ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности.

Тема: Эпизоды жизни треугольника.

Исполнитель:

Спирёва Дарья

ученица 9А класса

Научный руководитель:

преподаватель по математике

Третьякова Н.А.

Чита 2013 г

Содержание

Тема: Эпизоды жизни треугольника

Спирёва Дарья

Россия, Забайкальский край, город Чита

МОУ «Многопрофильная гимназия №12»

Введение

Актуальность этой темы заключается в том, что описанные в реферате теоремы применяются для решения олимпиадных задач, связанных с треугольником.
Объектом изучения являются сами теоремы, и их применение в задачах
Предметом является решение олимпиадных задач неординарным, рациональным способом.
Цель: Исследовать некоторые эпизоды из жизни треугольника, т.е теоремы и свойства треугольника, не включенные в школьную программу, а так же применить их на практике.

Задачи:
1. Познакомиться с теоремой Чевы, теорема Паскаля, теорема Герона, а так же с некоторыми свойствами треугольника.

2. Применить эти теоремы на практике.

Материал: олимпиадные задачи, научная литература, теоремы.

Метод решения задач, как с доказательством, так и с параметрами, с опорой на свойства и теоремы.

Новизна работы заключается в том, что на применение этих теорем построены некоторые олимпиадные задачи.

Практическое применение: решение олимпиадных задач.

Глава 1. «Понятие о треугольнике. Эпизоды: теорема Менелая, теорема Чевы, теорема Паскаля, теорема Герона, площадь сечения»

1.1 Треугольник – замечательная простейшая фигура

Знакомый всем треугольник по праву считается простейшей из фигур: любая плоская, т.е. простирающаяся в двух измерениях, фигура должна содержать хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой. Если соединить эти точки попарно прямолинейными отрезкам, то построенная фигура и будет треугольником. Так же называют и заключенную внутри образовавшегося контура часть плоскости.

Треугольник чрезвычайно богат свойствами, с треугольником связаны замечательные точки (точка пересечения высот – ортоцентр, точка пересечения медиан – центроид, центры вписанной около него окружностей, точек Торричелли – точка, для которой сумма квадратов расстояний до вершин минимальна и т.п.).

С треугольником связаны замечательные теоремы, составляющие главную основу геометрии, в частности теорема Менелая, теорема Чевы, теорема Паскаля и др.

В общем, треугольник настолько замечательная фигура, что существует специальная геометрия этой фигуры, созданная трудами таких математиков, как Штейнер, Мор, Брокар и другие.

1.1 Эпизод 1: теорема Чевы и её обобщение. Точка Жергона.

В геометрии существует изобилие теорем о трех прямых, проходящих через одну точку. Но возникает вопрос: нет ли какого-то общего способа доказывать аналогичные утверждения? Именно этот способ и есть теорема итальянского механика и математика Джованни Чевы.

Теорема Чевы: Если три чевианы пересекаются в одной точке, то отношения , в которых их основания А₁, В₁, и С₁ делят стороны треугольника, удовлетворяют равенству

ВА₁ _*СВ₁ _* АС₁ = 1

А₁С В₁А С₁В(1)

Обратная теорема: Если точки А₁, В₁, и С₁ на прямых, ограничивающих треугольник АВС, удовлетворяют условию Чеву, причём собственно на его сторонах лежат все три либо ровно одна их них, то соответствующие чевианы пересекаются в одной точке или параллельны.

Доказательство.

А) В теорем Чевы два взаимообратных утверждения. Сначала докажем, что если три отрезка AA₁, ВВ₁, СС₁ пересекаются в точке О, то выполняется равенство (1). Проведем через вершину В прямую а|| АС. Пусть прямые АА₁ и СС₁ пересекают прямую а в точках Р и Q соответственно. Тогда из подобия треугольников АА₁С и РА₁В имеем:

СА₁ ₌ АС
А₁В РВ(2)

Аналогично из подобия треугольников АС₁С и ВС₁Q

ВС₁ ₌ BQ

С₁А AC (3)

Наконец из подобия треугольников ОАС и ОРQ

A₁B = PB
B₁C BQ(4)

Перемножив соответственно левые и правые части равенств (2),(3),(4), получим (1). Первое утверждение доказано.

б) докажем обратное ему утверждение. Пусть выполнено равенство (1). Покажем , что отрезки АА₁ ВВ₁, СС₁ проходят через одну точку. Пусть точка О – точка пересечения отрезков АА₁ и ВВ₁. Проведём из точки С через точку О луч l. Пусть он пересечет сторону АВ в точке С`. Тогда, как доказано,

АВ₁ _* СА₁ _* ВС` = 1

В₁С А₁В C`A(5)

Из (1) и (5) получаем, что

ВС`= ВС₁

С`А С₁А (6)

Следовательно, точки С` и С₁ делят отрезок ВА в одном и том же отношении. Поэтому точки С и С₁ совпадают. Итак, все три отрезка АА₁ ВВ₁, СС₁ проходят через точку О.

Следствием теоремы Чевы, очевидно, является теорема о точке пересечения медиан треугольника, так как в этом случае.

АВ₁ * СА₁ * ВС₁ = 1

В₁С А₁В C₁A

Не многим сложнее получить из теоремы Чевы теорему о точке пересечения биссектрис треугольника. Достаточно вспомнить, что для биссектрис АА₁, ВВ₁,СС₁ выполняются равенства

АВ₁= АВСА₁ = САВС₁=ВС

В₁С ВС, А₁В АВ, С₁А СА

и перемножить их.

А вот новая теорема: прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанного круга, пересекаются в одной точке – ( она называется точкой Жергона).

Действительно, но в этом случае АВ₁ = АС₁, ВА=ВС и СА = СВ₁, откуда и следует (1).

Наконец обратимся к теореме пересечения высот треугольника. Внутри треугольника пересекаются высоты лишь остроугольного треугольника АВС. Для него АС₁ = bcosA, ВС₁ = acosB, ВА₁= ccosB,СА₁= bcosC, СВ₁= acosC, АВ₁ = ccosA, откуда и следует (1). Но высоты тупоугольного треугольника не пересекаются, а пересекаются их продолжения, причем вне треугольника.

Непосредственно теорему Чевы в этой формулировке, что была дана, к этому случаю не применить.

Но , оказывается, что теорема Чевы допускает такое обобщение, в котором уже речь пойдет о прямых, проходящих через вершины треугольника. Точка же пересечения этих прямых может лежать вне треугольника. Но чтобы получить такое обобщение теоремы Чевы, надо ввести отношение направленных отрезков, лежащих на одной прямой.

На прямой АВ возьмём произвольную точку С, отличную от точек А и В. Тогда направленные отрезки АС и СВ коллинеарные. Так как СВ ≠ 0, то АС = λСВ. Если С лежит на отрезке АВ, то АС ↑↑СВ и λ = -АС/СВ.

Имея это в виду, говорят что точка С делит отрезок АВ в отношении λ. При этом считают, что случай λ < 0 соответствует положению точки с на прямой АВ вне отрезка АВ.

Итак, будем отношение АС/СВ отрезков АС и СВ. лежащих на одной прямой, понимать как отношение их длин, если АС и СВ сонаправлены, и как такое же отношение, но со знаком «минус», если АС и СВ направлены противоположно.

Теперь, если в равенстве (1) отношение отрезков понимать именно в таком смысле(со знаком), то теоремы Чевы можно дать обобщение.

Обобщенная теорема Чевы: Пусть a, b, с проходят через вершины А, В, С треугольника АВС и пересекаются прямые ВС, СА, АВ в точках А₁, В₁, С₁ соответственно. Тогда прямые a, b, с пересекаются в одной точку или параллельны тогда и только тогда, когда имеет место равенство (1).

Для частного случая параллельных прямых соотношение (1) следует из равенств

АВ₁ = А₁В, ВС₁ = В₁С, СА₁ = С₁А

В₁С ВС₁, С₁А СА₁, А₁В АВ₁

1.2 Эпизод 2: теорема Менелая

Каждый может доказать, что, например, биссектрисы треугольника, пересекаются в одной точке, и высоты – тоже, и медианы. Но доказать это не так уж просто. Но если знать теорему Менелая, то можно легко доказать это утверждение.

Менелай Александрийский (I – II вв. н. э.) – греческий математик и астроном, один из создателей сферической тригонометрии. В этой теореме отношения отрезков тоже понимаются со знаком.

Теорема Менелая: Если стороны ВС, СА и АВ треугольника АВС или их продолжения пересекают некоторой прямой в точках А₁, В₁, и С₁ соответственно, то выполняется соотношение:

ВА₁ _. СВ₁ _. АС₁ = -1

А₁С В₁А С₁В(1)

Доказательство. Сначала докажем , что если прямая l пересекает прямые ВС, АС, АВ соответственно в точках А₁, В₁, С_1,то выполняется равенство (1).

Проведем любую прямую р, пересекающую прямую l, и через точки А, В, С проведем соответственно а//l, b//l, c//l. Прямые а, b, c, l пересекут прямую р в точках К, L, M, N. По теореме о прямых, пересеченных параллельными прямыми:

А₁С = KNВ₁А = LNСВ₁ = MN

С₁В NL , А₁С NM , В₁А NK.(2)

Перемножая равенства (2) c (1). Получаем равенство:

KN = MN = LN = -1

NK NM NL
Получаем равенство (1). Теорема доказана.

Примечание. Любая прямая, не проходящая через вершины треугольника, не параллельная его сторонам, либо не пересекает ни одну из его сторон, либо пересекает две стороны и не пересекает третью. Поэтому в равенстве (1) либо все три отношения имеют знак «минус», либо два из них имеют знак «плюс», а третье - «минус». Во всех случаях произведение в левой части (1) отрицательное.

1.3 Эпизод 3: Замечательные точки

С каждым треугольником связан ряд точек, обладающих многими интересными, замечательными свойствами. Это центр описанной окружности точка, в которой пересекаются серединные перпендикуляры к сторонам треугольника. Точка пересечения биссектрис внутренних углов треугольника является центром вписанной в треугольник окружности. Мы знаем также, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Как видим, все эти точки интересны уже тем, что в них пересекаются три определенные прямые. Мы разберем те точки, которые не даются в школьной программе:

1.Точки Аполлония :

Две такие точки, расстояние от которых до вершин треугольника обратно пропорциональны сторонам, которые противолежат этим вершинам.

Эти точки обладают определенными свойствами:

v Окружности, построенные как на диаметре на отрезке, соединяющем основания внутренней и внешней биссектрисы, выпущенных из одного угла, проходят через точки Аполлония.

v Точки Аполлония лежат на прямой, соединяющей центр описанной окружности с точкой Лемуана. Эта прямая называется осью Брокара.

v Подерные треугольники точек Аполлония правильные (иногда это свойство принимается за определение).

v Точки Аполлония изогонально сопряжены точкам Торричелли.

v Построим две прямые, каждая из которых проходит через точку Аполлония и точку Торричелли, отличную от изогонально сопряжённой ей. Такие прямые пересекутся в точке пересечения медиан.

2.Точка Жергонна и Нагеля :

Можно доказать, что три отрезка соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная в него окружность касается соответственно противоположных вершинам сторон, пересекаются в оной точке j. Она называется точкой Жергонна.

Отрезки, соединяющие каждую из вершин треугольника с точкой, в которой противоположная сторона касается соответствующей вневписанной окружности , тоже пересекаются в одной точке N – точке Нагеля. Она интересна тем, что отрезок NI, где I – центр вписанной окружности, проходит через центроид М треугольника и делится им в отношении NM : MI = 2:1

3.Инцентр:

Инцентр — точка пересечения биссектрис треугольника. Также инцентр является центром вписанной в треугольник окружности.

Традиционно обозначается латинской буквой I.

Свойства Инцентра:

v Инцентр находится на одинаковом расстоянии от всех сторон треугольника.

v Инцентр делит биссектрису угла А в отношении (а+b):с , где a,b,c — стороны треугольника.

v Теорема трилистника (или лемма о трезубце). Если продолжение биссектрисы угла А пересекает описанную окружность треугольника АBC в точке W, то выполняется равенство: WB = WC = WI = WD , где D — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC.

v Формула Эйлера. Расстояние между инцентром I и центром описанной окружности O выражается: OI² = R² – 2Rr , где R и r - радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно.

4.Точка Лемуана :

Впервые точку Лемуана обнаружил швейцарский геометр и тополог Симон Антуан Жан Люилье. Этой точке было посвящено исследование Эрнста Вильгельма Гребе, в честь которого в Германии она называлась точкой Гребе. Точка названа в честь французского геометра Эмиля Лемуана, опубликовавшего доказательство существования точки. У точки Лемуана существует два равносильных определения:

точка пересечения прямых, соединяющих каждую вершину треугольника с точками пересечения касательных к описанной окружности, проведённых из двух других вершин.

5. Точка пересечения симедиан :

Утверждение о равносильности этих определений называется теоремой о симедиане.

Симедиана — чевиана треугольника, луч которой симметричен лучу медианы относительно биссектрисы угла, проведенной из той же вершины. Она обладает некоторыми свойствами, которые связанны с точкой Лемуана:

v Отрезки, на которые симедиана делит противоположную сторону, пропорциональны квадратам прилежащих сторон.

v Симедианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется точкой Лемуана и обозначается K или L.

v Точка Лемуана изогонально сопряжена центроиду.

v Сумма квадратов расстояний от точки на плоскости до сторон треугольника минимальна, когда эта точка является точкой Лемуана.

v Расстояния от точки Лемуана до сторон треугольника пропорциональны длинам сторон.

v точка Лемуана — единственная точка, которая является центроидом своего педального треугольника.

6.Ортоцентр :

Прямые, содержащие высоты треугольника, всегда пересекаются в одной точке, называемой его ортоцентром. В остроугольном треугольнике ортоцетр лежит внутри треугольника, в прямоугольном – совпадает с вершиной прямого угла, а в тупоугольном на пересечении продолжений высот.

Если H – ортоцентр треугольника АВС, то любая из четырёх А, В, С и Н является ортоцентром треугольника, образованного тремя другими точками.

Докажем, что ортоцентр треугольника существует. Треугольник АВС – это серединный треугольник А₁В₁С₁; значит, высоты первого треугольника являются серединными перпендикулярами второго. Следовательно, они пересекаются в центре Н описанной около второго треугольника окружности, и этот центр совпадает с ортоцентром треугольника АВС.

Рисунок помогает вывести теорему о высотах из теоремы о биссектрисах.

Поскольку биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны, на рисунке любой из центров четырёх окружностей (вписанной и вневписанной) является ортоцентром треугольника с вершинами в трех других центрах , а точки А, В, С служат основаниями его высот. Можно как бы «перевернуть» это наблюдение и доказать, что высоты произвольного треугольника – биссектрисы ортотреугольника, т.е. треугольника, образованного основаниями высот. Отсюда следует, что они имеют общую точку.

7. Точка Понселе:

Эта точка имеет следующую теорему :

Для любой четверки точек А, В, С, D, отличной от ортоцентрической, окружности девяти точек треугольников АВС, BCD, ABD, ACD пересекаются в одной точке, которую и называют точкой Понселе.

Свойства этой точки:

v Если Н — ортоцентр треугольника АВС, то точки Понселе для четверок точек АВСD, ABHC, AHCD, HBCD совпадают.

v Точка Понселе четверки точек ABCD лежит на педальной окружности точки D относительно треугольника ABC, то есть на описанной окружности подерного треугольника точки D относительно треугольника ABC.

v Точка Понселе четверки точек ABCD является центром равнобокой гиперболы, проходящей через точки A, В, С, D.

v Точка Понселе четверки точек ABCD лежит на чевианной окружности точки D относительно треугольника ABC, то есть на окружности, содержащей основания чевиан треугольника ABC, проходящих через точку D.

v Точка Понселе четверки ABCD является серединой отрезка, соединяющего точки D и D`, где D` - образ точки D при антигональном сопряжении относительно треугольника ABC

v Точки Понселе четверок ABCD и ABCD` совпадают.

8. Точка Ферма и точка Торричелли:

Точка Ферма — точка плоскости, сумма расстояний от которой до вершин треугольника является минимальной. Точка Ферма даёт решение проблемы Штейнера для вершин треугольника.

Теорема (Э. Торр ичелли, Б. Кавальери, Т. Симпсон, Ф. Хейнен, Ж. Бертран). Построим на сторонах произвольного треугольника ABC вне его равносторонние треугольники ABC', BCA', CAB'. Тогда шесть кривых — три окружности, описанные вокруг этих правильных треугольников, и прямые AA', BB', CC' пересекаются в одной точке X. Если все углы треугольника ABC не превосходят 120°, то X лежит в треугольнике ABC и является точкой Ферма S. В этом случае углы между отрезками AS, BS и CS равны между собой и, значит, равны 120°. Более того, длины отрезков AA', BB' и CC', называемых линиями Симпсона, тоже равны между собой и равны AS + BS + CS. Если один из углов треугольника ABC больше 120°, то X лежит вне треугольника ABC, а точка Ферма S совпадает с вершиной тупого угла.

Теорема дает алгоритм построения точки Ферма с помощью циркуля и линейки. В нетривиальном случае, когда все углы треугольника меньше 120°, точку Ферма находят как пересечение любых двух из шести кривых, описанных в теореме.

Физически эту точку можно построить так: отметим на плоской гладкой горизонтальной поверхности точки A, B и C и просверлим в отмеченных местах сквозные отверстия; свяжем три нити и пропустим сверху их свободные концы через отверстия; привяжем к свободным концам грузики одинаковой массы; когда система придет в равновесие, узел окажется в точке Ферма для треугольника ABC.

Точка Торричелли — точка треугольника, из которой все сторонывидны под углом в 120°. Существует только в треугольниках с углами меньшими 120°, при этом, она единственна и, значит, совпадает с точкой Ферма.

9. Центроид:

Центроид — точка пересечения медиан в треугольнике. Центроид традиционно обозначается латинской буквой М.

v Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

v Центроид лежит на отрезке, соединяющем ортоцентр и центр описанной окружности, и делит его в отношении 2:1.

v Если в вершины треугольника поместить равные массы, то центр масс (барицентр) полученной системы будет совпадать с центроидом. Более того, центр масс треугольника с равномерно распределённой массой также находится в центроиде.

В частности, если М — центроид треугольника АВС то для любой точки O верно, что

v → → → →
ОМ = 1/3 (ОА + ОВ + ОС)

v точка пересечения медиан является точкой, для которой сумма квадратов расстояний до вершин треугольника имеет наименьшее значение (теорема Лейбница).

10. Окружность девяти точек:

Окружность девяти точек — это окружность, проходящая через середины всех трёх сторон треугольника. Она также называется окружностью Эйлера, окружностью Фейербаха, окружностью шести точек.

Окружность девяти точек получила такое название из-за следующей теоремы:

Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC , H – точка пересечения высот треугольника; точки A₁, B₁, C₁ обозначают основания высот; A₂, B₂, C₂ – середины соответствующих сторон; A₃,B₃, C₃ – середины отрезков AA₁, BB₁ и CC₁. Тогда точки A₁, B₁, C₁, A₂,B₂, C₂, A₃, B₃, C₃ лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек или окружностью Эйлера.

Действительно, A₃B₂ – средняя линия треугольника AHC и, следовательно, A₃B₂ || CC₁. B₂A₂ – средняя линия треугольника ABC и, следовательно, B₂A₂ || AB. Так как CC₁  AB, то A₃B₂A₂ = 90. Аналогично, A₃C₂A₂ = 90. Поэтому точки A₂, B₂, C₂, A₃ лежат на одной окружности с диаметром A₂A₃. Так как AA₁  BC, то точка A₁также принадлежит этой окружности.

Таким образом, точки A₁ и A₃лежат на окружности, описанной около треугольника A₂B₂C₂. Аналогичным образом показывается, что точки B₁ и B₃, C₁ и C₃ лежат на этой окружности. Значит, все девять точек лежат на одной окружности.
Эти точки имеют свойства:

v Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера, точно в середине отрезка между ортоцентром и центром описанной окружности.

v Радиус окружности девяти точек равен половине радиуса описанной окружности. Более того, описанная окружность есть образ окружности девяти точек относительно гомотетии с центром в ортоцентре и коэффициентом 2.

v (Теорема Фейербаха) Окружность девяти точек произвольного треугольника касается вписанной и всех трёх вневписанных окружностей этого треугольника.

v Эйлер в 1765 году доказал, что основания высот и середины сторон лежат на одной окружности (отсюда название «окружность шести точек»). Первое полное доказательство общего результата было, по-видимому, опубликовано Карлом Фейербахом в 1821 году (вместе с теоремой, носящей его имя), но есть указания на то, что оно было известно и ранее.

11. Изогональные точки:

Есть и другая интересная взаимосвязь между ортоцентром и центром описанной окружности треугольника. Можно показать, что

Прямые, симметричные высотам относительно соответствующих биссектрис , проходят через центр вписанной окружности,

Т.е содержат её радиусы. Справедлива и более общая теорема:

Если три прямые, проведенные из вершин треугольника, пересекаются в одной точке, то и прямые, симметричные им относительно соответствующих биссектрис , тоже проходят через одну и ту же точку.

Подобные две точки называются изогональными. Таким образом, ортоцентр треугольника изогонален центру описанной окружности.

Отразив относительно биссектрис треугольника соответствующие медианы, получают новые замечательные линии - симедианы. Так образовалась точка Лемуана – L. Она является центройдом А₁В₁С₁, образованного её проекциями на стороны исходного треугольника.

1.4 Эпизод 4: Теорема Лейбница

Эта теорема связанна центроидом.

Теорема Лейбница: Если O – точка пересечения медиан  ABC, P – произвольная точка плоскости, то выполняется равенство:

PO² = PA² + PB² + PC² – 3АВ² + ВС² + АС²

Доказательство:

Возведем векторное равенство

→ →
PA = PO + OA

в квадрат PA²=PO²+2PO•OA+OA².

Аналогично получаются равенства:

PB²=PO²+2PO•OB+OB²,

PC²=PO²+2PO•OC+OC².

Складывая эти три равенства, получаем

PA²+PB²+PC²= 3PO²+2PO•(OA+OB+OC) +OA²+OB²+OC²= 3PO²+OA²+OB²+OC²,

так как сумма векторов в скобках равна нулю. Отсюда

PO² = PA² + PB² + PC² – OA² – OB² – OC²
3

Так как OA² + OB² + OC² = 4(m_a² + m_b² + m_c²) = a² + b² + c²
9 3

то отсюда следует доказываемая формула.

Каждое число m выводится по формуле:

m_a² = 2b² + 2c² - a²
4

m_b² = 2 a²+ 2c² - b²
4

m_b² = 2 a²+ 2 b² - c²
4

1.5 Эпизод 5: Замечательные прямые треугольника.

1. Прямая Эйлера:

Леонард Эйлер сделал ряд замечательных открытий в геометрии треугольника. Например, он доказал, что центроид M любого треугольника лежит на отрезке между центром О его описанной окружности и ортоцентром Н и делит этот отрезок в отношении OM : MH = 1:2. Прямая ОН называется прямой Эйлера данного треугольника.

Эта прямая обладает некоторыми свойствами:

v Прямая Эйлера проходит через:

· Центроид треугольника

· Ортоцентр треугольника

· Точку пересечения серединных перпендикуляров

· Центр окружности девяти точек

2. Прямая Симсона или Уллеса:

Открытие этой прямой долго приписывалось Роберту Симсону (1687—1768), но в действительности она была открыта лишь в 1797 году Уильямом Уоллесом. Поэтому наряду с традиционным названием этой прямой часто используется исторически более справедливое название прямая Уоллеса.

Прямая Симсона — прямая, связанная с треугольником. Её существование опирается на теорему Симсона:

Основания перпендикуляров, опущенных из точки описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой.

Доказательство: Пусть точка P лежит на дуге AC описанной окружности треугольника ABC; A1,B1 и C1- основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC,CA и AB.

Сумма углов при вершинах A1 и C1 четырехугольника A1BC1P равна 180°, поэтому РA1PC1 = 180° – РB = РAPC. Следовательно, РAPC1 = РA1PC, причем одна из точек A1 и C1 (например, A1) лежит на стороне треугольника, а другая- на продолжении стороны. Четырехугольники AB1PC1 и A1B1PC вписанные, поэтому РAB1C1 = РAPC1 = РA1PC = РA1B1C, а значит, точка B1 лежит на отрезке A1C1.
получаем Р(AP,PC1) = Р(AB1,B1C) = Р(CB1,B1A1) = Р(CP,PA1). Прибавляя Р(PC1,PC), получаем Р(AP,PC) = Р(PC1,PA1) = Р(BC1,BA1) = Р(AB,PC), т. е. точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC.

1.6 Эпизод 6: формула Герона

Для того чтобы рассчитать площадь треугольника существует пять формул, но они не исчерпывают все формулы, с помощью которых можно эту площадь находить. Любые три элемента, задающие треугольник, задают и его площадь, а значит, и соответствующую формулу. Правда, большинство подобных формул не представляет ни практического, ни теоретического интереса.

Но на одной формуле, выражающей площадь треугольника через его стороны, нельзя не остановиться. Во-первых, это наиболее естественный и удобный способ задания треугольника (по трем его сторонам). И потому формула интересна как в практическом, так и теоретическом отношении.

Во-вторых, несмотря на то что эта формула достаточно длинная, она является одной из самых красивых и древних формул геометрии. Речь идет о формуле Герона, названной так по имени Герона Александрийского  выдающегося древнегреческого математика, жившего в I в. н. э.

Существует множество способов доказательства этой формулы,

____________

S = √p(p-a)(p-b)(p-c)

где p — полупериметр треугольника:

p = a + b + c

вот одна из них

Существует множество способов доказательства этой формулы, вот одна из них.

Это доказательство относится к геометрии потому, что ближе к методам, которые использовали древние геометры. Нам понадобится понятие вневписанной окружности.

Оказывается, кроме формулы S = pr для площади треугольника справедлива и формула

S = (p - a)r_a

где r_a  радиус вневписанной окружности, касающейся стороны BC треугольника.

Докажем эту формулу:

Пусть J_a  центр вневписанной окружности, касающейся BC. В каждом из треугольников ABJ_a , BCJ_a , CAJ_a высота, опущенная из J_a , равна r_a.

Имеем:

S = S_ABC = S _ABJa + S_ABJa - S_BCJa = 1cr_a + 1br_a - 1ar_a = a + b + c . r_а = (p - a)r_a

2 2 2 2

Теперь выведем еще одну формулу, связывающую r и r _a .

Пусть J  центр вписанной окружности; M  точка касания вписанной окружности с AC, K  точка касания рассматриваемой вневписанной окружности с продолжением AC (см. рис.). Отрезки CM и CK мы уже находили: CM = p - c, CK = p - b.

Напомним, как можно найти CK. Имеем: CK + BL = BC = a. Значит, AK + AL = AC + AB + BC = 2p. Но AK = AL, следовательно, AK = p и CK = AK - AC = p - b.
Рассмотрим два прямоугольных треугольника CJM и CJ_aK. В первом из них угол при вершине C равен С/2 , так как CJ  биссектриса угла C, а угол при вершине J равен 90-C/2 . В треугольнике CJ_a K угол при вершине C равен половине угла KCB, т. е.

1 (180 - C ) = 90 - C
2 2

Таким образом, прямоугольные треугольники CJM и J _a CK подобны, поскольку у них углы при вершинах J и C соответственно равны. Из подобия получаем

CM = KJ_a или p – c = r_a , rr_a = (p - b)(p – c)
MJ CK r p - b

Запишем следующие три равенства:

S = pr , S = (p - a)r_a , rr_a = (p - b)(p – c)

Перемножим два первых равенства и заменим r · ra его значением:

S² = p (p - a)rr_a = p(p-a)(p-b)(p-c)

Чтобы избавиться от квадрата вводит выражение под корень и получаем формулу герона.

Вывод

Треугольник – самая простая, но самая известная фигура в геометрии. Большинство теорем связанны с доказательством, каких либо элементов в этой фигуре: угол, сторона, площадь, периметр и т.д.

Любая тема геометрии связанна с треугольником. В данных главах мы убедились в том, что наши познания о треугольники в школьном курсе очень незначительны, и при этом представленные в главах теоремы это лишь малая часть всех теорем об этой удивительной фигуре.

Подобранные теоремы не изучаются в школе, или изучаются, но не подробно. Используя их можно быстро, рационально решить задачу как школьного, так и олимпиадного типа. В дальнейших главах мы рассмотрим несколько олимпиадных задач и решим их с помощью этих теорем, свойств точек и прямых.