынды күші (R) төменнен жоғары қарай ал оң жақтағы сыртқы күштердің қорытынды күші (R) жоғарыдан төмен қарай бағытталған болса, ол қимадағы жанама күш Q(z) оң таңбалы болып саналады. Кері жағдайда жанама теріс таңбалы. Көлденең қимасының сол жағындағы әсер етуші сыртқы күштердің осы қиманың ауырлық центріне қарағандағы қорытынды моменті (М) сағат тілімен бағыттас, ал оң жағындағы күштердің қорытынды моменті сағат тіліне қарсы бағытта болса, ол қимадағы ию моменті оң таңбалы деп саналады (6. 3, а-сурет). Kepi жағдайда ию моменті M(z) теріс таңбалы (6. 3, б-сурет).

ЖАНАМА КҮШ ПЕН МОМЕНТІНІҢ ЭПЮРЛЕРІН ТҰРҒЫЗУ

Ию моменті мен жанама күштің бойлық өс бойымен өзгеру заңдылығын көрсету үшін олардың эпюрлері тұрғызылады. Эпюрлерді тұрғызу тәртібі келесі мысалда көрсетілген.

6.1-мысал. Берілген арқалық үшін мен эпюрлерін тұрғызыңыз (6.5,a-сурет).

Шешуі. 1.Тірек реакцияларын анықтау. Тіректердің

реакцияларын анықтау үшін оларды , өстерімен бағыттас деп қарастырып, статиканың 6.01 теңдеулерін пайдаланамыз.

5.6-сурет

Бойлық өс бойымен әсер етуші сыртқы күш жоқ болғандықтан, А тірегіндегі реакцияның горизонталь құраушысы нөлге тең.

Жылжымайтын тіректің реакциясын анықтау үшін, жылжымалы тіректің топсасына қарағандағы сыртқы күштердің моменттерін нөлге теңестіреміз.

-реакциясының теріс таңбасыоның алдын ала қабылданған

бағытын кері өзгерту керек екенін көрсетеді.

Дәл осылай, реакциясын анықтаймыз.

Жылжымалы тіректің реакциясын анықтау үшін, теңдеуінің орнына басқа теңдеуін пайдалануға болады. Көбінесе, теңдеуі тірек реакцияларын анықтау үшін емес, анықталған реакциялардың дұрыстығын тексеруге қолданылады.

Егер аралықтың (раманың) бір ұшы қатаң бекітіліп, екінші ұшы бос болса, тірек реакцияларын (

анықтау қажетсіз болар еді. Өйткені, аралықтардағы ішкі күштерді бос ұшынан бастап анықтауға болады.

2. Көлденең күштер мен ию моменттерін анықтау. Аралықтың көлденең күштері мен ию моменттері тұрақты заңдылықтармен өзгеретін бөлігі аралық деп аталады. Сыртқы қадалған күштер моменттер әсер етіп тұрған қималар таралған күштердің әсері басталған немесе аяқталған жерлеріне сәйкес келетін қималар аралықтардың шекараларын анықтайды. Берілген аралық рим цифрларымен белгіленген үш аралықтан тұрады.

Бірінші аралық; мұндағы координат басынан ішкі күштер анықталатын қимаға дейінгі ара қашықтық, индексі аралық номерін көрсетеді. Жанама күш пен ию моментінің анықтамалары мен таңбалары туралы ережеге сүйеніп, олардың өрнектерін құрамыз (6.5,б-сурет).

болғанда,

Бірінші аралықта -ге тәуелсіз тұрақты шама, ал ге тәуелді сызықтық функция.

Екінші аралық; (6.5,в-сурет).

болғанда,

болғанда

Екінші аралықта да тұрақты шама, сызықты функция.

Үшінші аралық (6.5, г-сурет). Үшінші аралықтың қимасындағы ішкі күштерді анықтау үшін, қима әдісі бойынша аралықты осы қима арқылы екіге бөліп, оң немесе сол жақ бөліктерінің тепе-теңдік күйін қарастыруға болады. Сол бөлігінің оң бөлігіне қарағанда сыртқы күш факторлары көп болғандықтан,статикалық теңдеулері де күрделі. Сондықтан, ішкі күштерді оң бөлігінің тепе-теңдік теңдеулерінен анықтаған ыңғайлы.

болғанда,

ке тәуелді сызықты функция, ал квадратты парабола заңдылығымен өзгереді.

Үшінші аралықта жанама күш оң таңбасын теріс таңбаға ауыстырады. Демек, қандай да бір қимада жанама күш нөлге тең осыдан

мұндағы арлықтың оң ұшынан жанама күш нөлге тең қимаға дейінгі ара қашықтық.

Жанама күш пен ию моментінің арасындағы дифференциалдық байланысты ескерсек

үшінші аралықтың қималарындағы ию моменттерінің ең үлкен екенін көреміз.

Енді, аралықтың бойлық өсіне параллель өстер жүргізіп, осы өстерге, қималардағы пен тің табылған мәндері белгілі бір масштабпен перпендикуляр бағытта өлшеп саламыз.Табылған нүктелерді қосып, жанама күш пен ию моментінің эпюрлерін аламыз (6.5, д,е-сурет).

20 – сұрақ

АУМАЛЫ КҮШ. ЭЙЛЕР ФОРМУЛАСЫ

Сығушы күштің шамасы аумалы күшке теңелгенде арқалық орнықтылығын жоғалтпай, шамалы иіліп, талғаусыз тепе-теңдік күйде болады (7.2, а-сурет).

Ию моментінің таңбалары туралы ереже бойынша, иілген арқалықтың дөңес жағы жоғары жатса, оның қималарындағы ию

7.1-сурет

моменттері теріс, иілу мөлшерлері оң таңбалы, ал дөңес жағы төмен жатса, ию моменті оң, иілу мөлшері теріс таңбалы.

Олай болса, координаты -ке тең. арқалықтың қимасындағы ию моменті

. (7.01)

Арқалық серпімді деформацияланады деп, серпімді сызығының, дифференциалдық тендеуін құрайық:

немесе (7.02)

Енді (7.03)

деп белгілейік. Сонда 7.02 теңдеуін келесі түрде жазуға болады.

(7.04

Бұл сызықты дифференциалдық. теңдеудің шешімі

Мұндағы А және В — тіректердегі келесі шарттарды қанағаттандыратын интегралдық тұрақты шамалар.

болса, ,z = l болса, у=0

Бірінші шарт бойынша А=0, өйткені cos sin = 0. Олай болса,

(7.05)

Екінші шарт бойынша . Егер = 0 болса, онда арқалықтың кез келген қимасындағы иілу мөлшері нөлге тең болғаны. Бұл шешім есептің бастапкы шартына қайшы, сондықтан , , яғни осыдан

немесе (7.06)

Алынған 7.03, 7.06 теңдіктерін салыстырып

екенін көреміз.

Сығылған арқалық орнықтылығын ең кiшi қатаңдық жазықтығында жоғалтады, олай болса , яғни

. (7.07)

Енді стреженьнің орнықты тепе-тендік күйінен ауытқуына сәйкес, аумалы күштің ең кіші мәнін табайық..

болса .

Бұл шешім есептің бастапқы шартына қайшы, демек аумалы күш болғанда өзінің ең кіші мәніне ие болады

(7.08)

Бұл формуланы 1744 жылы Петербург академиясының академигі Л.Эйлер формуласы деп атайды. Егер 7.05, 7,06 теңдеулерін бірге қарастырсақ, сығылған арқалықтың серпімді сызығы келесі теңдеумен өрнектеледі:

болса яғни

(7.09)

Соңғы теңдеуден бойынша туынды алып, нөлге теңестірейік

мұндағы олай болса,

Косинустың ең кіші мәніне сәйкес аргумент болғандықтан,

осыдан (7.10)

болғанда z=l/2. Демек, талғаусыз күйдегі қос тіректі

арқалықтың серімді сызығы синусоиданың жарты толқынына сәйкес келеді, ең, үлкен иілу мөлшері ортасында жатады (7.2,а-сурет).

болса болса, . Яғни, тірек аралығындағы синусоидалық жарты толқындардың саны -ге тең (7.2,б, в-сурет).

20 – сұрақ

Дағдарыс кернеу. Эйлер формуласының қолдану шегі.Бойлық жүктелген стерженьнің кӛлденең қимасында тік кернеу туындайды және оның шамасы жүктеме ӛскен сайын ӛседі. Дағдарыс күшке сәйкес келетін тік кернеуді дағдарыс кернеу деп атайды

19 – сұрақ

Ясинский формуласы. Іс жүзінде, кӛптеген конструкция элементтері иілгіштігі шектік мәннен кем стержень болып келеді. Мұндай стержендерді орнықтылыққа есептеудің басқа әдісін Ф.С. Ясинский ұсынды. Алдын-ала кӛптеген зерттеулердің нәтижелерін талдап және кӛптеген материалдардың ау s

мен l арасындағы тәуелділікті сызбаша кескіндеп, пропорционалдық шектен үлкен дағдарыс кернеулерді анықтайтын келесі эмпирикалық формуланы қорытып шығарды

мұндағы a,b - материалдарға байланысты, тәжірибе жүзінде анықталатын,

қабылданатын тұрақты коэффициенттер. Бұл формуланы Ясин формуласы деп

атайды. Кейбір материалдар үшін, a,b коэффициенттері 2.1-кестеде берілген.