ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение Как определить диапазон голоса - ваш вокал Игровые автоматы с быстрым выводом Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими Целительная привычка Как самому избавиться от обидчивости Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам Тренинг уверенности в себе Вкуснейший "Салат из свеклы с чесноком" Натюрморт и его изобразительные возможности Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д. Как научиться брать на себя ответственность Зачем нужны границы в отношениях с детьми? Световозвращающие элементы на детской одежде Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия Как слышать голос Бога Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ) Глава 3. Завет мужчины с женщиной Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д. Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу. Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Свойства криволинейного интеграла второго рода Свойства криволинейного интеграла первого рода Криволинейный интеграл I рода обладает следующими свойствами:   1. Интеграл не зависит от ориентации кривой;   2. Пусть кривая C1 начинается в точке A и заканчивается в точке B, а кривая C2 начинается в точкеB и заканчивается в точке D (рисунок 2). Тогда их объединением будет называться криваяC1 U C2, которая проходит от A к B вдоль кривой C1 и затем от B к D вдоль кривой C2. Для криволинейных интегралов первого рода справедливо соотношение   3. Если гладкая кривая C задана параметрически соотношением и скалярная функцияF непрерывна на кривой C, то   4. Если C является гладкой кривой в плоскости Oxy, заданной уравнением , то   5. Если гладкая кривая C в плоскости Oxy определена уравнением , то   6. В полярных координатах интеграл выражается формулой где кривая C задана в полярных координатах функцией .

 

 

БИЛЕТ№44

Вычисление криволинейного интеграла первого рода

Пусть — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция определена и интегрируема вдоль кривой в смысле криволинейного интеграла первого рода. Тогда

.

Здесь точкой обозначена производная по : .

 

БИЛЕТ45

Механические приложения

· Работа A по перемещению материальной точки вдоль кривой l под воздействием силы вычисляется по формуле

· Масса m кривой l, линейная плотность которой вдоль кривой l равна μ(x, y, z), выражается интегралом

· Координаты (x_c, y_c, z_c) центра масс (центра тяжести) кривой l с линейной плотностью μ(x, y, z) находятся по формулам:

,

,

,

где m — масса кривой l

· Моменты инерции кривой l относительно координатных осей:

,

,

· Сила притяжения точечной массы материальной кривой l есть

,

где μ(z, y, z) — линейная плотность кривой l, m₀ — масса точки с координатами (x₀, y₀, z₀); γ — постоянная тяготения,

 

 

БИЛЕТ№46 Криволинейные интегралы второго рода

Определение Предположим, что кривая C задана векторной функцией , где переменная s − длина дуги кривой. Тогда производная векторной функции представляет собой единичный вектор, направленный вдоль касательной к данной кривой (рисунок 1). В приведенной выше формуле α, β и γ − углы между касательной и положительными направлениями осейOx, Oy и Oz, соответственно.   Рис.1   Рис.2 Введем векторную функцию , определенную на кривой C, так, чтобы для скалярной функции существовал криволинейный интеграл . Такой интеграл называется криволинейным интегралом второго рода от векторной функции вдоль кривой C и обозначается как Таким образом, по определению, где − единичный вектор касательной к кривой C. Последнюю формулу можно переписать также в векторной форме: где . Если кривая C лежит в плоскости Oxy, то полагая R = 0, получаем

Свойства криволинейного интеграла второго рода

Криволинейный интеграл II рода обладает следующими свойствами:

 

1. Пусть C обозначает кривую с началом в точке A и конечной точкой B. Обозначим через−Cкривую противоположного направления - от B к A. Тогда

 

2. Если C − объединение кривых C₁ и C₂ (рисунок 2 выше), то

 

3. Если кривая C задана параметрически в виде , то

 

4. Если кривая C лежит в плоскости Oxy и задана уравнением (предполагается, чтоR =0и t = x), то последняя формула записывается в виде