ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Релятивистское” сокращение длины и замедление

Известно, что гипотеза о сокращении длины движущихся тел в направлении их движения была предложена Лоренцем для объяснения нулевого результат эксперимента Майкельсона-Морли. Впоследствии эта точка зрения была обоснована Эйнштейном в его специальной теории относительности (СТО). Однако, как было показано в [1], применение “релятивистской” формулы сложения скоростей для вычисления численного значения выражения (1 – v² / c²)^1/2 дает результат, равный 1 при любых значениях v < c, что исключает все релятивистские эффекты: сокращение длины, замедление времени в движущейся системе и увеличение массы движущихся тел в зависимости от скорости их движения. С другой стороны, как это будет показано ниже, сокращению длины пропорционально множителю (1 – v² / c²)^1/2 (согласимся на время, что этот множитель имеет смысл) должно соответствовать такое же сокращение, а не увеличение интервалов времени, произошедших в движущейся системе координат, иначе не выполняется принцип постоянства скорости света, как его сформулировал Эйнштейн. Тем не менее, в науке утвердилось мнение, что в действительности имеет место именно замедление времени в движущейся системе координат

Как известно, в СТО вывод о сокращении длины движущихся тел (расстояний между двумя точками пространства в движущейся системе координат) следует непосредственно из преобразований Лоренца-Эйнштейна, связывающих переменные x, y, z одной системы координат с переменными x’, y’, z’ другой системы координат, движущейся равномерно и прямолинейно с некоторой скоростью v вдоль оси первой системы.

Пусть некоторая система координат X’O’Y’ движется равномерно и прямолинейно со скоростью v вдоль оси OX другой системы координат XOY, как это показано на рисунке 1.

Рис.1. Стержень AB покоится в системе X’O’Y’

Тогда между переменными x’, y’, z’ и t’ одной системы координат и переменными x, y, z и t другой системы имеют место соотношения, которые и называются преобразованиями Лоренца-Эйнштейна:

x’ = (x - vt) / (1- v² / c²)^1/2 (1)

y’ = y (2)

z’ = z (3)

t’ = (t – vx /c²) / (1- v² / c²)^1/2 (4)

где x, y, z и t – параметры до преобразования;

x’, y’, z’ и t’ – параметры после преобразования.

Предположим, что в системе X’O’Y’ покоится стержень AB,расположенный параллельно оси O’X’ (рис.1). Предположим, что в системе X'O'Y' покоится стержень АВ, расположенный параллельно оси O'X', как это изображено на рис.1. Точки А и В этого стержня в системе X'O'Y' имеют координаты x’₁ иx’₂. Соответственно, в системе XOY эти же точки имеют координаты x₁ и x₂ .

Длину стержня AB можно определить как разность координат его концов, измеряемых в одной и другой системе координат. Тогда на основании (1) можно записать:

x’₁ = (x₁ – vt) / (1- v² / c²)^1/2

x’₂ = (x₂ – vt) / (1- v² / c²)^1/2

Откуда следует:

x’₂ - x’₁ = (x₂ – x₁) / (1- v² / c²)^1/2

Величина x’₂ - x’₁ = l’есть длина стержня АВ, измеряемая в системе X'O'Y'. Соответственно, величина x₂ – x₁ = l есть длина того же стержня, измеряемая в системе XOY. Следовательно,

l’ = l / (1- v² / c²)^1/2 или l = l’ (1- v² / c²)^1/2 (5)

Таким образом, непосредственно из преобразований Лоренца-Эйнштейна следует, что длина стержня АВ, или расстояние между одновременным положением его концов, оказывается величиной относительной – различной в различных системах координат.

Р.Фейнман в [2] так объясняет сокращение длины:

“Теперь вернемся к преобразованиям Лоренца и попытаемся лучше понять связь между системами координат (x, y , z, t) и (x’, y’, z’, t’). Будем называть их системами S и S’, или соответственно системами Джо и Мика. Мы уже отметили, что первое уравнение основывается на предположении Лоренца о том, что по направлению x все тела сжимаются, Как же можно доказать, что такое сокращение действительно бывает? Мы уже понимаем, что в опыте Майкельсона-Морли по принципу относительности поперечное плечо BC не может сократиться; в то же время нулевой результат опыта требует, чтобы времена были равны. Чтобы получился такой результат, приходится допустить, что продольное плечо BE кажется сжатым в отношении (1 – u² / c²)^1/2. Что означает это сокращение на языке Джо и Мика? Положим, что Мик, двигаясь с системой S’ в направлении x’, измеряет метровой линейкой координату x’ в некоторой точке. Он прикладывает линейку x’ раз и думает, что расстояние равно x’ метрам. С точки же зрения Джо ( в системе S) линейка у Мика в руках укорочена, а на “самом деле” отмеренное им расстояние равно x’(1 – u² / c²)^1/2 метров. Поэтому, если система S’ удалилась от системы S на расстояние ut, то наблюдатель в системе S должен сказать, что эта точка (в его координатах) удалена от начала на x = x’(1 – u² / c²)^1/2+ ut, или x’ = (x – ut) / (1 – u² / c²)^1/2. Это и есть первое уравнение из преобразований Лоренца”.

Любопытное доказательство! Вначале мы отмечаем, что первое уравнение преобразований Лоренца-Эйнштейна “…основывается на предположении Лоренца о том, что по направлению x все тела сжимаются”. Затем, на основе этого предположения, приходим к выводу, что если такое сокращение длины действительно имеет место, то “…наблюдатель в системе S должен сказать...”, что такое сжатие тел происходит в точном соответствии с уравнением “… x’ + ut, или x’ = (x – ut) / (1 – u² / c²)^1/2…”, которое “… и есть первое уравнение из преобразований Лоренца”. А если тела не сжимаются? Ведь предположение о сжатии тел основано исключительно на нулевом результате эксперимента Майкельсона-Морли. Однако, как это показано в [3], нулевой результат объясняется совсем другими причинами, исключающими сокращение длины. Следовательно, никакого сокращения длины не существует, и все построения Р.Фейнмана оказываются ошибочными.

Имея в виду подобного рода “доказательства”, Гегель в своей “Науке логики” написал примерно следующее: “...софистика есть рассуждение из необоснованной предпосылки, принимаемой без критики и необдуманно. Чем богаче определенностью, а тем самым и отношениями становятся мысли, тем... более запутанным и лишенным смысла становится их изображение в таких формах, как числа. Символика является иногда... удобным средством обойтись без того, чтобы охватить, указать, оправдать определения понятий”(подчеркнуто мной – В.П).

Предположим теперь, что в движущейся системе координат установлены двое совершенно одинаковых часов таким образом, что маятник одних часов колеблется в плоскости, параллельной направляю движения этой системы, а маятник вторых часов колеблется в плоскости, перпендикулярной движению системы (рис.2):

Рис.2. Часы в движущейся системе координат.

При отклонении от вертикали, маятник первых часов движется параллельно движению системы, поэтому, согласно преобразованиям Лоренца-Эйнштейна, его длина сокращается пропорционально множителю (1- v² / c²)^1/2. Известно, что сокращение длины маятника означает уменьшение периода его колебаний, т.е. увеличение частоты его колебаний, что приведет к увеличению скорости хода этих часов. В то же время, длина первого маятника не изменится, так как этот маятник движется в плоскости, перпендикулярной движению часов. Таким образом, скорость хода этих часов не изменяется, тогда как скорость хода других часов изменяется. В этом случае, наблюдая изменение скорости хода “параллельных” часов, оказывается возможным определить скорость их движения, что противоречит принципу относительности, как его сформулировал Эйнштейн. Следовательно, само сокращение длины движущихся тел противоречит принципу относительности, и уже по одной этой причине не может иметь место в действительности.

Предположим, тем не менее, что сокращение длины движущихся тел действительно имеет место. Предположим, что Мик в рассмотренном выше мысленном эксперименте пытается измерить скорость света в его системе координат. Он измеряет время t’, пройдет в его системе путь l’. Тогда скорость света в системе Мика окажется равной c’ = l’ / t’. Однако Джо замечает, что “в действительности” импульс света проходит путь l = l’(1- v² /c²)^1/2. Так как согласно СТО скорость света в движущейся и неподвижной системе координат есть величина постоянная и равная c, время, в течение которого импульс света проходит путь l = l’(1- v² / c²)^1/2 оказывается равным:

l / c = l’(1- v² / c²)^1/2 / c

t = t’(1- v² / c²)^1/2.

Таким образом, сокращению длины тел (расстояний) в движущейся системе координат должно соответствовать такое же сокращение, а не увеличениеинтервалов времени между двумя событиями, произошедшими в той же системе координат. Пусть событиями будут колебания маятника каких-либо часов в движущейся системе координат. Тогда сокращение интервалов времени между колебаниями маятника часов означает увеличение, а неуменьшение скорости их хода. Другими словами, сокращению длины тел в движущейся системе координат соответствует ускорение, а не замедлениевремени в движущейся системе координат, что обеспечивает выполнение принципа постоянства скорости света, как его сформулировал Эйнштейн. В само деле, предположим что одиночный импульс света проходит путь l = l’(1- v² / c²)^1/2 за время t = t’/ (1- v² / c²)^1/2, где формула t = t’/ (1- v² / c²)^1/2описывает увеличение интервалов времени между двумя событиями, произошедшими в движущейся системе координат, т.е. замедление времени. Тогда скорость света в одной и другой системе окажется равной:

l’(1- v² / c²)^1/2 / = t’/ (1- v² / c²)^1/2

l’(1- v² / c²)^1/2 / t’/ (1- v² / c²)^1/2]

l’ / t’ (1- v² / c²) = c’,

что не равно c = l / t. Таким образом, увеличение интервалов времени между событиями в движущейся системе действительно противоречит принципу постоянства скорости света.

Объясняя “неукам”, что такое сокращение длины, лауреат Нобелевской премии по физике Л.Купер в [3] пишет: “Еще более странным оказалось бы измерение расстояний, поскольку наблюдатель в S’ вынужден был бы считать, что его измерительные стержни и масштабные линейки сократились в направлении движения в (1- v² / c²)^1/2 раз. Если он начнет рисовать окружность, он вынужден рисовать кривую, представленную на рисунке 3:

Рис.3. Это окружность, а не овал

Наблюдатель, конечно, понимает, что его окружность выглядит довольно странно. Однако при том определении длины, которую ему пришлось ввести (по настоянию Лоренца-Эйнштейна – В.П.), именно такая кривая обладает требуемым свойством, что все ее точки равноудалены от центра”. Т.е. он должен предположить, что кривая линия, которую он нарисовал, есть окружность! Однако этот же наблюдатель может сообразить, что, поворачивая нарисованную им кривую вокруг своей длинной оси, он может добиться того, что его фигура рано или поздно будет выглядеть именно как окружность! Это произойдет тогда, когда плоскость фигуры окажется ориентированной перпендикулярно его движению, что противоречит принципу относительности, как его сформулировал Эйнштейн. Таким образом, приходим к выводу, что сокращение длины противоречит принципу относительности. К счастью, предложенная Эйнштейном формула сложения скоростей обращает выражение (1- v² / c²)^1/2 в 1, что исключает и сокращение длины, и замедление времени, но зато возвращает нас к принципу относительности, как его сформулировал Эйнштейн.

Посмотрим теперь, как другой лауреат Нобелевской премии Р. Фишер, что такое замедление времени [2]. “Замедление хода часов в движущейся системе – явление весьма своеобразное, и его стоит пояснить. Чтобы понять его, давайте проследим, что бывает с часовым механизмом, когда часы движутся. Пусть это будет стержень (метровой длины) с зеркалами на обоих концах. Если пустить световой сигнал между зеркалами, то он будет без конца бегать туда-сюда, а часы будут тикать каждый раз, как только свет достигнет нижнего конца. Конструкция довольно глупая, но в принципе такие часы возможны. Дадим одни часы космонавту; пусть он возьмет их с собой на межпланетный корабль и поставит поперек направления движения, тогда длина стержня не изменится. Принцип относительности утверждает, что в равномерно движущейся системе …в часах никаких изменений не произошло (с точки зрения космонавта, движущегося вместе с часами - В.П.). С другой стороны, когда внешний (выделено мной – В.П.) наблюдатель взглянет на пролетающие мимо часы, он увидит, что свет, перебегая от зеркала к зеркалу, на самом деле движется зигзагами, потому что стержень все время перемещается боком. Мы уже анализировали такое зигзаообразное движение в связи с опытом Майкельсона-Морли. Когда за заданное время стержень сдвинется на расстояние, пропорциональное u (рис.4а), то расстояние, пройденное за то же время светом, будет пропорционально c, и поэтому расстояние по вертикали пропорционально (c² – u²)^1/2

Рис.4. Опыт со “световыми” часами
а – “световые” часы покоятся в системе S’
б – те же часы, движущиеся через систему S; (c² – v²)^1/2

Рис.4в. Диагональ, по которой движется пучок света в движущихся “световых” часах

Значит, свету понадобится больше времени, чтобы пройти движущийся стержень из конца в конец, - больше, чем когда стержень неподвижен. Поэтому кажущийся промежуток времени между тиканьями движущихся часов удлинится в той же пропорции, во сколько гипотенуза треугольника длиннее катета (из-за этого в формуле и появляется корень). Из рисунка также видно, что чем u больше, тем сильнее видимое замедление хода часов. И не только такие часы начнут отставать, но (если только теория относительности правильная!) любые часы, основанные на любом принципе, также должны отстать, причем в том же отношении”.Как было показано выше, сокращение длины в сочетании с замедлением времени не обеспечивает выполнение принципа постоянства скорости света, поэтому нужно отнестись к “объяснениям” Р.Фейнмана весьма внимательно.Прежде всего, обратим внимание, что в этом эксперименте имеется два наблюдателя: внешний, как его определил Р.Фейнман, относительно которого часы движутся с некоторой скоростью, и второй – космонавт, который движется вместе с часами. Рассмотрим ход лучей в часах с точки зрения каждого из наблюдателей.С точки зрения космонавта, часы неподвижны, поэтому луч света между зеркалами движется строго перпендикулярно движению часов. В этом случае, очевидно, время движения луча от одного зеркала к другому будет равно t₁ = D / c. Пусть этот перпендикулярный луч, движущийся от одного из зеркал, попадает в точку C другого зеркала, находящуюся на перпендикуляре между зеркалами.С точки зрения внешнего, неподвижного, наблюдателя за время t₂, в течение которого луч света пройдет расстояние от одного зеркала к другому, зеркало-отражатель сместится на некоторое расстояние s = ut. Тогда, чтобы попасть в ту же точку C, в которую этот луч попадает с точки зрения космонавта, движущегося вместе с часами, луч света должен отклониться в направлении движения часов на некоторый угол, как это изображено на рисунке. Однако в устройстве часов нет никакого механизма, обеспечивающего отклонение перпендикулярного луча вслед за движением часов. И все-таки этот луч отклоняется! Почему? – вот в чем вопрос.Очевидно, утверждение, что “пучок света” движется по диагонали, означает, что по диагонали движется каждый отдельно излученный импульс света, из которых и состоит пучок. При объяснении своего эксперимента Майкельсон считал, что отклонение перпендикулярного луча, наблюдаемоенеподвижным наблюдателем, обусловлено аберрацией. В действительности, однако, это не так: известно, что аберрация возникает в результате движения приемника света относительно источника, тогда как в этом эксперименте и приемник, и источник неподвижны друг относительно друга. Следовательно, аберрация в данном случае оказывается совершенно не при чем.Дело же заключается в том, что относительно неподвижного наблюдателя стержень, внутри которого движутся световые импульсы, действительно движется “боком”. Тогда световые импульсы, движущиеся внутри стержня, также будут двигаться “боком”, отклоняясь вместе с движущимся стержнем. Очевидно, это происходит потому, что свет движется в двух взаимно перпендикулярных направлениях: вдоль стержня со скоростью c(точнее, c / n, где n – коэффициент преломления стекла), и в перпендикулярном направлении со скоростью движения стержня u. Тогда, вследствие сложения скоростей, импульс света действительно будет двигаться боком. В этом случае за время импульс света проходит путь, равный [D² +(uτ)²]^1/2

так как, увлекаемый стержнем, движется по диагонали. В соответствии с правилами сложения скоростей как векторов, скорость движения импульса света относительно неподвижного наблюдателя будет равна (c² + u²)^1/2, так как импульс света движется в двух взаимно перпендикулярных направлениях. За время этот импульс проходит путь, равный (c² + u²) ^1/2, откуда следует:

[D^2[1] + (uτ)²]^1/2 = (c² + u²) ^1/2τ

D² + u²τ² = c²τ² + u²τ²

D = cτ

Таким образом, время движения перпендикулярного луча света оказывается одинаковым и с точки зрения космонавта, и с точки зрения внешнего, как его определил Р.Фейнман, наблюдателя. Это значит, что движущиеся световые часы идут точно так же, как и неподвижные. И никакого замедления времени!Известно, что ход лучей в своем эксперименте Майкельсон рассматривал с точки зрения внешнего, неподвижного наблюдателя, относительно которого интерферометр движется с орбитальной скоростью. По мнению Майкельсона, отклонение светового луча вслед за смещением интерферометра, наблюдаемым неподвижным наблюдателем, обусловлено аберрацией. Однако, аберрация возникает при движении приемника относительно источника света. В эксперименте же Майкельсона источник света – полупрозрачное зеркало – неподвижен относительно приемника – отражателя. Следовательно, аберрация в данном эксперименте оказывается совершенно не при чем. Как показано в [3], и в этом эксперименте отклонение луча вслед за смещением интерферометра, наблюдаемое неподвижным наблюдателем, обусловлено сложением скорости света, движущегося в атмосфере Земли, со скоростью движения самой атмосферы, движущейся с орбитальной скоростью Земли. В этом случае, время движения каждого из лучей, движущихся в интерферометре, оказывается одинаковым равным 2l / c (где l – расстояние между зеркалами) как с точки зрения земного наблюдателя, неподвижного относительно интерферометра, так и с точки зрения внешнего, неподвижного, наблюдателя, относительно которого интерферометр движется со скоростью орбитального движения Земли. Пусть это не соответствует СТО, но зато соответствует действительности.Таким образом, нулевой результат эксперимента Майкельсона-Морли обусловлен исключительно отсутствию движения интерферометра относительно той среды, в которой распространяется света в этом эксперименте, т.е. воздуха, или атмосферы Земли, тогда как в эксперименте Саньяка, в котором интерферометр движется относительно окружающего его воздуха, интерференционная картина в точности соответствует скорости этого движения [4]. Вместе с тем, эксперимент Саньяка подтверждает, что движущиеся относительно окружающей среды “световые” часы идут медленнее таких же часов, неподвижных относительно той же среды, однако это является свойством таких и только таких часов и не является свойством самого времени