ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Доказательство формулы Коши.

Лекция 12

Тема: Интегрирование функций комплексного переменного. Теорема Коши. Интеграл Коши. Особые точки. Вычеты.

Интегрирование функций комплексного переменного.

Пусть дана произвольная функция w= комплексного переменного, определенная в некоторой области G комплексной плоскости переменного z, и Г-произвольная спрямляемая линия, лежащая в области G, с началом в точке B и концом в точке C. Кривую BC разобьем произвольным способом на n частей точками B=z₀,z₁,z₂,…, z_n=C .Это разбиение обозначим через (Т). Пусть ,

где . В каждом из участков разбиения произвольным способом выберем по точке ζ₁, ζ₂,…, ζ_n и составим сумму , которая называется интегральной суммой. Предел таких интегральных сумм при называется криволинейным интегралом от функции по кривой Г.

(1)

Имеем: тогда интеграл запишется в виде:

(2)

Формула (2) дает выражение интеграла по комплексному переменному через два криволинейных интеграла. Формулу (2) можно записать в следующем виде:

(3)

Вычисление интеграла от функции комплексного переменного.

Пусть кривая Г задана в виде , тогда будем иметь:

, где

Пример 1. Пусть Г- кусочно-гладкая кривая, соединяющая точки . Тогда интеграл

Если Г замкнутая кривая, то .

Основные свойства интеграла функции комплексного переменного

1. , где Г⁺ и Г^‑ один и тот же путь, который проходится в положительном и отрицательном (противоположном) направлении.

12.4. Теорема Коши. Вообще говоря, по двум различным путям, соединяющим две точки В и С, может иметь различные значения, т.е. интеграл может зависеть от пути интегрирования. Как и в случае с криволинейным интегралом возникает вопрос: какие условия надо наложить на функцию , чтобы не зависел от пути интегрирования.

Задача о независимости интеграла от пути интегрирования равносильна задаче нахождения условий, при которых данный интеграл, взятый по любому замкнутому контуру, равен нулю.

Итак, предположим, что функция является аналитической в односвязной области G, причем непрерывны вместе с частными производными первого порядка.

Так как является функцией аналитической в области G, то в этой области выполняются условия Коши-Римана: На основании формулы (2) имеем:

(4)

Рассмотрим криволинейный интеграл , для которого

. Так как , , то в силу выполнения условий Коши-Римана и поэтому . Аналогично

Учитывая (4), имеем: Итак, доказана следующая теорема.

Теорема Коши. Если является аналитической функцией в односвязной области G и непрерывны вместе с частными производными первого порядка, то интеграл от этой функции, взятый вдоль любого замкнутого контура, принадлежащего области G, равен нулю, т.е. Теорема Коши является основной теоремой в теории аналитических функций. Теорема Коши остается справедливой, если потребовать только, что является аналитической функцией в односвязной области G.

Интеграл Коши

Пусть G есть односвязная область, ограниченная кусочно-гладкой кривой Г, а является аналитической в Ḡ. Это означает, что является аналитической в некоторой области G’ содержащей G.

Формула Коши связывает значение функции во всякой внтутренней точке z области G со значениями данной функции на границе области G. Это означает, что значение аналитической функции на Г вполне определяют значения этой функции в области G.

Формула Коши имеет вид:

Доказательство формулы Коши.

Рассмотрим произвольную точку и функцию Функция является аналитической в области Ḡ, кроме точки . Рассмотрим окружность γ с центром в точке z произвольно малого радиуса такую, что γ лежит внутри G. Функция будет аналитической во всех точках, лежащих между контурами Г и γ, включая сами контуры. Можно доказать, что

(5)

Последнее равенство показывает, что не зависит от радиуса γ и является постоянным числом, равным . Функция стремится к определенному конечному пределу при . Имеем:

Если положить становится непрерывной в Ḡ, т.е. , такое, что

. Учитывая последнее неравенство, будем иметь:

,откуда следует, что , т.к. можно взять сколь угодно малым, т.е.

Но

Особые точки. Вычеты.

Определение 1. Точка называется изолированной особой точкой однозначной функции , если существует окрестность точки (с исключенной точкой ), в которой аналитична.

Различают три типа изолированных особых точек в зависимости от поведения функции в их окрестности:

1) Точка называется устранимой особой точкой, если существует конечный предел

2) Точка называется полюсом, если является бесконечной большой при , т.е.

3) Точка называется существенно особой точкой, если не существует.( кроме случая(2)).

Определение 2. Вычетом функции в изолированной особой точке называется число

, которое обозначается , где достаточно малая окружность , причём величина вычета не зависит от при достаточно малых