 ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ
| Линеаризация и суммирование характеристик 12
Лабораторная работа №7 Тема: Экспериментальное определение динамических характеристик регулируемых объектов Цель работы: Научиться экспериментально определять динамические характеристики регулируемых объектов
Теоретическая часть Свойства объектовНа поведение систем управления (СУ) в установившихся и неустановившихся режимах влияют свойства объектов и средств автоматизации. Наиболее существенно это влияние проявляется в замкнутых системах, к которым относятся прежде всего системы регулирования. Знание свойств объектов необходимо также для правильного выбора средств оперативного контроля настройки систем аварийной защиты и создания систем программного логического управления. К объектам в дальнейшем для краткости будем относить не только объекты управления, но и любые элементы СУ, а также системы в целом, т.к. они могут быть объектами исследования. Статика изучает установившиеся состояния объектов при постоянных во времени воздействиях. Устойчивость состояний равновесия не рассматривается, т.к. подробно изучается в динамике. Состояние любого объекта характеризуется значениями входных (независимых) и выходных (зависимых) параметров (величин). Простые объекты имеют один входной и один выходной параметр. Например, для термопреобразователя сопротивления входным параметром является температура, а выходным - электрическое сопротивление. Реальные объекты имеют несколько входных и несколько выходных величин. Например, для центробежного насоса к входным величинам относятся давление и плотность поступающей жидкости, частота вращения вала и сопротивление напорной магистрали. Выходными величинами для него являются расход и давление нагнетаемой жидкости, а также потребляемая мощность. Если входные параметры могут изменяться независимо от поведения объекта, то значения выходных величин зависят от значений входных величин. Выходные параметры сложных объектов в той или иной мере связаны между собой. При изучении общих свойств объектов следует учитывать самовыравнивание, линейность, стационарность и распределенность параметров. Под самовыравниваем (саморегулированием) понимают свойство объекта самостоятельно приходить к определенному состоянию равновесия, зависящему от уровня стабилизации внешних воздействий. Многие объекты обладают этим свойством. Они имеют статические характеристики и называются статическими.
Некоторые объекты не обладают самовыравниванием. К ним относятся, в частности, исполнительные механизмы с постоянной скоростью перемещения выходного органа и сосуды с жидкостью, если уровень не влияет на приток и отток ее. Состояние равновесия таких объектов может наступить при любом значении выходной величины, если только соблюдается равенство внешних воздействий. Например, уровень жидкости в сосуде перестает изменяться при достижении равенства расходов ее на притоке и оттоке. Равновесие может наступать при любом значении уровня жидкости. Объекты без самовыравнивания не имеют статических характеристик. Их называют астатическими,. Линейность свойств объекта предполагает наличие однозначной прямолинейной связи между входными и выходными величинами. Чаще всего эта связь нелинейная. Если ее можно считать линейной хотя бы при малых отклонениях входных величин, то объект считается линейным. Динамические свойства линейных объектов описываются дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Подробнее линейность свойств объектов обсуждается при рассмотрении статических и динамических характеристик. Стационарность характеризуется постоянством свойств объекта в течение рассматриваемого промежутка времени. В процессе эксплуатации свойства реальных объектов изменяются вследствие изнашивания деталей, старения материалов, загрязнения теплопередающих поверхностей, образования снеговой шубы и т.д. Скорость упомянутых процессов неодинакова. Если старение материалов происходит в течение ряда лет, то образование снеговой шубы заметно уже через несколько часов работы воздухоохладителя. Обычно свойства объекта считаются стационарными, если они не изменяются хотя бы за время переходного процесса. Распределенность параметров объекта отражает зависимость их численных значений от пространственных координат. Она особенно присуща тепловым объектам. Например, температура воздуха в разных точках охлаждаемого помещения неодинакова. Вблизи охлаждающих устройств она ниже, а в местах поступления тепла - выше среднего значения. Характерно, что в переходных процессах скорость изменения одноименных параметров в разных точках подобных объектов не совпадает. Динамические свойства объектов с распределенными величинами описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Из-за трудностей решения таких уравнений, по возможности, учитывают распределенность параметров лишь по одной из пространственных координат. Если зависимость значений параметров от пространственных координат выражена слабо, ее приближенно можно считать линейной. Тогда состояние объекта могут характеризовать средние значения параметров, которые как бы сосредоточены в определенных точках объекта. Выходные параметры ряда объектов не зависят от пространственных координат. Например, температура кипящей жидкости одинакова по ее всему объему, давление газа действует одинаково во всех направлениях. Зачастую выходным параметром является конкретное положение какого-то элемента объекта в пространстве. Например, уровень жидкости в сосуде, положение выходного органа исполнительного механизма и т.д. Объекты, у которых распределенность параметров отсутствует или пренебрежимо мала, относятся к объектам с сосредоточенными величинами. Динамические свойства их описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Статическая характеристика отражает зависимость между входными и выходными величинами объекта в установившемся режиме. Напомним, что объекты без самовыравнивания такой характеристики не имеют. Статические характеристики могут быть представлены в аналитической, графической или табличной форме. В графическом представлении обычно, каждая статическая характеристика показывает зависимость одного выходной величины от одного или нескольких входных параметров. Характеристики сложных объектов с рядом входных и выходных параметров изображают в виде нескольких графиков. Например, широко используемая характеристика компрессора показывает зависимость холодопроизводительности от температур кипения и конденсации хладагента. Реже изображаются зависимости потребляемой компрессором мощности и холодильного коэффициента от тех же температур. Вид хладагента, перегрев отсасываемого пара, переохлаждение конденсата, частота вращения вала и конструктивные данные компрессора оговариваются отдельно. При отвлеченном изучении характеристик обычно обозначают х - входной параметр, а у - выходной. В зависимости от свойств объектов статические характеристики могут быть линейными и нелинейными, однозначными и неоднозначными, рис.2.1. Объектов с линейными характеристиками в неограниченном диапазоне изменения входных параметров не существует. Поэтому принято говорить о линейности характеристик в рабочем диапазоне. Нелинейности статических характеристик могут быть весьма разнообразными. Различают существенно нелинейные и криволинейные характеристики.
Неоднозначными могут быть как линейная, так и нелинейная характеристики. Неоднозначность проявляется в том, что при увеличении входной величины изменение выходной величины происходит по одной линии, а при уменьшении - по другой. В ряде случаев, как показано на рис.2.1 г, при смене направления изменения входной величины возможен переход с одной ветви характеристики на другую. При одном и том же значении входной величины выходной величины в зависимости от предыстории может принимать любое значение между нижней и верхней ветвями. Такую характеристику имеют объекты с люфтом или сухим трением. Все сигнализаторы и датчики-реле имеют неоднозначные релейные характеристики с двумя или несколькими фиксированными значениями выходной величины (сигнала). Линеаризация и суммирование характеристик
Производная f(x)по своему смыслу является коэффициентом наклона касательной. Если выходной параметр зависит от нескольких входных параметров, то производные определяются по каждому из них. Например, для функции двух переменных y=f(x1;x2) получаем: Практически такая линеаризация равноценна замене кривых линий в окрестностях выбранной точки участками касательных. Во избежание заметных погрешностей отклонения входных параметров от начальных значений х должны быть небольшими. Для краткости их обозначают Дх=х-х„ и нередко говорят, что линеаризация производится методом малых отклонений (приращений). С учетом этого выражение (2.2) представляют в виде: Если частные производные обозначить как коэффициенты наклона К1 и К2, а начальные значения выходной величины определить как y0=f(xg), т можно получить (2.3)
Линеаризация характеристик широко применяется при исследовании систем регулирования (СР). Задачей таких систем обычно является стабилизация параметров. Отклонения от заданного режима должны быть минимальными. Следовательно, линеаризация характеристик не приводит к большим погрешностям. В то же время она значительно облегчает анализ СР. Ее применяют в качестве первого приближения даже в тех случаях, когда входные параметры изменяются в значительных пределах. Если в системе содержится несколько элементов, то желательно линеаризовать результирующую характеристику, т.к. нелинейности отдельных элементов могут компенсировать друг друга. В дальнейшем анализе рассматриваются линейные и линеаризованные характеристики. Суммирование характеристик отдельных объектов с учетом способа соединения их между собой позволяет получить результирующую характеристику. Любую автоматическую систему можно считать состоящей из ряда элементов, называемых звеньями. Предполагается, что звенья обладают направленностью действия и пропускают сигнал только в одном направлении. Чаще всего звеньями являются простые объекты, имеющие по одному входному и выходному параметру, связь между которыми в линейном приближении определяется уравнением:
где K-коэффициент пропорциональности (усиления, наклона). Встречаются три способа соединения звеньев в системах: параллельное, последовательное и встречно-параллельное, т.е. соединение по способу обратной связи, рис.2.3. При параллельном соединении входная величина х является общей для всех звеньев. Выходная величина цепочки определяется как сумма:
После соответствующей подстановки получается:
Встречно-параллельное соединение может быть с положительной или отрицательной обратной связью, рис.2.3 в. С учетом этого сигнал на выходе обозначенного кружком элемента сравнения получается:
Выходной сигнал звена прямой связи является входным для звена обратной связи и выходным для всей цепочки. Значения выходных сигналов обоих звеньев определяются Решая совместно последние три уравнения, после исключения промежуточных переменных е и уа получаем:
Следует учитывать, что при положительной обратной связи в знаменателе получается знак минус и наоборот. В выражениях (2.5,2.6,2.7) множитель при входной переменной х представляет собой эквивалентный коэффициент пропорциональности соответствующей цепочки звеньев. Его используют для определения отклонений параметров цепочки от исходного состояния равновесия, если статические характеристики звеньев линеаризованные. Последовательное применение рассмотренных правил позволяет получить результирующую статическую характеристику или коэффициент пропорциональности сложной системы. Статической характеристикой СР называют зависимость установившихся значений регулируемой величины от нагрузки или наиболее характерного внешнего воздействия. Она определяется характеристиками звеньев системы и способом их соединения. Иногда используется статическая характеристика регулятора, под которой понимают зависимость положения регулирующего органа от нагрузки объекта регулирования.
Если регулируемый параметр у не зависит от нагрузки М (линия / на рис.2.4), то система называется астатической. Работающие по принципу Пон селе системы являются астатическими по своему построению. В системах, ] работающих по принципу Ползунова-Уатта, часто получается статическое регулирование, при котором действительное и заданное значение регулируемой величины в установившихся режимах совпадают лишь при расчетной нагрузке Мр регулируемого объекта, кривые 2 и 3 на рис.2.4. При разработке и настройке СР необходимо обеспечить, чтобы статическая погрешность регулирования в нужном диапазоне нагрузок и режимов работы не выходила за допустимые пределы. Поэтому построение статической характеристики СР является одним из первых этапов ее исследования. Заметим, что работающие по принципу Ползунова-Уатта системы становятся астатическими, если объект регулирования или регулятор не имеет статической характеристики, т.е. является астатическим, но в несколько ином смысле. Способы определения статических характеристик холодильного оборудования изучаются в специальных дисциплинах. Характеристики средств автоматизации обычно приводятся в технической документации. Поэтому в данном пособии больше внимания уделяется определению динамических характеристик, которые в других источниках не рассматриваются. Здесь отметим, что при автоматизации холодильных установок статические характеристики оборудования используются для обоснованного выбора управляющих воздействий, регулируемых и контролируемых параметров. 12 |
Многие объекты имеют криволинейные однозначные характеристики. Когда нелинейность выражена слабо, а входной параметр изменяется в небольших пределах, участки таких характеристик приближенно можно считать линейными. Замена нелинейной зависимости участка прямой линии в окрестностях заданного значения входной величины или в ограниченном интервале изменения его называется линеаризацией. Ее можно производить графически и аналитически. Если статическая характеристика задана графически, то линеаризация в точке хй сводится к замене кривой линии участком касательной, проведенной через эту точку, рис.2.2 а. Понятно, что погрешность линеаризации возрастает с удалением от выбранной точки. Когда интервал возможного изменения входной величины выбран, а кривизна характеристики непостоянная, производят линеаризацию на отрезке, рис.2.2 б. Для этого проводится прямая через точки характеристики, соответствующие значениям хн и хк, и касательная к ней в точке 
В качестве аппроксимирующей принимается прямая, занимающая среднее положение между секущей и касательной. Такая линеаризация оказывается точнее. В аналитической форме статическая характеристика задается уравнением вида y=f(x). Линеаризация при этом осуществляется разложением функции в ряд Тейлора с сохранением нулевого и первого членов ряда в окрестностях выбранной точки x0:
(2.1)
(2.2)
(2.4)
(2.5)
по выражениям:
(2.7)
