ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Раздел 1. Вклад Р. Мак-Кормака в развитие вычислительной гидродинамики

РЕФЕРАТ

ПО ПРОЧИТАННОЙ на английском языке ЛИТЕРАТУРЕ

ПО ТЕМЕ:

«Метод Мак-Кормака в вычислительной гидродинамике»

Аспиранта: Коркишко Валерии Владимировны

Специальность: 01.02.05 «Механика

жидкости, газа и плазмы»

Руководитель по специальности:

д-р тех. наук, проф. Семко А.Н.

Руководитель по англ. языку:

к. фил. наук, Захарова А. Л.

ДОНЕЦК 2016

Отзыв научного руководителя

на реферат Коркишко В.В.

«Метод Мак-Кормака в вычислительной гидродинамике»

аспиранта

Кафедры общей физики и дидактики физики

Реферат по английскому языку по прочитанной литературе В. В. Коркишко на тему «Метод Мак-Кормака в вычислительной гидродинамике» посвящен изучению перспективы применения численного метода Мак-Кормака, популярного в газодинамике и аерокосмической динамике, к задачам вычислительной гидродинамики. И газодинамика, и гидродинамика описывают процессы, происходящие в сплошных средах, но при решении задач о движении жидкости необходимо учитывать многие специфичные факторы, такие как кавитация, наличие свободной поверхности, необходимость использовать в расчетах подвижную сетку.

В своем реферате В. В. Коркишко рассмотрела литературу посвященную вопросу, подобрала примеры, демонстрирующие возможность применения метода Мак-Кормака для задач гидродинамики.

В. В. Коркишко в процессе работы проявила самостоятельность, умение творчески работать с литературой, умение ставить задачи и выбирать наилучшие способы для их решения.

Реферат заслуживает оценки «ОТЛИЧНО».

Научный руководитель Семко А.Н.

Содержание

Введение ……………………………………………………………… 3

Раздел 1. Вклад Р. Мак-Кормака в развитие вычислительной гидродинамики …………………………… 4

Раздел 2. Метод Мак-Кормака ………………………………… 8

Выводы ……………………………………………………………….. 13

Список использованной литературы ………………….... 14

Введение

Численные компьютерные симуляции сегодня являются неотъемлемой частью академического и промышленного процесса. Это явно видно по огромному количеству научных статей, появляющихся в периодических изданиях по всему миру, и по широкому разнообразию соответствующего программного обеспечения. Жидкостная динамика в этом отношении не исключение. При решении задач гидродинамики очень часто оказывается, что получить точное аналитическое решение - невозможно. Поэтому используют приближенные методы вычисления, или численные методы. Их можно разделить на два типа: методы с выделением разрывов и методы сквозного счета. Среди методов сквозного счета отдельную нишу занимают центральные схемы. Такие схемы могут служить универсальным конечно-разностным методом для решения нелинейных конвективно-диффузионных уравнений. Суть в том, что они не привязаны к специфичной собственной структуре задачи, а поэтому могут применяться напрямую как некие решающие черные ящики для общих законов сохранения и связанных с ними уравнений, управляющие спонтанно возникающими значительными градиентами.

Сейчас очень актуальным является повышение точности решения задач с помощью адаптации методов большего порядка аппроксимации.

Объект исследования – численные методы второго порядка.

Предмет исследования – метод Мак-Кормака

Цель работы: обзор современных статей о применении метода Мак-Кормака

Реферат состоит из двух разделов. Первый раздел посвящен анализу достижений Роберта Мак-Кормака в сфере компьютерного физического моделирования. Во втором разделе приведена формулировка явного метода Мак-Кормака, рассмотрена проблема численной устойчивости, принципы расширения одномернойц задачи на многомерное пргостранство.

Раздел 1. Вклад Р. Мак-Кормака в развитие вычислительной гидродинамики

Роберт Мак-Кормак – один из главных «двигателей» вычислительной динамики еще с самого момента обособления этого раздела физики, как отдельной науки. Он сделал значительный вклад в основы численных методов, применяемых для решения задач, описывающих движение сжимаемой среды, включая высокоскоростные среды с неравновесными химическими процессами. Кроме того, он применил эти методы к важным фундаментальным задачам, среди которых описание взаимодействия между пограничными слоями ударной волны, сверхзвуковые потоки для compression ramps, а также решил некоторые чисто прикладные задачи, например, обтекание аэрокосмических приборов.

Большинство исследователей, работающих в сфере вычислительной гидродинамики, хорошо знакомы с чрезвычайно эффективной модификацией метода Лакса-Вендроффа, известной в литературе как «метод Мак-Кормака». Но вместе с тем немало важных положений и идей Мак-Кормака касательно численных расчетов в газовой и гидродинамике остаются мало изученными. К таким концепциям относятся: конечно-объемный метод Мак-Кормака, метод с использованием численной диссипации второго и четвертого порядка, неявная схема Мак-Кормака, использование релаксационных техник для итерации уравнений сжимаемой среды в устойчивом состоянии и его модифицированная приближенная факторизованная схема. Он также использовал под-итерацию для ограничения (или минимизации) ошибок расщепления, обосновал применение численной вязкости в форме, подобной к форме естественной вязкости, для сохранения конструкции решений уравнений Навье-Стокса.

Мак-Кормак применил свои идеи ко многим физическим проблемам, включая задачи о сверхзвуковых ламинарных и турбулентных течениях и течениях с температурной или химической неравновесностью. Также он работал в сфере магнитогидродинамики.

Первая работа Роберта Мак-Кормака проводилась на базе исследований NASA и касалась гиперзвуковых ударных волн. Его статья обобщала эксперименты, которые проводились для решения такой задачи: «Нужна ли газообразная атмосфера для вспышек видимого излучения при гиперзвуковом бомбардировании. Эти эксперименты имели целью определить химический состав лунной поверхности с помощью спектрографического анализа при гиперзвуковой бомбардировании темной стороны луны.

Анализ энергий, необходимых для протекания различных процессов, приводящих ко вспышке, показал что зависимость наблюдаемых величин уровня яркости от окружающего давления, была величиной постоянной с учетом взаимодействия быстродействующего возмущения с атмосферой – именно это и было основной причиной излучения. В своей статье Роберт Мак-Кормак отметил, что для более высоких скоростей, или для других материалов, кроме алюминия и базальта, на которых проводилось тестирование, механизм образования выемок может оказаться достаточным условием для возникновения видимого излучения.

Было необходимо решить проблему численно, даже для облегченного, осесимметричного случая, и численное решение этой задачи было получено Робертом Мак-Кормаком с помощью схемы второго порядка точности. Эта схема получилась из схемы Лакса-Вендроффа путем введения предиктора и корректора: 1) предиктор рассчитывался с помощью разностного дифференцирования в направлении «назад», а корректор – «вперед». С тех пор придуманная им схема стала очень популярна в вычислительной гидродинамике, и носит название хемы Мак-Кормака. В статье Мак-Кормак изучает устойчивость схемы и доказывает, что применение обратных направлений при дифференцировании предиктора и корректора позволяет значительно уменьшить временной шаг и, тем самым, повысить точность решения. Это предположение не единожды проверялось на практике при применении метода Мак-Кормака для разнообразных задач.

Сложное взаимодействие, которое возникает, когда ударная волна падает на ламинарный пограничный слой, была проблемой, которую выбрал Роберт Мак-Кормак для демонстрации своего метода. Там, где другие исследователи численных методов пытались справиться и не смогли достичь успеха, именно Мак-Кормаку удалось численно решить уравнений Навье-Стокса для сжимаемой жидкости.

Причины успеха Роберта были "очевидны", как любят говорить математики. Во-первых, метод был прост. Во-вторых, он расщеплялся по времени до двух одномерных операторов, при этом сохраняя второй порядок точности. В-третьих, произошло также расщепление вычислительной области на внутренний и внешний вязкие домен, что позволило использовать для них различные формулы и тем самым повысить точность решения. В-четвертых, что было оценено меньше всего, наклонная техника дифференцирования была применена для расширенных областей и был применен подход с обеспечением четвертого порядка точности с одновременным сглаживанием колебаний функции. Главным было то, что эти подходы были так «спаяны», что схемы оставалась устойчивой при стремление параметра устойчивости к единице.

Метод Мак-Кормака с расщеплением по времени так «расщепляет» оригинальную схему Мак-Кормака, что решение многомерной задачи сводится к последовательному решению одномерных задач. Благодаря этому условие устойчивости разностной схемы становится менее жестким. Другими словами, расщепление позволяет получить решение в каждом направлении с максимально допустимым шагом по времени. Особенно заметно преимущество расщепления в том частном случае, когда максимально допустимые шаги по времени, сильно отличаются друг от друга из-за различия пространственных шагов разностной сетки.

Мак-Кормак сделал огромный вклад в вычислительную гидродинамику еще и тем, что сформулировал принцип контрольного объема для достижения консервативной формы уравнений. Вместо того чтобы вычислять разности непосредственно из управляющих дифференциальных уравнений, он пришел к выводу, что поток жидкости может быть локально разделен на контролируемые конечные объемы (или ячейки). При этом силы, действующие в жидкости, оказывают действующими на границы ячеек, а масса, момент движения и энергия – транспортируются сквозь ячейку. Эта концепция была благоприятно воспринята исследователями в области вычислительной гидродинамики и сейчас широко применяется при решении задач. Методы, используемые в этой ветви вычислительной гидродинамики так и называются: «конечно-объемные схемы».

Из-за значительных ограничений на временной шаг для явного метода, в конце 70-х годов стали активно разрабатываться неявные, способные увеличить точность решения. Также стали предметом глубокого изучения такие идеи, как расщепление потока, противо-потоковое дифференцирование, методы с уменьшением суммарной вариации параметров. В 1981 году Мак-Кормак ввел бидиагональную неявную разностную схему Мак-кормака, которая опиралась на подход предиктор-корректор.

В своей статье Мак-Кормак установил очень важную концепцию для развития численных методов, применяемых для вычисления параметров устойчивого состояния. Он предположил, что желательной формой численного метода является запись через дельта-форму, при которой числовые параметры оказываются с одной стороны, например, слева от знака равно, а точные аппроксимации физического уравнения – с другой, например, правой. Задачей левой (числовой) части является создание локально определенного решения, которые в остается устойчивым без значительно урезания законов физики.

Для численной эффективности лево-сторонние элементы должны быть максимально удобными и легко применимыми. Они также должны приводить параметры правой стороны к нулю с наибольшей скоростью. Дельта-форма была представлена еще ранее, в работах Бима и Варминг, описывающих его явный метод. Однако именно Мак-Кормак сделал такую схему вычислительной гидродинамики, которая была бы понятной и с легко прослеживаемой логикой расчета. Он, как и раньше, локально расщеплял уравнения Навье-Стокса на одномерные операторы. Разности вперед и назад применялись к линеаризированным матрицам потоковых величин в явных операторах. Разности с направлением «вперед» для шага предиктора и с направлением «назад» для корректора вылились в простую бигональную матрицу инверсных параметров для явной процедуры. Сочетание двух (предиктор и корректор) бидиагональных скалярных матриц создает, и довольно эффективно, диагональный доминирующий оператор матрицы.

После добавления явной процедуры, метод теоретически стал устойчивым для любого временного шага. Он более не нуждался ни в скалярных, ни в смешанных тридиагональных матрицах инверсий параметров. Таким образом, метод стал более эффективным и была достигнута более высокая скорость расчетов.