ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Пример вычисления некоторых Z-изображений.

Свойства Z-преобразования

1. Линейность

Формулировка. Z-преобразование линейной комбинации последовательностей равно линейной комбинации Z-преобразований отдельных последовательностей, при условии, что они существуют.

Ƶ Ƶ + Ƶ = ,

где и – константы, в общем случае комплексные.

Доказательство.

Очевидно, что равенство выполняется при условии сходимости всех рядов, а значит при условии существования Z-образов последовательностей и по-отдельности. Может возникнуть ситуация, когда ряд для линейной комбинации двух последовательностей сходится за счет сбалансированности противофазных членов при определенном подборе коэффициентов и , тогда как ряды для каждой из последовательностей расходятся. В этой ситуации область сходимости прямого Z-преобразование линейной комбинации двух последовательностей может быть шире чем область сходимости Z-преобразований отдельных последовательностей.

2. Z-преобразование задержанной копии последовательности

Формулировка. Дана последовательность и известно ее Z-изображение . Z-изображение задержанной на m отсчетов копии данной последовательности равно .

Доказательство.

Запишем прямое Z-преобразование для задержанной копии:

Сделаем замену переменных , тогда:

Здесь учтено, что и при .

3. Z-преобразование дискретного сигнала умноженного на экспоненциальную последовательность.

Формулировка. Дана последовательность и известно ее Z-изображение . Формируется новая последовательность , где – некоторая постоянная. Тогда Z-изображение сформированной последовательности равно .

Доказательство.

Запишем Z-преобразование для сформированной последовательности:

4. Z-преобразование свертки двух последовательностей

Формулировка. Последовательность является результатом дискретной свертки двух последовательностей и , Z-изображения и соответственно равны и . Z-изображение последовательности равно

Доказательство.

Запишем Z-преобразование свертки:

Сделаем замену переменных , тогда

В последнем равенстве было учтено, что для (физически реализуемые системы). Можно показать, что свойство справедливо, если обе последовательности отличны от нуля в области отрицательных времен и имеют Z-изображение (т.е. ряд прямого Z-преобразования при суммировании от минус бесконечности до плюс бесконечности сходится).

Таблица.1 Z-изображения типовых последовательностей

Номер	Последовательность дискретного времени ,	Z-образ	Область сходимости
			везде

Пример вычисления некоторых Z-изображений.

Пример 1.

Вычислить z-преобразование последовательности

Решение.

Запишем выражение для Z-преобразование последовательности :

Очевидно, что Z-изображение является суммой геометрической прогрессии с начальным значением и знаменателем прогрессии . Ряд сходится тогда и только тогда, когда геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, т.е. или . Из последнего выражения следует область сходимости ряда в виде

Используя выражение для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, найдем z-изображение в форме:

В последнем равенстве числитель и знаменатель дроби были умножены на z.

Пример 2.

Вычислить z-преобразование последовательности

Решение 1.

Запишем выражение для Z-преобразование последовательности :

Используя выражение для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, найдем z-изображение в форме:

В последнем равенстве числитель и знаменатель дроби были умножены на z.

Решение 2.

Воспользуемся свойством умножения сигнала на экспоненциальную последовательность.

Рассмотрим последовательность из примера 1. Ее изображение нам известно в форме . Последовательность может быть сформирована из последовательности с помощью выражения:

где . Тогда, в соответствии с упомянутым свойством справедливо:

Воспользуемся выражением для , подставим в него вместо z и получим

Пример 3.

Вычислить z-преобразование последовательности

Решение.

Очевидно, что

Учитывая линейность операций суммирования и дифференцирования, получим

Пример 4.

Вычислить z-преобразование последовательности

Решение.

Полагая в и , получим

Примечание. Z-изображения последовательностей № 3-15 из таблицы 1 можно получить из Z-изображения единичного скачка (№2) с использованием свойства умножения сигнала на экспоненциальную последовательность, свойства линейности z-преобразования и с помощью операции дифференцирования по параметру (синус и косинус следует разложить по формуле Эйлера на комплексные экспоненты).

Примечание 2. Z-изображения типовых дискретных сигналов описываются дробно-рациональными функциями, т.е. функциями являющимися отношением двух полиномов переменной z. В этом смысле Z-изображения типовых дискретных сигналов аналогичны изображениям по Лапласу типовых непрерывных сигналов.

Примеры использования теоремы Коши о вычетах для нахождения обратного z-преобразования.

Обратное Z-преобразование определяется выражением:

где – искомая последовательность (дискретный сигнал), – z-изображение , С – замкнутый контур, расположенный в области сходимости и охватывающий все особые точки (полюсы) подынтегрального выражения. Интегрирование в осуществляется в положительном направлении обхода контура C.

В соответствии с теоремой Коши о вычетах искомая последовательность может быть найдена в виду суммы вычетов во всех полюсах подынтегрального выражения:

где – вычет функции в полюсе .

Z-изображения для типовых дискретных сигналов являются дробно-рациональными функциями от z (т.е. функциями в форме отношения двух полиномов от z). Передаточные функции линейных дискретных систем (ЛДС) с постоянными параметрами также являются дробно-рациональными функциями. Тогда, z-изображение сигнала на выходе ЛДС

является произведением дробно-рациональных функций и, как следствие, само имеет дробно-рациональную форму. Тогда подынтегральное выражение в можно представить в форме

где – i-й нуль, а – k-й полюс подынтегрального выражения, порядок i-го нуля, а порядок k-го полюса. Очевидно, что нули являются корнями полинома числителя, а полюсы – корнями полинома знаменателя дробно-рациональной функции , а порядок нуля или полюса равен кратности соответствующего корня. В полиномы числителя и знаменателя разложены на множители с использованием их корней.