ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение Как определить диапазон голоса - ваш вокал
Игровые автоматы с быстрым выводом Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими Целительная привычка Как самому избавиться от обидчивости Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам Тренинг уверенности в себе Вкуснейший "Салат из свеклы с чесноком" Натюрморт и его изобразительные возможности Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д. Как научиться брать на себя ответственность Зачем нужны границы в отношениях с детьми? Световозвращающие элементы на детской одежде Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия Как слышать голос Бога Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ) Глава 3. Завет мужчины с женщиной
Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д. Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу. Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар. | Линейные неоднородные дифференциальные уравнения со специальной правой частью В двух частных случаях, когда правая часть уравнения (14) имеет вид , где – многочлен -й степени, – число, или , где – многочлены степени и , соответственно, – числа, частное решение уравнения (14) можно найти методом неопределенных коэффициентов. А именно, пусть правая часть имеет вид . Если не совпадает ни с одним корнем характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде , (26) где – многочлен той же степени, что и , но с неопределенными коэффициентами, которые надо найти. Для чего, вычисляя с помощью (26) и подставляя в исходное уравнение (14), сокращаем правую и левую части на . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений для отыскания неопределенных коэффициентов. Подставив их в (26), будем иметь искомое частное решение . Если совпадает с некоторым корнем характеристического уравнения кратности , то частное решение ищется в виде . (27) Дальнейшие действия аналогичны предыдущему случаю. Пусть теперь правая часть уравнения (14) имеет вид . Если число не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде , (28) где , и многочлены одной и той же степени , но с разными неопределенными коэффициентами, которые находятся так же, как и в первом случае. Если совпадает с некоторым корнем характеристического уравнения кратности , то выражение для частного решения (28) умножается на , а именно , (29) где , , те же, что и выше. Замечание 1. Если в правой части один из многочленов или нулевой (т.е. или ), то вид частного решения не меняется, т.е. ищется в форме (28) или (29). Замечание 2. Многочлены с неопределенными коэффициентами четвертой, третьей, второй, первой, нулевой степени имеют вид: где неопределенные коэффициенты; многочлены и выписываются аналогично . Примеры. 1. Для каждого из данных неоднородных дифференциальных уравнений написать вид его общего и частного решений с неопределенными коэффициентами (числовые значения коэффициентов не находить): а) , б) . 2. Найти общие решения следующих уравнений: в) , г) . Решение.а) Рассмотрим уравнение . Ищем общее решение в виде . Характеристическое уравнение имеет корни , т.е. кратность корня равна 2. Согласно формуле (25) общее решение соответствующего однородного уравнения . Для того, чтобы выписать частное решение проанализируем правую часть , где – многочлен 1-й степени, т.е. , тогда , т.е. совпадает с одним корнем кратности 2 характеристического уравнения, следовательно, имеет место формула (27): , где и неопределенные коэффициенты. Общее решение исходного уравнения имеет вид . б) Для уравнения соответствующее характеристическое уравнение имеет кратные корни , , т.е. . Согласно формуле (24) с учетом кратности корней получим общее решение соответствующего однородного уравнения Для того, чтобы выписать частное решение анализируем правую часть , где т.е. . Следовательно, многочлены с неопределенными коэффициентами и имеют одну и ту же степень , но разные коэффициенты, т.е. . Составим число (так как ), поскольку не совпадает ни с одним корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде (28) , а общее решение есть . в) Общее решение уравнения ищется в виде . Характеристическое уравнение имеет корни . Общее решение соответствующего однородного уравнения есть . Правая часть неоднородного уравнения , где , откуда совпадает с одним корнем характеристического уравнения , следовательно, по формуле (27) частное решение имеет вид: , где неопределенный коэффициент. Найдем его методом неопределенных коэффициентов, для чего, подставив , в исходное уравнение, будем иметь . Сократим последнее уравнение на , получим . Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях . Так как неопределенный коэффициент найден, , то частное решение имеет вид: , следовательно, общее решение исходного уравнения запишется в форме: . г) Уравнение это уравнение с правой частью второго типа, его общее решение ищется в виде . Характеристическое уравнение имеет корни . Общее решение однородного уравнения выписывается по формуле (23): . Для отыскания частного решения анализируем правую часть , здесь тогда число не совпадает с корнями характеристического уравнения, следовательно, выписываем по формуле (28): . Неопределенные коэффициенты и находятся так: 1) Считаем . 2) Подставляем в исходное уравнение: или . 3) Приравнивая коэффициенты при и , стоящие в правой и левой частях последнего уравнения, получим систему для определения коэффициентов и : . 4) Итак, частное решение имеет вид , следовательно, общее решение исходного уравнения запишется в форме: . |