ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

РЕШЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЭВМ

Для решения полученной системы дифференциальных уравнений (23) с помощью ЭВМ целесообразно выбрать метод численного интегрирования Рунге-Кутты, а для решения системынелинейных алгебраических уравнений (24) - метод Ньютона-Рафсона.

В программное обеспечение персональных компьютеров кафед­ры входит пакет MATLAB, с помощью которого можно решать системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты, а также системы нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона-Рафсона, Использование этих численных методов, которые запускаются в MATLAB с помощью соответствующих команд, значительно облегчает вы­полнение расчётной части домашнего задания студентами. При использовании этих методов расчет становится минимальным по объему, а индивидуальность задания для каждого студента отражается в подпрограмме-функции, содержащей решаемую систему уравнений, которую студент должен написать самостоятельно, в соответствии со своим индивидуальным заданием.

Решение систем ОДУметодом Рунге-Кутты в среде MATLAB

Рисунок 1 – Окно MATLAB при входе в пункт меню File и затем - New

Рисунок 2 –Окно опции Function с уравнениями системы (23)

Функция, содержащая уравнения, может быть представлена в виде:

function DY=KINET(X,Y)

%Summary of this function goes here

%Detailed explanation goes here

DY=zeros(5,1); вектор-столбец правой части уравнений y’- f (x, y)=0

K=[4 2 3 3 1.2]; Значения констант скоростей реакций

DY(1)=-K(1)*Y(2)+K(2)*Y(3)^0.7-K(3)*Y(1)^1.5;

DY(2)=-2*K(1)*Y(2)+2*K(2)*Y(3)^0.7;

DY(3)=3*K(1)*Y(2)-3*K(2)*Y(3)^0.7-K(4)*Y(3)*Y(4)+K(5)*Y(5)^2;

DY(4)=K(3)*Y(1)^1.5-K(4)*Y(3)*Y(4)+K(5)*Y(5)^2;

DY(5)=2*K(4)*Y(3)*Y(4)-2*K(5)*Y(5)^2;

End

При этом константы скорости реакций задаются в виде массива K в первой строке описания функции.

Сохранив функцию, переходят в Command Window (Командное Окно) и набирают команду:

>>[X,Y] = ode15s(@KINET,[0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2],[5 2 0 0 0]);

и нажимают Enter.

[X,Y] – означает вывод значений переменной X и функций Y. Ode15s* – запускает метод Рунге-Кутты (можно использовать ode45**, ode – англ. ordinary differential equations), @KINET – вызов функции, содержащей систему дифференциальных уравнений. В первых квадратных скобках заключены значения переменной X, при которых выполняют расчеты; в следующих квадратных скобках указаны начальные значения функций Y(1), Y(2), …, Y(n).

Значения X и рассчитанные значения Y сохраняются в WorkSpace в файлах с именами X и Y, соответственно (рис. 3).

* ode15s – многошаговый метод переменного порядка (от 1-го до 5-го, по умолчанию 5), использующий формулы численного дифференцирования. Это адаптивный метод, его стоит применять, если решатель ode45 не обеспечивает необходимой точности решения;

** ode45 – одношаговые явные методы Рунге-Кутты 4-го и 5-го порядка. Это классический метод, рекомендуемый для предварительного решения. Во многих случаях он дает хорошие результаты.