ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Максимально возможная ошибка одного измерения

Необходимо выяснить, как будут влиять ошибки измерения отдельных величин на искомую величину определяемую при помощи формулы. Разберем этот вопрос в общем виде.

Пусть искомая величина W является функцией нескольких (допустим, трех) величин, измеряемых непосредственно в опыте:

w=f(x,y,z)

(67)

Если бы ошибки в измерении величин x,y и zбыли бесконечно малыми, то ошибка в величине w, определялась бы ее полным дифференциалом:

(68)

В действительности, ошибки в измерения величин x, yи zне будут бесконечно малыми, однако для расчета величины ошибки можно воспользоваться аналогичной формулой, подставляя вместо dx, dyи dzдействительно конечные величины ошибок Δx, Δyи Δz.

Итак, получаем:

(69)

где Δw - максимально возможная абсолютная ошибка искомой величины w;

Δx, Δyи Δz - абсолютные ошибки в измерении величины x, yиz

По формуле (69) вычисляется максимально возможная ошибка, поэтому все ее члены берутся по абсолютному значению и суммируются.

В действительности, при проведении измерений ошибка может быть значительно меньше, так как входящие в (69) слагаемые могут иметь разные знаки, однако в наихудшем варианте все три слагаемые будут иметь один и тот же знак, что даст максимально возможную ошибку.

Часто требуется найти максимально возможную относительную ошибку δw=Δw/w . Её можно получить, разделив (69) на W, т.е.:

(70)

Формула (70) является общей, по ней можно вычислить максимально возможную ошибку искомой величины w при любой функциональной зависимости w=f(x,y,z).

Для выражения δw в процентах формулу (70) следует умножить на 100.

В дополнение к общей формуле рассмотрим несколько частных случаев.

Очень часто встречается случай, когда искомая величина w определяется как произведение измеряемых величин x, yиz в различных степенях и постоянной А, т.е.:

w=A·x^α · y^β · z^γ

(71)

Причем α, βи γмогут быть любыми положительными или отрицательными числами. Заметим, что формула (72) охватывает случаи, описанные формулами (67) и (68).

Для функциональной зависимости (71) можно получить более конкретное выражение для подсчета максимально возможной относительной ошибки величины.

Возьмем производные, входящие в (70):

(72)

Подставив в (70) эти значения и значение w по (71), получим:

(73)

Откуда:

(74)

Обозначая относительные ошибки величин, непосредственно измеряемых в опыте:

(75)

Окончательно получаем:

δw=|αδx|+|βδy|+|γδz|

(76)

Эта формула еще больше упрощается, если α, βиγ равны единице или единице с минусом. Тогда получим:

δw=|δx|+|δy|+|δz|

(77)

Последнее можно сформулировать следующим образом: если искомая
величина w является произведением постоянной и измеряемых величин x, yиz в первой или минус первой степени, то относительная ошибка искомой величины w является суммой относительных ошибок этих измеряемых величин.

Разберем другой случай. Пусть:

w = x + y + z

(78)

Определим величину максимально возможной относительной ошибки. Согласно (70) получим:

(79)

Однако чаще всего бывает желательно выразить относительную ошибку искомой величины через относительные ошибки величин, измеряемых в опыте, а не через абсолютные, как это сделано в формуле (79).

Для этого преобразуем каждое слагаемое в (79):

(80)

Тогда для функциональной зависимости (78) получим формулу для расчета ошибки:

(81)

Вполне естественно, что формулы (70) - (81) могут быть распространены на любое число переменных.

Величина относительной ошибки искомой величины в (76), (77) и (81) будет выражена в процентах, если δx, δyиδz подставляются также в процентах.

Особо следует остановиться на случае, когда искомая величина w определяется как разность двух измеряемых в опыте величин, т.е.:

w= x – y

(82)

Если величины x и у близки друг другу по величине, то вследствие погрешностей этих величин искомое значение w может получиться с очень большой ошибкой, что совершенно неприемлемо.

Разберем следующий пример. Пусть величина x = 50 и измерена с точностью ± 1, т.е. с ошибкой ± 2 %. Пусть величина y = 45 и измерена с точностью также ± 1, т.е. ошибка составляет ± 2,22 %,

Вычислим величину w совместно с максимальной абсолютной погрешностью:

w= x – y = (50 ± 1) – (45 ± 1)= 5 ± 2.

Таким образом, несмотря на то, что погрешность в измерениях xиy так уж велика (2 и 2,22 %), погрешность в искомой величине получается очень большая, т.е.:

Применяя к этому случаю формулу (81), получаем тот же результат:

Приведенный пример показывает, что надо крайне осторожно идти на такие измерения, при которых приходится вычитать близкие друг к другу по величине числа.

В таблице. 1 приведены формулы для расчета максимально возможной относительной ошибки для некоторых функциональных зависимостей. В этой таблице через А, В, С, Д; α, β, γ и l обозначены численные коэффициенты, а через x, y, zи υ - величины, непосредственно измеряемые в эксперименте; δx, δy, δzи δυ - относительные ошибки измеряемых величин, а δw - максимально возможная относительная ошибка искомой величины.

3. Повышение точности и вычисление вероятной ошибки при многократных измерениях.

Выше уже говорилось о том, что при проведении многократных измерений заданной величины при одних и тех же параметрах случайные ошибки проявляются в разбросе получаемых данных.

Если проведено несколько измерений искомой величины, то вполне
естественно, что наиболее достоверным результатом является средне
арифметическая величина из всех измерений. Используя в качестве
окончательного результата это среднеарифметическое значение, можно
в значительной мере снизить влияние случайных ошибок при измерениях.
Естественно, что чем больше произведено измерений, тем с большей
уверенностью исключаются случайные ошибки, и в пределе при бесконечно
большом числе измерений окончательный результат будет содержать
лишь систематическую ошибку.

Абсолютная случайная ошибка при нескольких измерениях величины
вычисляется по формуле:

(83)

В этой формуле n - число измерений, w_cp - среднеарифметическое значение из всех полученных величин w т.е.:

w_cp=Σw/n

(84)

Ошибка, вычисляемая по (83), называется квадратичной. Из самого вида (83) ясно, что при n → ∞ ошибка Δw_кв → 0.

Однако функция (83) такова, что увеличение количества измерений с 2 до 5 сильно снижает эту ошибку; с 5 до 10 - несколько меньше, а увеличение количества измерений, например с 20 до 30, уже очень мало меняет величину этой ошибки.

Заметим, что для вычисления рассматриваемой ошибки необходимо иметь полученные в результате эксперимента величины w, что не всегда требовалось для оценки ошибки отдельного измерения.