ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Знакоположительные ряды. Теоремы сравнения.

Лекция 5

Тема: Числовой ряд. Ряд из членов геометрической прогрессии. Необходимый признак сходимости ряда. Действие над рядами. Законоположительные ряды. Признаки сравнения.

Определение ряда. Определение сходимости ряда. Примеры.

Определение 1. Выражение вида + = называется рядом, , …- члены ряда, - общий член ряда.

Вначале будем изучать ряды, членами которых являются действительные числа.

Приведем примеры рядов:

– гармонический ряд,

= + q+ +… а - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии.

Определение 2. Ряд называется сходящимся, если существует предел его частных сумм, т.е. , где - сумма первых n членов ряда. Если не существует, то ряд называется расходящимся.

Пример 1. Исследовать на сходимость гармонический ряд

Решение: Рассмотрим группу слагаемых

, где каждая их скобок больше .

Отсюда следует, что , т.е. предел не существует, т.к. при n число скобок в тоже стремиться к . Гармонический ряд расходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд из членов геометрической прогрессии , a , q

Решение: Рассмотрим частичную сумму данного ряда.

(1-q)

Если q то = .

Рассмотрим предел частичных сумм:

Остается рассмотреть случай, когда q=1. В этом случае имеем ряд а+а+а….,

, т.к. а .

Итак, ряд из членов геометрической прогрессии при сходится и его сумма s= , а при расходится.

Пример 3. Найти сумму ряда .

Решение. Данный ряд является рядом из членов геометрической прогрессии, где а=2, q= Так как , то данный ряд сходится и s=

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд . Является рядом из членов геометрической прогрессии, где a=-2, q= -1. Так как , то данный ряд расходится.

Необходимый признак сходимости.

Теорема 1. Если ряд сходится, то предел его общего члена равен 0,

т.е. .

Доказательство. По условию данный ряд сходится. Это означает, что

, … = lim( - )= .

Следствие. Если общий член ряда к нулю не стремится, то ряд расходится.

Действие над рядами.

1) Сложение рядов.

Пусть даны два ряда Суммой двух рядов называется ряд

Теорема 2.Если ряды сходятся соответственно к то ряд сходится к .

Доказательство. По условию ряды сходятся, то и

2) Умножение ряда на число.

Произведение ряда на число или числа на ряд называется ряд (3)

Теорема 3. Если ряд сходится и его сумма равна s, то ряд тоже сходится и его сумма равна .

Если то оба ряда и либо одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Доказательство. Справедливость теоремы вытекает из равенства:

Теорема 4. Сходимость ряда не измениться если отбросить или прибавить конечное число первых членов ряда.

Доказательство. Рассмотрим два ряда:

+ +….+ + …+ +… (4)

+ +…+ +… (5)

Справедливость теоремы вытекает из равенства:

= + +….+ + …+ = + ,где является константой, не зависящей от n.

Знакоположительные ряды. Теоремы сравнения.

Ряд называется знакоположительным, если .

Теоремы, которые справедливы для знакоположительных рядов, справедливы для знакоотрицательных рядов, так, как умножение ряда на (-1), сходимость ряда не изменяет.

Теорема 5:

Для того, чтобы знакоположительный ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху.

Доказательство. Дан знакоположительный ряд

, , , = + + …+ .

….. ….

Последовательность частичных сумм , неубывающая. Для того, чтобы неубывающая последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху.

Теорема 6:

Пусть даны два знакоположительных ряда (1) , для которых выполняются неравенства

Тогда если ряд (2) сходится, то ряд (1) тоже сходится. Если же ряд (1) расходится, то ряд (2) тоже расходится.

Доказательство. Справедливость теоремы вытекает из неравенства = + …+ + +… = и теоремы 4. В самом деле, если ряд (2) сходится, то последовательность { } ограничена сверху, тогда { } ограничена сверху и ряд (1) сходится. Если ряд (1) расходится, то { не ограничена сверху и тем более не ограничена сверху. Следовательно, ряд (2) расходится.

Замечание 1. Учитывая теорему 3, можно утверждать, что теорема 5 справедлива при выполнении неравенств , .

Чтобы применять теорему 5 при исследовании сходимости рядов, нужно иметь набор сходящихся и расходящихся рядов. Примером сходящихся рядов могут служить знакоположительные ряды из членов геометрической прогрессии при q , а примерами расходящихся рядов могут быть знакоположительные ряды из членов геометрической прогрессии, при 1 .

Примером расходящегося ряда может служить гармонический ряд .

Ряды Дирихле:

Ряды Дирихле мы исследуем позже с помощью интегрального признака Коши.

А сейчас отметим, что ряды Дирихле при 1<S сходятся, а при S расходятся.

Ряд Дирихле при S=1 является гармоническим рядом.

Пример 5:Исследовать на сходимость ряд .

Решение: 0 , . Так как ряд Дирихле сходится, то по теореме сравнения данный ряд тоже сходится.

Пример 6:Исследовать на сходимость ряд

Решение: < Так как гармонический ряд расходится, то данный ряд тоже расходится.

Теорема 7:

Пусть даны два знакоположительных ряда (1) ; для которых существует предел = c , то ряды (1) и (2) либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.

Пример 7:Исследовать на сходимость ряд

Решение: так как Sinx при x то данный ряд надо сравнить с рядом Дирихле , который сходится.

Рассмотрим предел = 1 0 в силу первого замечательного предела.

Следовательно, данный ряд сходится.