ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

ПРИЛОЖЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

ЗАНЯТИЕ 13

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Ряды Тейлора и Маклорена

Степенной ряд , сходящийся на интервале ,

называют рядом Тейлора для функци в окрестности точки , а также рядом по степеням .

Ряд , сходящийся на интервале , называют рядом Маклорена для функци в окрестности , а также рядом по степеням .

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗЛОЖИМОСТИ ФУНКЦИИ В РЯД ТЕЙЛОРА

Если на имеет производные любого порядка, ограниченные по модулю одним и тем же числом, т.е. , то раскладывается в сходящийся к ней ряд Тейлора на этом отрезке.

РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ МАКЛОРЕНА НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

Приведенные ниже разложения принято называть основными, так как на базе этих разложений можно, используя различные приемы, получать разложения в ряды Маклорена и Тейлора многих других функций.

Основные разложения по степеням t имеют вид:

· , где , или ;

где при ; при ; при ; при ; полученный ряд принято называть биномиальным;

· , где , или ;

· , где , или .

Напомним, что ; при этом ; а – множество натуральных чисел.

МЕТОДИКА РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В РЯДЫ ТЕЙЛОРА ИЛИ МАКЛОРЕНА

1) Построить степенной ряд для данной функции (т.е. ряд Тейлора или Маклорена);

2) Найти область сходимости полученного ряда, т.е. найти интервал сходимости и исследовать на сходимость ряд в концах этого интервала.

При разложении функции в ряд Тейлора или Маклорена, учитывая конкретное выражение, целесообразно сочетать разные приемы:

1)использование основных разложений по степеням ;

2)замену переменной;

3)арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов; в первых трех случаях вновь полученный ряд сходится на пересечении областей сходимости рассматриваемых рядов. В случае деления вопрос решается изучением области сходимости полученного ряда;

4)поэлементное дифференцирование и интегрирование степенных рядов; при этом интервалы сходимости степенных рядов не меняются;

5)разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших (элементарных) дробей.

Пример 1.Разложить функцию в ряд по степеням и указать область сходимости.

□ 1) Используя основное разложение для функции и полагая , имеем:

2) Для отыскания области сходимости этого ряда учтём, что здесь – область сходимости степенного ряда. ■

Пример 2.Разложить функцию в ряд по степеням и указать область сходимости.

□ 1) С целью использования основного разложения сделаем тождественное преобразование: . Полагая теперь , используем основное разложение: .

2) Для отыскания области сходимости этого ряда учтём, что здесь , или – область сходимости степенного ряда. ■

Пример 3.Разложить функцию в ряд по степеням и указать область сходимости.

□ 1) Найдём сначала разложение для функции , где . Здесь использовано основное разложение для функции и замена переменной. Тогда .

2) Для отыскания области сходимости учтем, что функцию можно рассматривать как произведение рядов. При этом первый ряд состоит из одного слагаемого , поэтому его область сходимости , а второй ряд для сходится на . Тогда ряд для сходится на пересечении этих множеств, т.е. на . ■

Пример 4.Разложить функцию в ряд по степеням и указать область сходимости.

□ 1) Применяем тригонометрическую формулу . Для разложения функции используем основное разложение для функции и замену переменной . Тогда:

2) Для отыскания интервала сходимости используем признак Даламбера. Здесь , тогда .

Вычислим:

при любом фиксированном . Так как , то ряд сходится на промежутке . В процессе упрощения использовано, что . ■

Пример 5.Разложить функцию в ряд по степеням и указать область сходимости.

□ 1) С целью использования основного разложения для сделаем тождественное преобразование: а также замену переменной: Тогда, используя основное разложение для функции , имеем:

2) Для отыскания области сходимости этого ряда учтём, что здесь или – область сходимости полученного степенного ряда. ■

ПРИЛОЖЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ