ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Границя функції двох змінних

Означення 12. Число B називається границею функції при , , якщо для будь-якого існує число таке, що при виконанні нерівності виконується нерівність і позначається або .

Зауваження. Для функції багатьох змінних справедливі теореми про границю суми, добутку та частки, які аналогічні відповідним теоремам для функції однієї незалежної змінної.

Наведемо формулювання відповідних теорем.

Теорема 1. Якщо функція має границю при , то вона єдина.

Теорема 2. Якщо функція має границю при , то вона обмежена в деякому околі точки .

Теорема 3. Якщо , і в деякому околі точки виконується нерівність , то .

Теорема 4. Нехай , . Тоді:

1) ;

2) ;

3) .

Приклад. Обчислити .

Згідно з теоремами про арифметичні операції з границями, а також те, що границя сталої дорівнює сталій, тобто , , маємо

Приклад. Обчислити .

Візьмемо . Тоді з того, що випливає і задану границю можна переписати у вигляді . При маємо ; , тобто . Таким чином, .

Зауваження.Між поняттями границі в точці для функції однієї змінної та функції багатьох змінних є багато спільного, але є й принципова відмінність, яка робить поняття границі функції кількох змінних суттєво більш обмеженим, ніж поняття границі функції однієї змінної.

Річ у тім, що коли ( — функція однієї змінної), то це означає, що і лівостороння і правостороння границі дорівнюють b. Правильним є й обернене: з існування та збігу двох односторонніх границь випливає існування границі функції в точці.

Для функції двох змінних наближатися до точки можна нескінченною множиною способів: і справа, і зліва, і зверху, і знизу, і під кутом 30° до осі Ох тощо (рис. 10).

Рис. 10 Рис. 11

Більше того, до точки можна наближатися не тільки по прямій, а й по більш складних траєкторіях (рис. 11).

Очевидно, що рівність правильна тоді й тільки тоді, коли границя дорівнює b при наближенні до точки по будь-якій траєкторії. Це суттєво більш обмежене, ніж збіг двох односторонніх границь у випадку функції однієї змінної.

Приклад. Довести, що не існує.

Будемо наближатися до точки (0; 0) по прямій . Якщо , тоді .

Зауважимо, що значення границі залежить від кутового коефіцієнта прямої, наприклад:

при границя дорівнює .

при границя дорівнює і т. п.

Таким чином, якщо наближатися до точки (0; 0) з різних напрямків, то дістанемо різні значення, тобто границя не існує.

Зауваження. Нехай дано функцію двох змінних . Розглянемо границі, які дістаємо після послідовних граничних переходів за кожним із аргументів окремо в тому чи іншому порядку.

Якщо при будь-якому фіксованому y з Y існує для функції f(x; y) (яка буде функцією від х) границя при х → а, то ця границя, взагалі кажучи, буде залежати від наперед фіксованого у:

Далі постає запитання про границю функції при — це буде одна із двох повторних границь. Іншу дістанемо, якщо границі візьмемо в зворотному порядку

Повторні границі не обов’язково рівні.

Приклад. Нехай

1) і а = b = 0, тоді:

, ,

але водночас , . Отже, .

Може статися так, що одна з повторних границь існує, друга - ні.

Розглянемо приклади.

2) або

3) .

В обох випадках існує повторна границя , але немає повторної границі (в останньому прикладі навіть не існує простої границі ).

Приклади показують, що можливість перестановки границь повинна бути обґрунтована. У зв’язку з цим виконується наступна теорема, що встановлює зв’язок між подвійною і повторною границями.

Теорема 5. Якщо 1) існує (скінченна або ні) подвійна границя

і 2) при будь-якому у з Y існує (скінченна) звичайна границя по х , то існує повторна границя , яка дорівнює подвійній границі.

Доведемо це для випадку скінченних А, а і b. Згідно з означенням за заданим знайдеться таке , що , якщо тільки (причому х береться з Х, а у з Y). Зафіксуємо у так, щоб виконувалась нерівність і перейдемо в до границі при .

За умовою 2) прямує до , тому

При фіксованому у з Y, що задовольняє умову , маємо , що й треба було довести.

Якщо поряд з умовами 1) і 2) при будь-якому х з Х існує (скінченна) звичайна границя по у , то, як випливає з доведеного, існує також і друга повторна границя , що дорівнює також числу А (в цьому випадку обидві повторні границі однакові).

З теореми 5 випливає, що в прикладах 1) і 2) подвійна границя не існує.

У прикладі 3), навпаки, подвійна границя існує: 3 нерівності випливає, що вона дорівнює нулю.

Не обов’язково існування подвійної границі необхідне для рівності повторних.

У прикладі обидві повторні границі існують і рівні 0, але подвійної границі немає.